2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题山东卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题

山东卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分　在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项　

（1）若（i为虚数单位），则使的值可能是（    ）

A　        B　        C　        D　

（2）已知集合，，则（    ）

A　        B　        C　        D　

（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（    ）

A　①②        B　①③        C　①④        D　②④

（4）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（    ）

A　，        B　，        C　，        D　，， 

（5）函数的最小正周期和最大值分别为（    ）

A　，        B　，        C　，        D　， 

（6）给出下列三个等式：，，，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（    ）

A　        B　        C　        D　

（7）命题“对任意的，”的否定是（    ）

A　不存在， 

B　存在， 

C　存在， 

D　对任意的， 

（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒　右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图　设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（    ）

A　0　9，35            B　0　9，45

C　0　1，35            D　0　1，45

（9）下列各小题中，是的充要条件的是（    ）

①：或；：有两个不同的零点　

②；是偶函数　

③； 　

④； 　

A　①②        B　②③        C　③④        D　①④

（10）阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是（    ）

A　2500，2500        B　2550，2550

C　2500，2550        D　2550，2500`

（11）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（    ）

A　        B　

C　        D　

（12）位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位`于点的概率是（    ）

A　        B　        C　        D　

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分　答案须填在题中横线上　

（13）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为             　

（14）设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是          　

（15）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是             　

（16）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为          　

三、解答题：本大题共6小题，共74分　解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤　

（17）（本小题满分12分）

设数列满足， 　

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）设，求数列的前项和　

（18）（本小题满分12分）

设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）　

（Ⅰ）求方程有实根的概率；

（Ⅱ）求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率　

（19）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱中，已知，， 　

（Ⅰ）设是的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值　

（20）（本小题满分12分）

如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为　

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标　

（22）（本小题满分14分）

设函数，其中　

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立　

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题

山东卷

参

第Ⅰ卷

一、选择题

（1）D        （2）B        （3）D        （4）A        （5）A        （6）B

（7）C        （8）A        （9）D        （10）D        （11）C        （12）B

第Ⅱ卷

二、填空题

（13）        （14）        （15）        （16）

三、解答题

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），    ①

当时， 　   ②

①-②得， 　

在①中，令，得　

（Ⅱ），

，        ③

　     ④

④-③得

即，

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为，记“方程没有实根”为事件，“方程有且仅有一个实根”为事件，“方程有两个相异实数”为事件，则，

，

，

，

所以是的基本事件总数为36个，中的基本事件总数为17个，中的基本事件总数为个，中的基本事件总数为17个　

又因为是互斥事件，

故所求概率　

（Ⅱ）由题意，的可能取值为，则

，

，

，

故的分布列为：

（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件，“方程有实数”为事件，由上面分析得

，，

（19）（本小题满分12分）

解法一：

（Ⅰ）连结，则四边形为正方形，

，且，

四边形为平行四边形　

又平面，平面，

平面　

（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，

，，

设为平面的一个法向量　

由，，

得 

取，则　

又，，

设为平面的一个法向量，

由，，

得

取，则，

设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，

，

即所求二面角的余弦为　

解法二：

（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，由题意知：

，，，，，，， 　

，，，

又，

平面，平面，

平面　

（Ⅱ）取的中点，的中点，连结，，

由（Ⅰ）及题意得知：

，，

，，

，

，，

为所求二面角的平面角　

所以二面角的余弦值为　

解法三：

（Ⅰ）证明：如解法一图，连结，，

设，，连结，

由题意知是的中点，又是的中点，

四边形是平行四边形，故是的中点，

在中，，

又平面，平面，

平面　

（Ⅱ）如图，在四边形中，设，

，，，

故，由（Ⅰ）得

，，

，即　

又，

平面，又平面，

，

取的中点，连结，，

由题意知：，

又， 　

为二面角的平面角　

连结，在中，

由题意知：

，，

取的中点，连结，，

在中，

，，

二面角的余弦值为　

（20）（本小题满分12分）

解法一：如图，连结，由已知，

，

，

又，

是等边三角形，

，

由已知，，

，

在中，由余弦定理，

因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）　

答：乙船每小时航行海里　

解法二：如图，连结，由已知，，，

，

在中，由余弦定理，

由正弦定理

，

，即，

在中，由已知，由余弦定理，

，

乙船的速度的大小为海里/小时　

答：乙船每小时航行海里　

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，

由已知得：，，

，，

椭圆的标准方程为　

（Ⅱ）设，，

联立

得，

又，

因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，

，即，

，

，

解得：

，，且均满足，

当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点　

所以，直线过定点，定点坐标为　

（22）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为， 

设，其图象的对称轴为，

当时，，

即在上恒成立，

当时，，

当时，函数在定义域上单调递增　

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点　

②时，有两个相同的解，

时，，

时，，

时，函数在上无极值点　

③当时，有两个不同解，，，

时，，，

即， 　

时，，随的变化情况如下表：

当时，，

，

此时，，随的变化情况如下表：

综上所述：

时，有惟一最小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；

时，无极值点　

（Ⅲ）当时，函数，

令函数，

则　

当时，，所以函数在上单调递增，

又　

时，恒有，即恒成立　

故当时，有　

对任意正整数取，则有　

所以结论成立