高一数学下指数函数典型例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

解  (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．

(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．

(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是

[    ]

A．a＜b＜1＜c＜d 

B．a＜b＜1＜d＜c

C． b＜a＜1＜d＜c 

D．c＜d＜1＜a＜b

解  选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．

【例3】比较大小：

(3)4.54.1________3.73.6

解  (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6

∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明  如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．

【例5】作出下列函数的图像：

(3)y＝2|x-1|    　　　　　　　　　　　　　　　(4)y＝|1－3x|

解  (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．

解  (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解  (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)

当x＝0时，函数y有最大值为1．

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的值域；

(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

解  (1)定义域是R．

∴函数f(x)为奇函数．

即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)