专题01 解三角形劣构性解答题突破A辑(解析版)

专题01解三角形劣构性解答题突破A辑

1．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．

在中，内角，，的对边分别为，，，且______．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）.

（1）方案一：若选①．

由已知及正弦定理得，，

所以，

所以，

又，所以，

所以，所以．

方案二：若选②．

由已知及倍角公式得，

所以，

所以，

由正弦定理得，

由余弦定理得，

又，所以．

方案三：若选③．

由已知及正弦定理得，

所以，

因为，所以，所以，

又，所以．

（2）由余弦定理，，，得，

即．

因为，所以，

所以．

2．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知的内角的对边分别为，，而且_____.

（1）求；

（2）求周长的最大值.

【答案】（1）答案见解析，；（2）最大值为.

（1）选①，把，整理得，由余弦定理得，因为，所以.

选②，因为，由正弦定理，可得，

因为，则，所以，可得，

又，所以，故，即.

选③，因为，由正弦定理得：，即，所以，因为，所以.

（2）由（1）可知，，在中，由余弦定理得，即，

所以，当且仅当时取等号，所以，所以，

即周长的最大值为.

3．在①；②；③中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.在△中，已知内角所对的边分别为若，______.

(1)求的值；

(2)若△的面积为，求的值.

【答案】（1）；（2）2.

选①

(1)  

， 

化简得

(2) 

选②

化简得

(2) 

选③

， 

化简得

(2) 

4．如图，在中，是上的点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）角的大小；

（2）的面积．

条件①：；条件②：．

【答案】（1），具体选择见解析；（2）.

选择条件①：

解：（1）在中，

由余弦定理，得

.                   

因为，

所以.                     

（2）由（1）知，，

因为，所以.                

所以为直角三角形.

所以，.   

又因为，所以.           

所以.            

选择条件②：

解：（1）在中, ，.

由正弦定理，得.                    

由题可知，

所以.            

（2）由（1）知，，

因为，所以.    

所以为直角三角形，

得.             

又因为，所以.                      

所以.

5．在中，，.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）和的面积.条件①：；条件②：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）； 

选①：，， 

（Ⅰ）由，则，

，

在中，由正弦定理，

即，解得，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

.

选②：

（Ⅰ）在中，由余弦定理可得

，

即，

解得或（舍去）. 

在中，由正弦定理，

解得，

.

6．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.

已知的角，，对边分别为，，而且___________.

（1）求；

（2）求周长的范围.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

解：（1）选①：

由正弦定理得

即： 

因为

因为

选②：

由正弦定理得

因为

因为，所以，

因为

选③：

因为，

所以，即，

所以，

因为，所以；

（2）由（1）可知：，

在中，由余弦定理得，即，

所以，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，即周长的最大值为.

又因为，所以周长的取值范围为

7．已知，满足，      ，求的面积

（1）

（2），从这两个条件中任选一个，补充到上面空格中，并解出答案.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【答案】若选（1），；若选（2），

若选（1），由余弦定理得：，

即，，解得或（舍去）.

所以.

若选（2）由余弦定理得：，

即，即，解得.

此时，即，所以.

8．已知有条件①，条件②；请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目.在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且满足______.

（1）求角A的大小；

（2）求的面积.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

（1）选择条件①，

法1：由正弦定理得，所以，

因为， 所以，又，所以，

法2：由余弦定理得，

化简得，则，又，所以.

选择条件②，

因为，所以，

因为，所以，

化简得，解得，又，所以.

（2）由余弦定理，得，

所以，于是的面积．

9．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在中，.

（1）求的长；

（2）求的面积.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

选择①

（1）由正弦定理可得，

又∴，

，∴，

即，，

由可得，

根据正弦定理，即.

.

（2），

.

选择②

（1）由，可得，

又

∴，即，

∴，

又，

结合正弦定理，

.

（2），

.

10．现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.

在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，______.

（1）求A；

（2）若，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）.

若选择条件①.

（1）由余弦定理可得，整理得，

可得.

因为，所以.

（2）由余弦定理，得，

即，亦即，

因为，当且仅当时取等号，

所以，

解得，

当且仅当时取等号.

所以，即周长的最大值为

若选择条件②.

（1）由条件得，

由正弦定理得.

因为，所以，

因为，所以.

（2）由余弦定理，得，

即，亦即，

因为，当且仅当时取等号，

所以，

解得，

当且仅当时取等号.

所以，即周长的最大值为

11．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在以下问题的横线上，并解答.

问题：在平面四边形中，已知，，且满足________.

（1）求的值；

（2）求平面四边形的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.

【答案】（1）；（2）.

（1）选①可知：在中，，

由余弦定理有，所以，所以，

所以，所以

选②可知：在中，，所以，

解得，又，所以或，

当时，，所以，所以，所以

当时，，所以，

而，不满足，所以不成立，

综上得： 

如选③：在中，，又，所以，

由正弦定理得，即，所以，

又，所以，所以，所以，

所以，所以，所以

（2）由（1）得，，

所以平面四边形的面积为；

12．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.

在中，内角，，的对边分别为，，，　　　.

（1）求角；

（2）若，，求的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）；（2）.

（1）若选①：

由正弦定理得，

所以，

由余弦定理得，

解得，

因为，所以.

若选②：

由正弦定理得，

即，

即，

因为，所以，所以，

所以.

（2）由余弦定理得，

得，

即，解得，

则的面积，

故的面积为.

13．在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足______.

（1）求角B；

（2）若，且外接圆的直径为2，求的面积.

【答案】选择见解析；（1）；（2）.

选，由正弦定理得，

，，即，

，，，；

选，，，

由正弦定理可得，

，，， 

选，，

由已知结合正弦定理可得，

，，

，.

设的外接圆半径为R，则，，

由余弦定理得，即，

所以，所以的面积为： 

14．在中，.

（1）求；

（2）若，.求.

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

【答案】（1）（2）时，；时， 

（1）因为，，

所以.

又因为，所以，即.

所以.

又因为，所以，所以.

（2）若选①，则在中，由余弦定理，

得，解得或（舍）.所以.

若选②，则，

由正弦定理，

得，解得.

所以.

15．①在函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，的图像关于原点对称，

②向量，；

③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知_______，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）求的值；

（2）求函数在上的单调递减区间.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）；（2）.

（1）选择条件①：

依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而， 从而，，

又的图像关于原点对称，则，由知，

从而， 

选择条件②：

依题意， 

即有： 

又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，

从而， 

选择条件③：

依题意， 

即有： 

化简得： 

即有： 

又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，

从而， 

（2），则其单调递减区间为，

解得，令，得，

从而在上的单调递减区间为.

16．请从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题.

问题：在中，角所对的边分别为，已知

（1）求；

（2）求的面积.

（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.）

【答案】选择条件①：（1）；（2）；选择条件②：（1）；（2）.

选择条件①：（1） ，

由正弦定理可得：，整理可得：，

根据余弦定理可知 

中，，从而有：

即，则，所以，

由正弦定理得

（2）因为

.

选择条件②：（1），

由正弦定理可得：，整理可得：，

又，；；

化简整理可得： 

（2）由（1）知，故三角形为直角三角形，

综上所述： 

17．已知分别为内角的对边，若是锐角三角形，需要同时满足下列四个条件中的三个：

①        ②③        ④

（1）条件①④能否同时满足，请说明理由；

（2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应的的面积.

【答案】（1）不能，理由见解析；（2）同时满足①②③，.

解：（1）不能同时满足①，④. 理由如下： 

若同时满足①，④，

则在锐角中，，所以

又因为，所以 

所以，这与是锐角三角形矛盾

所以不能同时满足①，④. 

（2）因为需同时满足三个条件，由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④  

若同时满足②③④，因为，所以，则，

则这与是锐角三角形矛盾.    

故不能同时满足②③④，只能同时满足①②③.  

因为，

所以，

解得或. 

当时，，

所以为钝角，与题意不符合，所以.  

所以的面积.

18．在中，.

（1）求的值；

（2）若①；②请从以上两个条件中任选一个，求的面积.注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.

【答案】（1）（2）.

（1）由.

又. 

因为.

（2）选①：由正弦定理可得.

且. 

故.

选②：由正弦定理可得.

且.

故.

19．在中，，，分别是角，，的对边，，.

（1）若，求；

（2）若______，求的值及的面积.

请从①，②，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择两种情况作答，以第一种情况的解答计分.

【答案】（1）；（2）选①：；选②：；.

（1）由，，，

由正弦定理可得，则.

（2） 若选①：由余弦定理可得，即，

整理可得，解得， （舍去），

∴；

选②: ，可得， 

∴

∴.

20．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答. 的内角、、的对边分别为、、，已知______.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

（1）选择条件①：

，由正弦定理可得，

，，，即，

所以，，

，则，，解得；

选择条件②：

，由正弦定理得，

，

上式可化简为，

，，，；

（2）由余弦定理，可得，

又由，则，，

因此，的面积为.

21．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

（Ⅰ）的大小；

（Ⅱ）的面积 .

条件①：； 条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

若选择条件①：.

（Ⅰ）因为，

由余弦定理，

因为，所以.

（Ⅱ）由正弦定理，

得，

又因为，

所以.

若选择条件②：.

（Ⅰ）由正弦定理，得.

又因为，所以，

又因为，所以.

（Ⅱ）由正弦定理，

得，

又因为，

所以.

22．在锐角中，，________，

（1）求角；

（2）求的周长l的范围.

注：在①，且，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.

【答案】条件选择见解析，（1）；（2）.

（1）若选①，因为，且，

所以，即，

因为，所以.

若选②，因为，，

所以，

因为，所以.

又因为，所以. 

若选③，

.

因为，所以.

又因为，，

所以，.

（2）因为，所以，.

因为，所以，.

.

.

因为锐角且，所以

所以，，

故.

23．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

在中，角，，的对边分别为，，，且满足______.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】条件选择见解析（1）；（2）.

解：若选条件①：

（1）因为，由正弦定理，得

，

即.

在中，，得.

即，又，所以，所以.

（2）因为，由余弦定理得 (当且仅当时等号成立)，

结合三角形的面积公式得到，

所以该三角形面积的最大值为.

若选条件②：

（1）结合余弦定理得到，又，所以.

（2）由，结合余弦定理得到：

 (当且仅当时等号成立)，结合三角形的面积公式得到，所以该三角形面积的最大值为.

若选条件③：

（1）因为，所以

，所以.

又，所以.

（2）由，结合余弦定理得到：

 (当且仅当时等号成立)，结合三角形的面积公式得到，所以该三角形面积的最大值为.

24．已知的内角，，所对边分别为，，，，.

（1）求的值；

（2）从①，②两个条件中选一个作为已知条件，求的值.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

（1）由，，

，

又因为，所以.

（2）选择①作为己知条件.

在中，由，以及正弦定理，

得，解得，

由，得为锐角，

所以，

因为在中，，

所以，

所以.

选择②作为已知条件，

因为在中，，所以，

所以或，所以，故.

25．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知的内角的对边分别为，，而且_____.

（1）求；

（2）求周长的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）条件选择见解析，；（2）最大值为.

（1）选①，把，整理得，

由余弦定理得，

因为，所以.

选②，因为，

由正弦定理，可得，

因为，则，所以，

可得，

又，所以，故，即.

选③，因为，

由正弦定理得：，即，

所以，

因为，所以.

（2）由（1）可知，，

在中，由余弦定理得，即，

所以，当且仅当时取等号，

所以，所以，

即周长的最大值为.