新课标双曲线基础练习题

题目：1．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足条件|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是 

题目：2．双曲线－＝1的渐近线方程是 

题目：3．双曲线－＝1与－＝k始终有相同的（   ）

   （A）焦点    （B）准线   （C）渐近线  （D）离心率

题目：4．双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（   ）

题目：5．设双曲线(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到直线l的距离是c，则双曲线的离心率是（   ）

题目：6．若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离是，则a＋b的值为（  ）。

题目：7．双曲线－＝1的离心率是               。

题目：8．已知方程+=1表示双曲线，则k的取值范围是              。

题目：9．若双曲线=1与圆x2＋y2=1没有公共点，则实数k的取值范围是             。

题目：10. 曲线+=1所表示的图形是（  ）。

（A）焦点在x轴上的椭圆    （B）焦点在y轴上的双曲线

（C）焦点在x轴上的双曲线  （D）焦点在y轴上的椭圆

题目：11. 双曲线4x2－=1的渐近线方程是

题目：12. 若双曲线与椭圆x2＋4y2=共焦点，它的一条渐近线方程是x＋y=0，则此双曲线的标准方程是

题目：13. 双曲线的两准线之间的距离是，实轴长是8，则此双曲线的标准方程是

题目：14. 若双曲线的两条准线间的距离等于它的半焦距，则双曲线的离心率为

题目：15. 以F(2, 0)为一个焦点，渐近线是y=±x的双曲线方程是（  ）。

题目：16. 方程－=1表示双曲线，则m的取值范围是（  ）。

题目：23. 和椭圆＋=1有共同焦点，且离心率为2的双曲线方程是（  ）。

题目：24. 设双曲线(0   （A）2  （B）  （C）  （D）

答案：A

提示：直线过(a, 0), (0, b)两点，∴直线的方程是bx＋ay－ab=0, =c, 将b2=c2－a2代入得16a4－16a2c2＋3c4=0, 解得e=2或e=,又b>a>0, ∴c2=a2＋b2>2a2, e>, ∴e=舍去，e=2

题目：25. 双曲线－＋=1 的焦点坐标为                  。

答案：(0, ±)

题目：26. 双曲线方程为－=1 ，则双曲线的渐近线方程为                   。

答案：y=±x

题目：27. 已知双曲线的渐近线方程为x±y=0，两顶点的距离为2，则双曲线的方程为              。

答案：x2－y2=±1

题目：28. 已知两点为A(－3, 0)与B(3, 0)，若｜PA｜－｜PB｜=2,则P点的轨迹方程为                  。

答案：x2－=1, x≥1

提示：c=3, a=1, ｜PA｜－｜PB｜=2, ∴P点的轨迹是双曲线的一支

题目：29. 双曲线的两准线间的距离是它的焦距的，则它的离心率为          。

答案：e=

题目：30. 若双曲线－=1与圆x2＋y2=1没有公共点，则实数k的取值范围是               。

答案：k>或k<－

题目：31. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段，则离心率e=          。

答案：e=3

题目：32. 中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是          。

答案：y2－x2=8

题目：33. 中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为8，两条准线间的距离为的双曲线方程是                        。

答案： 

题目：34. 设e1, e2分别是双曲线和的离心率，则e12+e22与e12·e22的大小关系是                     。

答案：e12+e22=e12·e22

提示：e12+e22==== e12·e22

题目：35. 求渐近线为y=±，且与直线5x－6y－8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程。

答案：－y2=1

提示：设双曲线的方程是－y2=k，与直线5x－6y－8=0联立，代入消去y得4x2－20x＋16＋9k=0, △=0,解得k=1, ∴双曲线的方程是－y2=1

题目：36. 已知倾斜角为的直线被双曲线x2－4y2=60截得的弦长｜AB｜=8，求直线的方程及以AB为直径的圆的方程。

答案：y=x±9, (x±12)2＋(y±3)2=32

提示：设直线的方程是y=x＋m, 与双曲线的方程x2－4y2=60联立，消去y得3x2＋8mx＋4m2＋60=0, |AB|=|x1－x2|==8,解得m=±9, ∴直线的方程是y=x±9, 当m=9时, AB的中点是(12, 3),∴圆的方程是(x－12)2＋(y－3)2=32，同样当m=－9时，AB的中点是(－12, －3), 圆的方程是(x＋12)2＋(y＋3)2=32

题目：37. 已知P是曲线xy=1上的任意一点，F(,)为一定点，：x+y－=0为一定直线，求证：｜PF｜与点P到直线的距离d之比等于。

提示：设P(x, y), |PF|2=(x－)2＋(y－)2, P点到直线的距离d=, ∴==2, ∴｜PF｜与点P到直线的距离d之比等于。

题目：38. 双曲线mx2－2my2=4的一条准线是y=1,则m的值是（  ）。

   （A）  （B）－  （C）  （D）－

答案：D

题目：39. 离心率e=是双曲线的两条渐近线互相垂直的（  ）。

   （A）充分条件  （B）必要条件  （C）充要条件  （D）不充分不必要条件

答案：C

题目：40. 若双曲线－=1上一点P到它的右焦点的距离是8，则点P到双曲线的右准线的距离是（  ）。

   （A）10  （B）（C）2  （D）

答案：D

提示：a=8, b=6, c=10, e=, 点P到它的右焦点的距离与到双曲线的右准线的距离的比是，∴ 8÷＝

题目：41. 若双曲线的两条渐近线方程是y=±x，一个焦点是(,0)，则它的两条准线之间的距离是（  ）。

   （A）  （B）  （C）  （D）

答案：A

提示：设双曲线的方程是=k2, a=2k, b=3k, c=k=, k=, 两条准线之间的距离是2=

题目：42. 若方程=1表示双曲线，则实数m的取值范围是（  ）。

   （A）m<－2或25 （D）m>5

答案：C

提示：∵方程=1表示双曲线，∴(m－5)(|m|－2)>0, 解得－25

题目：43. 设F1和F2是双曲线－y2=1 的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（  ）。

   （A）1  （B）  （C）2  （D）

答案：A

提示：a=2, b=1, c=, P(x, y)在圆x2＋y2=5上，|PF1|－|PF2|=4, |PF1|2＋|PF2|2=(2)2, 解得|PF1||PF2|=2, △F1PF2的面积S△=|PF1||PF2|=1

题目：44. 已知双曲线的两个焦点是椭圆＋=1的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（  ）。

   （A）－=1  （B）－=1  （C）－=1  （D）－=1

答案：A

提示：椭圆＋=1的两个顶点是(, 0), (－, 0), 焦点是(－, 0), (, 0), 在双曲线中，c=, =, a2=6, b2=4, ∴双曲线的方程是－=1

题目：45. 已知|θ|<,直线y=－tgθ(x－1)和双曲线y2cos2θ－x2 =1有且仅有一个公共点，则θ等于（  ）。

   （A）±  （B）±  （C）±  （D）±

答案：B

提示：将y=－tgθ(x－1)代入到双曲线y2cos2θ－x2 =1中，化简得cos2θx2＋2xsin2θ＋cos2θ=0, △=0,解得sinθ=±cosθ, ∴θ=±

题目：46. 双曲线方程为，它的焦点到与此焦点较近的准线的距离是（  ）。

   （A）  （B）  （C）  （D）

答案：D

提示：双曲线的焦点到与此焦点较近的准线的距离是c－=

题目：47. 双曲线实轴长为2a，过F1的动弦AB长为b，F2为另一焦点，则△AB F2的周长为（  ）。

   （A）4a＋b  （B）4a＋2b  （C）4a－b  （D）4a－2b

答案：B

提示：|AF2|－|AF1|=2a, |BF2|－|BF1|=2a, |AB|=b,∴ |AF2|＋|AB|＋|BF2|=4a＋|AF1|＋|AF2|＋|AB|=4a＋2b

题目：48. 渐近线是±=0，且经过P(6, 8)的双曲线方程是                。

答案： 

题目：49. 和椭圆＋=1有公共的焦点，离心率e=的双曲线方程是         。

答案：－y2=1

提示：双曲线中, c2=5, ∴a=2, b=1

题目：50. 双曲线x2－y2=1的右支上到直线y=x的距离为的点的坐标是          。

答案：(, －)

提示：设双曲线的右支上的点为P(x, y), x>0, 则=, |x－y|=2, 又x2－y2=1,解得x=, y=－

题目：51. 双曲线的实轴长为2a，F1, F2是它的两个焦点，弦AB经过点F1，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，则|AB|＝                  。

答案：4a

提示：|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，则2|AB|=|AF2|＋|BF2|，又|AF2|－|AF1|=2a, |BF2|－|BF1|=2a, ∴4a=|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|=|AF2|＋|BF2|－|AB|=|AB|

题目：52. 实、虚轴之和为28，焦距为20的双曲线方程为                    。

答案：, 

提示：a＋b=14, c2=a2＋b2=100,解得a=6, b=8,或a=8, b=6

题目：53. 双曲线的离心率为2，则它的两条渐近线的夹角为                   。

答案：60°

提示：e=2, c=2a, b=a, tg=, α=120°, 两条直线的夹角为锐角，∴θ=60°

题目：54. 双曲线－=1的共轭双曲线的准线方程是               。

答案：x=±

提示：双曲线－=1的共轭双曲线－=1, a2=4, c2=7, 准线方程是x=±

题目：55. 双曲线，渐近线与实轴夹角为α，那么通过焦点垂直于实轴的弦长为             。

答案：2btgα

提示：过焦点垂直于实轴的弦为x=c, 与双曲线的交点坐标是(c, ±), ∴弦长=2b·=2btgα

题目：56. P是双曲线x2－y2=16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝                。

答案：－8

题目：57. 双曲线的两条准线间的距离为,虚轴长是6，则此双曲线的标准方程是     。

答案：－=1,－=1

题目：58. 在双曲线y2－x2=1的共轭双曲线上找一点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。

答案：(, ±), (－, ±)

提示：双曲线y2－x2=1的共轭双曲线是x2－y2=1, 联立方程组x2－y2=1与x2＋y2=2, 解得，x=±, y=±

题目：59. 实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，求双曲线离心率e的范围。

答案：1提示：一元二次方程ax2＋bx＋c=0无实根, △<0, b2－4ac<0, c2－a2－4ac<0, 又e>1, 解得1题目：60. 过双曲线－=1的左焦点F1，作倾斜角为α＝的直线与双曲线交于两点A、B，求|AB|的长。

答案： 

提示：双曲线－=1的左焦点F1(－5, 0), 直线的斜率为k=1, 设直线的方程是y=x＋5, 与双曲线－=1联立，消去y得7x2－90x－369=0, 代入弦长公式得|AB|=