(时间:100分钟满分:120分)
一、精心选一选(每小题3分,共30分)
1.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标:
其中属于中心对称图形的有( B )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列计算错误的是( D )
A.14×7=7 2
B.60÷30= 2
C.9a+25a=8a D.32-2=3
3.多边形的每个内角都等于150°,则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有( B ) A.B.9条C.10条D.11条
4.顺次连结矩形ABCD各边的中点,所得四边形必定是( D )
A.邻边不等的平行四边形B.矩形
C.正方形D.菱形
5.某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内
温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象,其中BC段是双曲线y=k
x(k≠0)的一部分,则当x
=16时,大棚内的温度约为( C )
A.18 ℃B.15.5 ℃C.13.5 ℃D.12 ℃
,第5题图),第9题图)
,第10题图)
6.已知四边形ABCD,下列说法正确的是( B )
A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形
7.为了解某社区居民的用电情况,随机对该社区10户居民进行了调查,下表是10户居民今年4月份用电量的调查结果:
居民(户) 1 3 2 4
月用电量(度/户)
40 50 55 60 那么关于这10户居民月用电量(单位:度),下列说法错误的是( C ) A .中位数是55 B .众数是60 C .方差是29 D .平均数是54
8.关于x 的方程mx 2-(m +2)x +2=0只有一解(相同解算一解),则m 的值为( D ) A .0 B .2 C .1 D .0或2
9.如图,矩形AOBC 的面积为4,反比例函数y =k
x 的图象的一支经过矩形对角线的交
点P ,则该反比例函数的表达式是( A )
A .y =1x
B .y =2x
C .y =4x
D .y =1
2x
10.如图,在矩形ABCD 中,点E ,F 分别在边AB ,BC 上,且AE =1
3AB ,将矩形沿
直线EP 重叠,点B 恰好落在AD 边上的点P 处,连结BP 交EF 于点Q.对于下列结论:①EF =2BE ;②PF =2PE ;③FQ =4EQ ;④△PBF 是等边三角形.其中正确的是( D )
A .①②
B .②③
C .①③
D .①④ 二、细心填一填(每小题3分,共24分)
11.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点D ,E ,F 分别为AB ,AC ,BC 的中点,若CD =5,则EF 的长为__5__.
,第11题图) ,第16题图) ,第17
题图)
,第18题图)
12.已知xy >0,化简二次根式x
-y
x 2
的结果为__--y __. 13.如果一组数据x 1,x 2,…,x n 的方差是2,那么一组新数据2x 1-1,2x 2-1,…,2x n -1的标准差是__22__.
14.某班数学兴趣小组10名同学的年龄情况如下表:
年龄(岁)
12
13
14
15
人数
1 4 4 1 则这10名同学年龄的平均数是__13.5岁__,中位数是__13.5岁__,众数是__13岁和14岁__.
15.已知一元二次方程x 2-4x -3=0的两根为m ,n ,则m 2-mn +n 2=__25__.
16.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,AC =8,BD =6,OE ⊥BC ,
垂足为点E ,则OE =__12
5
__.
17.如图,直线y =kx(k >0)与双曲线y =4
x 交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则2x 1y 2-7x 2y 1
=__20__.
18.如图,在平面直角坐标系中,正方形的中点在原点O ,且正方形的一组对边与x 轴平行,点P(3a ,a)是反比例函数y =k
x (k >0)的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的
面积等于9,则k =__3__.
三、耐心做一做(共66分)
19.(5分)解方程:(x +3)(x -3)=23x. 解:x 1=33,x 2=-3
20.(8分)设α,β是关于x 的方程x 2-4x +k +1=0的两个实数根,是否存在实数k ,使得αβ>α+β成立?请说明理由.
解:不存在.理由:由Δ=16-4(k +1)≥0,得k ≤3,由α+β=4,αβ=k +1,αβ>α+β,得k +1>4,∴k >3,∴不存在实数k ,使得αβ>α+β成立
21.(7分)已知x =22-2,求代数式x 2+2x +1x 2-1-x
x -1的值.
解:x =2+2,原式=1
x -1
,当x =2+2时,原式=2-1
22.(8分)小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1 200元.请问她购买了多少件这种服装?
解:设购买了x 件这种服装,根据题意得出:[80-2(x -10)]x =1 200,解得x 1=20,x 2
=30,当x =30时,80-2(30-10)=40(元)<50不合题意舍去.答:她购买了20件这种服装
23.如图,在平面直角坐标系中,直线y =-3x +3与x 轴,y 轴分别交于A ,B ,两点,以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ,点D 在反比例函数y =k
x (k ≠0)的图象上.
(1)求k 的值;
(2)若将正方形沿x 轴负方向平移m 个单位长度后,点C 恰好落在该反比例函数的图象上,则m 的值是多少?
解:(1)如图,作DF ⊥x 轴于点F.在y =-3x +3中,令x =0,解得:y =3,即B 的坐标是(0,3).令y =0,解得x =1,即A 的坐标是(1,0).则OB =3,OA =1.∵∠BAD =90°,∴∠BAO +∠DAF =90°,又∵∠BAO +∠OBA =90°,∴∠DAF =∠OBA ,又AB =AD ,∠BOA =∠AFD =90°,∴△OAB ≌△FDA (AAS ),∴AF =OB =3,DF =OA =1,∴OF =4,∴点D 的坐标是(4,1),将点D 的坐标(4,1)代入y =k
x
得:k =4
(2)如图,作CE ⊥y 轴于点E ,交反比例函数图象于点G .与(1)同理可证,△OAB ≌△EBC ,∴OB =EC =3,OA =BE =1,则可得OE =4,∴点C 的坐标是(3,4),则点G 的纵坐标是4,把y =4代入y =4
x
得:x =1.即点G 的坐标是(1,4),∴OG =2,即m =2
24.(8分)某校九年级学生开展踢毽子比赛活动,每班派5名同学参加,按团体总分多少排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100)为优秀,下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位:个)
1号 2号 3号 4号 5号 总分 甲班 100 98 110 103 500 乙班
100
95
119
97
500
统计发现两班总分相等,此时有同学建议,可以通过考查数据中的其他信息作为参考,请你解答下列问题:
(1)计算两班的优秀率;
(2)求两班比赛数据的中位数;
(3)估计两班比赛数据的方差哪一个小?
(4)根据以上三条信息,你认为应该把冠军奖状发给哪一个班?简述理由.
解:(1)甲班的优秀率是35×100%=60%;乙班的优秀率是2
5×100%=40% (2)甲班5名
学生比赛成绩的中位数为100(个);乙班5名学生成绩的中位数为97(个) (3)x 甲=1
5×500=
100(个),x 乙=15×500=100(个);S 甲2=1
5[(100-100)2+(98-100)2+(110-100)2+(-100)2
+(103-100)2]=46.8,S
乙
2
=1
5
[(-100)2+(100-100)2+(95-100)2+(119-100)2+(97-100)2]=103.2,甲班的方差小 (4)因为甲班5人比赛成绩的优秀率比乙班高、中位数比乙班大、方差比乙班小,应该把冠军奖状发给甲班
25.(10分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的对角线OB ,AC 相交于点D ,且
BE ∥AC ,AE ∥OB.
(1)求证:四边形AEBD 是菱形;
(2)如果OA =3,OC =2,求出经过点E 的反比例函数表达式.
解:(1)∵BE ∥AC ,AE ∥OB ,∴四边形AEBD 是平行四边形,∵四边形OABC 是矩形,∴DA =12AC ,DB =1
2OB ,AC =OB ,∴DA =DB ,∴四边形AEBD 是菱形 (2)连结DE ,
交AB 于F ,如图所示,∵四边形AEBD 是菱形,∴AB 与DE 互相垂直平分,∵OA =3,OC =2,∴EF =DF =12OA =32,AF =12AB =1,3+32=92,∴点E 坐标为(9
2,1),设经过点E
的反比例函数表达式为y =k x ,把点E (92,1)代入得k =9
2,∴经过点E 的反比例函数表达式为
y =9
2x
26.(12分)正方形ABCD 中,M ,N 分别是直线CB ,DC 上的动点,∠MAN =45°. (1)如图①,当∠MAN 交边CB ,DC 于点M ,N 时,线段BM ,DN 和MN 之间有怎样的数量关系?请证明;
(2)如图②,当∠MAN 分别交边CB ,DC 的延长线于点M ,N 时,线段BM ,DN 和MN 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明;
(3)在图①中,若正方形的边长为16 cm ,DN =4 cm ,请利用(1)中的结论,试求MN 的长.
解:(1)BM +DN =MN.证明:延长CD 至点Q ,使DQ =BM ,连结AQ ,易证△ADQ ≌△ABM (SAS ),∴AQ =AM ,∠DAQ =∠BAM ,∴∠QAN =∠DAN +∠DAQ =∠DAN +∠BAM =90°-∠MAN =45°=∠MAN ,∴△AQN ≌△ANM (SAS ),∴MN =QN =DN +DQ =BM +DN (2)DN -BM =MN.证明:在DN 上截取DK =BM ,连接AK ,易证△ADK ≌△ABM ,∴AK =AM ,∠DAK =∠BAM ,∵∠MAN =∠BAM +∠BAN =∠DAK +∠BAN =45°,即∠DAK +∠BAN =45°,∴∠KAN =90°-(∠DAK +∠BAN )=90°-45°=45°,∴∠KAN =∠MAN =45°,∴△KAN ≌△MAN (SAS ),∴MN =KN =DN -DK =DN -BM (3)设MN =x ,则BM =MN -DN =x -4,CM =BC -BM =16-(x -4)=20-x ,在Rt △CMN 中,由勾股定理得(16-4)2+(20-x )2=x 2,解得x =13.6,∴MN =13.6 cm