人教版八年级数学上:第12章《全等三角形》单元测试(含答案)(含答案...

一、选择题

1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（　　）

A．4cm    B．6cm    C．8cm    D．9cm

2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣，1）    B．（﹣1，）    C．（，1）    D．（﹣，﹣1）

3．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（　　）

A．    B．C．    D．

4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

5．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（　　）

A．110°    B．125°    C．130°    D．155°

6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（　　）

A．∠EDB    B．∠BED    C．∠AFB    D．2∠ABF

7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（　　）

A．y=﹣    B．y=﹣    C．y=﹣    D．y=﹣

8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（　　）

A．    B．    C．    D．﹣2

9．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）

A． a2    B． a2    C． a2    D． a2

二、解答题（共21小题）

10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．

（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；

（2）求证：△ABF≌△DEC；

（3）求证：四边形BCEF是矩形．

11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF

（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；

（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）

12．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．

（1）求证：△ABE≌DCE；

（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：△ACD≌△AED；

（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．

15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．

求证：AB=CD．

16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：CF=DG；

（2）求出∠FHG的度数．

17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．

18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．

19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．

20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．

（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；

（2）如图b，当点P在△ABC内部时，

①OA=OB是否成立？请说明理由；

②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．

21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．

（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．

22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；

（2）列方程解应用题

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．

24．【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】

第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若______，则△ABC≌△DEF．

25．问题背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．

（1）证明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；

（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．

27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．

28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．

29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：

（1）AF=CG；

（2）CF=2DE．

30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．

（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；

（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．

第12章 全等三角形

参

一、选择题（共9小题）

1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（　　）

A．4cm    B．6cm    C．8cm    D．9cm

【解答】解：∵F是高AD和BE的交点，

∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，

∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，

∵∠AFE=∠BFD，

∴∠CAD=∠FBD，

∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAD=45°=∠ABD，

∴AD=BD，

在△DBF和△DAC中

∴△DBF≌△DAC（ASA），

∴BF=AC=8cm，

故选C．

2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣，1）    B．（﹣1，）    C．（，1）    D．（﹣，﹣1）

【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，

∵四边形OABC是正方形，

∴OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠COE+∠AOD=90°，

又∵∠OAD+∠AOD=90°，

∴∠OAD=∠COE，

在△AOD和△OCE中，

，

∴△AOD≌△OCE（AAS），

∴OE=AD=，CE=OD=1，

∵点C在第二象限，

∴点C的坐标为（﹣，1）．

故选：A．

3．（2014•湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（　　）

A．    B．C．    D．

【解答】

解：A、延长AC、BE交于S，

∵∠CAB=∠EDB=45°，

∴AS∥ED，则SC∥DE．

同理SE∥CD，

∴四边形SCDE是平行四边形，

∴SE=CD，DE=CS，

即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；

B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，

∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，

∴△SAB≌△S1AB，

∴AS=AS1，BS=BS1，

∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，

∴FG∥KH，

∵FK∥GH，

∴四边形FGHK是平行四边形，

∴FK=GH，FG=KH，

∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，

∵FS1+S1K＞FK，

∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，

即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，

C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．

综上所述，D选项的所走的线路最长．

故选：D．

4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

【解答】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．

∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA．

在△AKC和△CHA中

，

∴△AKC≌△CHA（ASA），

∴KC=HA．

∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），

∴AH=4．

∴KC=4．

∵△ABC≌△DEF，

∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．

在△AKC和△DPF中，

，

∴△AKC≌△DPF（AAS），

∴KC=PF=4．

故选：C．

5．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（　　）

A．110°    B．125°    C．130°    D．155°

【解答】解：在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SSS），

∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，

∴∠BCA=∠ECD，

∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，

∴∠BCA+∠ECD=100°，

∴∠BCA=∠ECD=50°，

∵∠ACE=55°，

∴∠ACD=105°

∴∠A+∠D=75°，

∴∠B+∠D=75°，

∵∠BCD=155°，

∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，

故选：C．

6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（　　）

A．∠EDB    B．∠BED    C．∠AFB    D．2∠ABF

【解答】解：在△ABC和△DEB中，

，

∴△ABC≌△DEB （SSS），

∴∠ACB=∠DBE．

∵∠AFB是△BFC的外角，

∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，

∠ACB=∠AFB，

故选：C．

7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（　　）

A．y=﹣    B．y=﹣    C．y=﹣    D．y=﹣

【解答】解：作FG⊥BC于G，

∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；

∴∠BDE=∠FEG，

在△DBE与△EGF中

∴△DBE≌△EGF，

∴EG=DB，FG=BE=x，

∴EG=DB=2BE=2x，

∴GC=y﹣3x，

∵FG⊥BC，AB⊥BC，

∴FG∥AB，

CG：BC=FG：AB，

即=，

∴y=﹣．

故选：A．

8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（　　）

A．    B．    C．    D．﹣2

【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，

∴AM=AN=2，BM=DN=4，

连接MN，连接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°

在Rt△ABC与Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）

∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，

∴BC=AC，

∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，

3BC2=AB2，

∴BC=2，

在Rt△BMC中，CM===2．

∵AN=AM，∠MAN=60°，

∴△MAN是等边三角形，

∴MN=AM=AN=2，

过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2﹣x，

∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，

解得：x=，

∴EC=2﹣=，

∴ME==，

∴tan∠MCN==

故选：A．

9．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）

A． a2    B． a2    C． a2    D． a2

【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

又∵∠EPM=∠EQN=90°，

∴∠PEQ=90°，

∴∠PEM+∠MEQ=90°，

∵三角形FEG是直角三角形，

∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，

∴∠PEM=∠NEQ，

∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，

∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，

在△EPM和△EQN中，

，

∴△EPM≌△EQN（ASA）

∴S△EQN=S△EPM，

∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，

∵正方形ABCD的边长为a，

∴AC=a，

∵EC=2AE，

∴EC=a，

∴EP=PC=a，

∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，

∴四边形EMCN的面积=a2，

故选：D．

二、解答题（共21小题）

10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．

（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；

（2）求证：△ABF≌△DEC；

（3）求证：四边形BCEF是矩形．

【解答】（1）解：∵∠CEF=90°．

∴cos∠ECF=．

∵∠ECF=30°，CF=8．

∴CF=CF•cos30°=8×=4；

（2）证明：∵AB∥DE，

∴∠A=∠D，

∵在△ABF和△DEC中

∴△ABF≌△DEC  （SAS）；

（3）证明：由（2）可知：△ABF≌△DEC，

∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，

∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，

∴∠BFC=∠ECF，

∴BF∥EC，

∴四边形BCEF是平行四边形，

∵∠CEF=90°，

∴四边形BCEF是矩形．

11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF

（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；

（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）

【解答】解：（1）AE+BF=AB，如图1，

∵△ABC和△DCF是等边三角形，

∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°．

∴∠ACD=∠BCF，

在△ACD和△BCF中

∴△ACD≌△BCF（SAS）

∴AD=BF

同理：△CBD≌△CAE（SAS）

∴BD=AE

∴AE+BF=BD+AD=AB；

（2）BF﹣AE=AB，

如图2，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，

∴AD=BF，BD=AE，

∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB；

（3）AE﹣BF=AB，

如图3，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，

∴AD=BF，BD=AE，

∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB．

12．（2013•舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．

（1）求证：△ABE≌DCE；

（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？

【解答】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中

∴△ABE≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△ABE≌△DCE，

∴BE=EC，

∴∠EBC=∠ECB，

∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，

∴∠EBC=25°．

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：△ACD≌△AED；

（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，

∵在Rt△ACD和Rt△AED中

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；

（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2．

14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．

【解答】证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△ABD与△ACE中，

∵，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE．

15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．

求证：AB=CD．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠B=∠C，∠A=∠D，

∵在△AOB和△DOC中，

，

∴△AOB≌△DOC（AAS），

∴AB=CD．

16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：CF=DG；

（2）求出∠FHG的度数．

【解答】（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，

，

∴△CBF≌△DBG（SAS），

∴CF=DG；

（2）解：∵△CBF≌△DBG，

∴∠BCF=∠BDG，

又∵∠CFB=∠DFH，

又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，

△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，

∴∠DHF=∠CBF=60°，

∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．

17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．

【解答】证明：∵FB=CE，

∴FB+FC=CE+FC，

∴BC=EF，

∵AB∥ED，AC∥FD，

∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，

∵在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴AC=DF．

18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．

【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形

∴AD=AE，AB=AC，

又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，

∴∠DAB=∠EAC，

∵在△ADB和△AEC中

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE．

19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．

【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF．

∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．

在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS），

∴AB=DE．

20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．

（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；

（2）如图b，当点P在△ABC内部时，

①OA=OB是否成立？请说明理由；

②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．

【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，

∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°，

由旋转可知：CP=CE，BP=BD，

∴CA﹣CE=CB﹣CP，

即AE=BP，

∴AE=BD．

又∵∠CBD=90°，∴∠OBD=45°，

在△AEO和△BDO中，

，

∴△AEO≌△BDO（AAS），

∴OA=OB；

（2）成立，理由如下：

连接AE，则△AEC≌△BCP，

∴AE=BP，∠CAE=∠BPC，

∵BP=BD，

∴BD=AE，

∵∠OAE=45°+∠CAE，∠OBD=90°﹣∠OBP=90°﹣（45°﹣∠BPC）=45°+∠PBC，

∴∠OAE=∠OBD，

在△AEO和△BDO中，

，

∴△AEO≌△BDO（AAS），

∴OA=OB，

②当∠BPC=135°时，AB=DE．理由如下：

解法一：

当AB=DE时，由①知OA=OB，∴OA=OB=OE=OD．

设∠PCB=α，由旋转可知，∠ACE=α．

连接OC，则OC=OA=OB，∴OC=OE，

∴∠DEC=∠OCE=45°+α．

设∠PBC=β，则∠ABP=45°﹣β，∠OBD=90°﹣∠ABP=45°+β．

∵OB=OD，∴∠D=∠OBD=45°+β．

在四边形BCED中，∠DEC+∠D+∠DBC+∠BCE=360°，

即：（45°+α）+（45°+β）+（90°+β）+（90°+α）=360°，

解得：α+β=45°，

∴∠BPC=180°﹣（α+β）=135°．

解法二（本溪赵老师提供，更为简洁）：

当AB=DE时，四边形AEBD为矩形

则∠DBE=90°=∠DBP，

∴点P落在线段BE上．

∵△ECP为等腰直角三角形，

∴∠EPC=45°，

∴∠BPC=180°﹣∠EPC=135°．

21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．

（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．

【解答】（1）证明：∵AB∥DC，

∴∠B=∠DCE，

在△ABC和△DCE中，

∴△ABC≌△DCE（SAS），

∴∠A=∠D；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO，

∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AO=AB=4，

∴AC=2AO=8．

22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；

（2）列方程解应用题

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

【解答】（1）证明：∵AB平分∠CAD，

∴∠CAB=∠DAB，

在△ABC和△ABD中

∴△ABC≌△ABD（SAS），

∴BC=BD．

（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x﹣25，

解得：x=45，

答：这个班有45名学生．

23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．

【解答】证明：∵DE∥AB，

∴∠CAB=∠ADE，

∵在△ABC和△DAE中，

，

∴△ABC≌△DAE（ASA），

∴BC=AE．

24．【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】

第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据　HL　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若　∠B≥∠A　，则△ABC≌△DEF．

【解答】（1）解：HL；

（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，

∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，

∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，

即∠CBG=∠FEH，

在△CBG和△FEH中，

，

∴△CBG≌△FEH（AAS），

∴CG=FH，

在Rt△ACG和Rt△DFH中，

，

∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），

∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；

（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．

故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．

25．（2014•德州）问题背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　EF=BE+DF　；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；

探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．

证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，

∠EOF=70°，

∴∠EOF=∠AOB，

又∵OA=OB，

∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的条件，

∴结论EF=AE+BF成立，

即EF=1.5×（60+80）=210海里．

答：此时两舰艇之间的距离是210海里．

26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．

（1）证明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；

（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．

【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BCA=∠DCA，

在△CBF和△CDF中，

，

∴△CBF≌△CDF（SAS），

（2）解：∵△ABC≌△ADC，

∴△ABC和△ADC是轴对称图形，

∴OB=OD，BD⊥AC，

∵OA=OC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，

∵AC=2，BD=2，

∴OA=，OB=1，

∴AB===2，

∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．

（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，

理由：∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，

∵△BCF≌△DCF，

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，

∴∠EFD=∠BAD．

27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，

即∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE=CF．

28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．

【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，

∠ABE=∠ADG，AD=AB，

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

∴∠EAG=90°，

在△FAE和△GAF中，

，

∴△FAE≌△GAF（SAS），

∴EF=FG；

（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．

∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．

在△ABM和△ACE中，

∴△ABM≌△ACE（SAS）．

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．

于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．

在△MAN和△EAN中，

∴△MAN≌△EAN（SAS）．

∴MN=EN．

在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．

∴MN2=BM2+NC2．

∵BM=1，CN=3，

∴MN2=12+32，

∴MN=

29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：

（1）AF=CG；

（2）CF=2DE．

【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，

∴∠ACG=∠BCG=45°，

又∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAF=∠CBF=45°，

∴∠CAF=∠BCG，

在△AFC与△CGB中，

，

∴△AFC≌△CBG（ASA），

∴AF=CG；

（2）延长CG交AB于H，

∵CG平分∠ACB，AC=BC，

∴CH⊥AB，CH平分AB，

∵AD⊥AB，

∴AD∥CG，

∴∠D=∠EGC，

在△ADE与△CGE中，

，

∴△ADE≌△CGE（AAS），

∴DE=GE，

即DG=2DE，

∵AD∥CG，CH平分AB，

∴DG=BG，

∵△AFC≌△CBG，

∴CF=BG，

∴CF=2DE．

30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．

（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；

（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．

【解答】（1）证明：如图①，

∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，

∴∠DAC=90°，

在△ABE与△ACD中

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴CD=BE，

∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，

∴BE=2AF，

∴CD=2AF．

（2）成立，

证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，

∵∠BAC+∠EAD=180°，

∴∠EAB+∠DAC=180°，

∵∠EAB+∠BAH=180°，

∴∠DAC=∠BAH，

在△ABH与△ACD中，

∴△ABH≌△ACD（SAS）

∴BH=DC，

∵AD=AE，AH=AD，

∴AE=AH，

∵EF=FB，

∴BH=2AF，

∴CD=2AF．