数列知识要点

1．数列的概念

按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第 n项．

2．数列的表示方法

数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}．

3．数列的分类

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

4．数列的通项

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

1．数列与函数的关系

数列可以看作是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．

2．数列的递推公式

如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．

3．数列的表示方法

数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．

1．等差数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

2．等差中项的概念

若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.

3．等差数列的通项公式

若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.

4．等差数列的单调性

等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．

1．等差数列的图象

等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an的相应函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．

2．等差数列的项与序号的关系

(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d, am, an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋(n－m)d.

(2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.

3．等差数列的性质

(1)等差数列的项的对称性

在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．

即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….

(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有

1．数列前n项和的概念

把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．

2．等差数列前n项和公式

(1)若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；

(2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.

3．等差数列前n项和的性质

(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.

(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.

(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.

1．数列中an与Sn的关系

对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为

an＝

2．由数列前n项和Sn判断数列的类型

由于等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n.令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn，所以Sn是关于n的常数项为0的二次函数．反过来，对任意数列{an}，如果Sn是关于n的常数项为0的二次函数，那么这个数列是等差数列．

3．等差数列前n项和的最值

(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；

当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．

(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．

1．等比数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．

2．等比中项的概念

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±.

3．等比数列的通项公式

已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，该等比数列的通项公式为an＝a1qn－1.

1．等比数列的第二通项公式

等比数列的通项公式为：an＝a1qn－1(q≠0)，推广形式为：an＝am·qn－m(n，m∈N*，q≠0)．

2．等比数列的性质

(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al；

(2)如果m＋n＝2k时，am·an＝a；

(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；

(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；

(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|；

(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….

1．等比数列前n项和公式：

(1)公式：Sn＝.

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．

2．等比数列前n项和公式的变式

若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝ (1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝.

3．错位相减法

推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．

1．等比数列的前n项和的变式

(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝＝＝＝－；

当q＝1时，Sn＝na1.

(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1的相应函数是正比例函数(常数项为0的一次函数)．

2．等比数列前n项和的性质

(1)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m)不为零，则它们仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)

(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．

(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝q.