2020-2021学年浙江省重点高中提前招生考试数学模拟卷三(解析版)_百度...

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　）

A．﹣22    B．﹣1    C．7    D．11

【答案】B

【分析】

由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．

【详解】

解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，

∴a﹣c＝4，

∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，

∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．

故答案为B．

【点睛】

本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键．

2．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　）

A．﹣16    B．﹣14    C．﹣12    D．﹣10

【答案】B

【分析】

分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．

【详解】

解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2•26＋1＝（26＋1）2，

此时n＝6＋1＝7，

212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2•211＋1＝（211＋1）2，

此时n＝2×11＝22，

1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2•26•2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，

此时n＝﹣14，

综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14．

故选：B．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．

3．二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（     ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【分析】

由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．最大值为2n分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出，结合图象最小值只能由x=m时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．

【详解】

解：二次函数的大致图象如解图，

∵，且，

∴，，

①当时，当时，y取最小值，即，

解得(舍去)或；

当时，y取最大值，即，

解得(舍去)或(舍去)；

②当时，当时y取最小值，即，

解得(舍去)或；

当时，y取最大值，即，

解得，

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数的增减性结合函数图像确定函数最大值是解题的关键．

4．如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限经过的顶点A，且点B在轴上，过点B作轴的垂线交反比例函数图像于点C，连结OC交AB于点D，已知，，则的值为（    ）

A．6    B．8    C．    D．

【答案】C

【分析】

过A向OB作垂线，垂足为F，交OC于E，根据AF∥BC，得出，设，则AF=tBC，得，又，可推导出，求出t的值，得出AF=2BC，OB=2OF进一步导出OA=3OF，在Rt△AOF中，AF=,，在Rt△OBC中，即可求出OF的长，求出k的值．

【详解】

解：如图，过A作AF垂直OB于F点，交OC于E点，

∴AF∥BC，

∴△AED∽△BCD，

∴，

∴，

设，则AF=tBC，

∴

又OF×AF=OB×BC，

∴，

又EF∥BC，

∴△OEF∽△OCB

∴，

∴，

解得t=2，

∴AF=2BC，OB=2OF

又∵，

∴，

∴OA=3OF，

在Rt△AOF中，勾股定理可得AF=，

∴，

在Rt△OBC中，，

∴，

解得OF= 或﹣（舍去）

∴AF==4，

∴k=OF×AF=，

故选：C．

【点睛】

本题考查了反比例函数与相似三角形结合的综合性题目，主要涉及到反比例函数的图像与性质，相似三角形的性质，线段之间比例关系的转化，解题关键在于做出辅助线，设出线段比例关系，通过不断转化得出线段等量关系，最后求出k值．

5．已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（  ）

A．0    B．1    C．2    D．3

【答案】D

【解析】

由题意得： 

故选D. 

6．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，则S5的值为（ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

如图1，连接OC,由、分别将边BC、AC2等份，,所以,即,根据等底同高的两个三角形的面积相等可得

所以，即可求得，所以；

如图2，连接OC,OD1，OE2,由图（1）的方法可得

,

所以

,

同样的方法可求得,以此类推可得.故选D.

点睛：本题是规律探究题，主要考查等底同高的两个三角形的面积相等；能从图中观察，并能适当添加辅助线是解题的关键..

7．如图，等腰中，于，，为内一点，当最短时，在直线上有一点，连接．的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【分析】

由为内一点，当最短时，得M为△ABC的费马点，以AC为边向外作正三角形ACF，据费马点的特征，直线BM和直线BF为同一条直线，由题意容易求得∠MBC=30°，以BF为边，B为顶点向∠MBC的外侧作∠FBG，使∠FBG=30°，过E作BG的垂线，垂足为H，显然；再过点C作BG的垂线，垂足为，由垂线段最短，知；因为易得BC=，又∠GBC=60°就容易求得就是的最小值．

【详解】

解：如下图

以AC为边向外作正三角形ACF，以BF为边，B为顶点向∠MBC的外侧作∠FBG，使∠FBG=30°，过E作BG的垂线，垂足为H，过点C作BG的垂线，垂足为

由∠FBG=30°，HE⊥BG知HE=

∴

下面计算

∵AB=AC=2且

∴；

∵为内一点，当最短时

∴M为△ABC的费马点

由费马点的特点知BM与BF为同一条直线

∵正三角形ACF

∴∠CAF=60°

又

∴∠BAF=150°

又AB=AC=AF

∴∠ABF=15°

又∠ABC=45°

∴∠FBC=30°

∴∠GBC=60°

在RT△中

∴的最小值为．

故选：D．

【点睛】

此题是几何最值问题——费马点和胡不归的综合．确定最短长度时，要据30°角所对直角边是斜边的一半把问题转化为“垂线段最短”来解决；计算最短值时要熟悉费马点的性质．

8．如图,点A是以BC为直径的半圆的中点，连接AB，点D是直径BC上一点，连接AD，分别过点B、点C向AD作垂线，垂足为E和F，其中，EF=2，CF=6，BE=8，则AB的长是（ ）

A．4    B．6    C．8    D．10

【答案】D

【分析】

延长BE交于点M，连接CM，AC，依据直径所对的圆周角是90度，及等弧对等弦，得到直角三角形BMC和等腰直角三角形BAC，依据等腰直角三角形三边关系，知道要求AB只要求直径BC，直径BC可以在直角三角形BMC中运用勾股定理求，只需要求出BM和CM，依据三个内角是直角的四边形是矩形，可以得到四边形EFCM是矩形，从而得到CM和EM的长度，再用BE+EM即得BM，此题得解.

【详解】

解：延长BE交于点M，连接CM，AC，

∵BC为直径，

∴，

又∵由得：,

∴四边形EFCM是矩形，

∴MC=EF =2，EM=CF=6

又∵BE=8，

∴BM=BE+EM=8+6=14,

∴,

∵点A是以BC为直径的半圆的中点,

∴AB=AC,

又∵，

∴，

∴AB=10.

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理的推理——直径所对的圆周角是90度， 矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造两个直角三角形，将已知和待求用勾股定理建立等式.

二、填空题

9．已知整数，，，，…，满足下列条件：，，，，，，…，依次类推，则的值为______．

【答案】

【分析】

根据题意计算出、、、、、，发现规律即可求解．

【详解】

∵，

∴=；

；

=；

；

；

……四组一循环

根据规律可知=

故答案为：-2021．

【点睛】

此题主要考查实数变化的规律探究，解题的关键是根据题意写出前几个数，发现规律求解．

10．若方程组的解是，那么的解为_____．

【答案】或．

【分析】

运用换元思想列出方程组，求出方程组的解即可．

【详解】

解：将方程组中的两个方程同除以3，整理变形得，

方程组的解是，

，

解得或．

故答案为或．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解和换元法解方程，需要同学们有一定的逻辑分析能力．将求解的方程变形为已知方程的结构是解题关键．

11．如图，在Rt△中，，，，点是平面内到点的距离等于4的任意一点，点是的中点，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】

反向延长BC，使BH=BC，使BM成为△BDC的中位线，确定HD是BM的2倍，再找到HD的最大值和最小值，即可求出BM的最大值和最小值，即可得到结果．

【详解】

解：如图，点D在以A为圆心，4为半径的圆上，反向延长BC至点H，使BC=BH=6，由勾股定理得AH==10，此时BM是△HCD的中位线，BM=HD，当HD最小时，BM就最小，连接AH，交⊙A于点D此时，HD长最小，最小值为AH-AD=10-4=6，则BM的最小值为3，

如图，反向延长AH交⊙A于另一点D，此时HD最长，则BM最长，则BM最大值为HD=7

综上所述，；

故答案为：．

【点睛】

本题考查圆外一点到圆上的点的距离的最值问题、三角形中位线、勾股定理等知识点，正确的添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键．

12．如图，在四边形中，于点，，且，当，时，线段的长度为______．

【答案】

【分析】

在AB上截取AM=AD=3，过M作MN∥BC交AC于N，把△AMN绕A逆时针旋转得△ADE，证明△ABD∽△ACE和△AMN∽△ABC，求出相关边长，然后根据勾股定理求解即可．

【详解】

解：如图，在上截取，过作交于点，把绕逆时针旋转得，连接，

则，，，

∴，

又∵于点，，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

又，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴在中，由勾股定理得，

，

∴．

故答案为：．

【点睛】

考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形边角关系等，熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．

13．如图，为平行四边形中延长线上一点，且，的外接圆交于，若，则为____．

【答案】

【分析】

如图，延长AF交BC的延长线于M，连接BF，作BN⊥AE．首先证明BM是⊙O的切线，可得BM2=MF•MA，由CM∥AD，推出，设FM=m，CM=n，则AF=2m，求出m与n之间的关系即可解决问题；

【详解】

解：如图，延长交的延长线于，连结，，作，

，，

，

经过圆心，

四边形是平行四边形，

，

，

是的切线，

，即，

，

，

在中，，

将代入得，

，

，

，

在和中，

，

则，

，

，

，

设，，则，

，，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、三角形的外心、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用此时解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

14．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是_____．

【答案】

【分析】

作辅助线，构建△AME≌△AFE，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，根据角的关系证明M、B、E共线，再证明△FAE≌△MAE，则∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，根据角平分线的性质可知：AH＝AK＝2，作△AEF的外接圆⊙O，由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，根据OA+ON≥AK，列式为x≥2，则x≥2，可得△AEF面积的最小值是4．

【详解】

如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，

由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABM+∠ABC＝180°，

∴M、B、E共线，

∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，

∠EAF＝60°，AE＝AE，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴∠MEA＝∠FEA，

过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，

∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2，

作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，

过O作ON⊥EF于N，

∵∠EAF＝60°，

∴∠EOF＝120°，

∴∠NOF＝60°，

设EF＝2x，则NF＝x，

Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，

∴ON+OA＝OF+ON＝x，

∵OA+ON≥AK，

∴x≥2，

∴x≥2，

∴S△AEF＝=2x≥4，

∴△AEF面积的最小值是4．

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了角平分线的性质、等边三角形、三角形和四边形的面积、三角形全等的性质和判定、直角三角形的性质、轴对称的最短路径问题等知识，确定其最值时动点的位置是解题的关键．

15．如图，是等边三角形，点是的中点，点在的延长线上，点在上且满足，已知的周长为18，设，若关于的方程的解是正数，则的取值范围是______．

【答案】且．

【分析】

过P作PE∥BC交AC于点E，先证明是等边三角形，再证明和，然后转化边即得的值，进而求解含参分式方程的解，最后在解为正数和非增根的情况下求解参数，即得取值范围．

【详解】

解：过P作PE∥BC交AC于点E

∴

∵是等边三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=，

∴，

∴，

∴是等边三角形

∴，

∴

∴

∵P点是AB的中点

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

在与中

∴

∴

∴

∴

∵的周长为18，

∴

∴

∵

∴

∴

∵的解是正数

∴

∴且

故答案为：且

【点睛】

本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和分式方程含参问题，利用等边三角形及边上中点作平行线构造全等三角形和等边三角形是解题关键，解决分式方程的含参问题关键是找清楚解所满足的条件，分式方程的解满足非增根这个隐含条件是易错点．

三、解答题

16．一般情况下，不成立，但有些数是可以成立，例如a=b=0，我们称使得成立的一对数a、b为“相对数对”，记为(a，b)．

（1）若(－1，b)是相对数对，求b的值；

（2）若(m，n)是相对数对且m≠0，求的值；

（3）若(m，n)是相对数对，求代数式的值．

【答案】（1）；（2）；（3）-2．

【分析】

阅读理解题意，理解“相对数对”，在此基础上，对于（1）运用“相对数对”的定义列出方程求解；对于（2）运用“相对数对”的定义列出m、n的关系式化简即可；对于（3）用（2）的结论，用m表示n，代入到所求代数式中，化简即可．

【详解】

解：（1）由“相对数对”的定义得，解得；

（2）∵(m，n)是相对数对且m≠0

∴把中的a、b分别用m、n代换得

化简得；

（3）由（2）得，所以得代入到得

原式=

=

=

=-2．

【点睛】

此题是新定义题型，综合考查解一元一次方程和代数式求值，关键是要理解“相对数对”含义和熟练整式加减运算．

17．如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．

图1

（1）_____，_____．点的坐标______．

（2）点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点的坐标．

图2

（3）以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

图3

【答案】（1）；；的坐标为；（2）点坐标为，，；（3）的值不发生改变，值为

【分析】

（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；

（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；

（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT，由此即可得出结论．

【详解】

解：（1），且，．

解得：

，

为中点，

，设，

又四边形是平行四边形，

。

，，

（2）在双曲线上，

反比例函数的解析式为

点在双曲线上，点在轴上，

设，

①当为边时：如图1所示：

图1

若为平行四边形，则，解得：．

此时，

如图2所示，若为平行四边形，则

图2

解得：，此时，

②如图3所示：当为对角线时：且．

图3

，解得：．

，

综上所述，，，

（3）如图4，连接，，，

图4

是线段的垂直平分线，

四边形是正方形，

，

在与中，

，

四边形，

而，

所以，

四边形内角和为，

∴，

，

即的定值为．

【点睛】

本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．

18．如图在中，AB是直径，弧弧BE，点C在弧AE上．

（1）如图1，求证；

（2）如图2，若CD过点O，连接DB，并延长与CE的延长线交于点M，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G在AO上，连接GC．GE，GE与CD相交于点K，若，，，求的面积．

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）

【分析】

（1）根据同弧所对的圆周角相等，转换相等角求解；

（2）根据同弧所对的圆周角相等，判断，根据等腰三角形的性质求解；

（3）根据题意可知求三角形面积需要底和高，作于点Q，GK为的底，CQ为高，根据求出GK，根据三角函数分别求出CE、CQ的值即可求解．

【详解】

解：（1）连接AE，∵，

∴，

∴（同弧所对的圆周角相等）；

（2）由（1）知：，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）∵，，

∴，

作于点P，设的半径为R，，

则，，，

∵，

∴，

∴，

将，，，，

代入上述方程化简得：，

∴，，，，，

，

，

，

，

，，，，

，

作于点Q，

，

∴，

，

∴．

．

【点睛】

本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，三角函数的运算以及三角形相似，学会作辅助线，熟练运用同弧所对的圆周角相等以及三角形相似的性质和熟练掌握三角函数是解决本题的关键．

19．在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）

（1）当＜0时，求这个函数图象的顶点坐标；

（2）若点（－1，－2）在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值随增大而增大时的取值范围．

（3）当函数的最低点到轴的距离为1时，求的取值范围．

（4）记函数的图象为，当直线与图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围．

【答案】（1）；（2）或； ；（3）或 ；（4）或 或

【分析】

（1）将已知函数化成顶点式，即可求出顶点坐标；

（2）点在函数图像上，直接将点的坐标代入函数方程，求出n，即可得到函数的解析式，结合函数图像，求出函数值随x增大而增大的x的取值范围；

（3）分 和两种情况讨论得到n的取值范围；

（4）直线y=n-1与图像G有两个公共点， 联立方程，根据判别式大于0，可求得n的取值范围．

【详解】

解（1）∵

当n＜0时，这个函数的顶点坐标为．

（2）∵（n-1，-2）在函数的图象上，

∴

解得．

当 时，函数为，当 时y随x的增大而减小；

当时，函数为，当 时y随x的增大而增大；

所以函数值随增大而增大时，的取值范围为．

（3）当n≥0时，函数的最低点为（0，1），最低点到x轴的距离为1；

当n＜0时，函数的最低点为，当最低点到轴距离为1时，有，解得（舍），；

∴的取值范围是或．

（4）当，且图象G与直线有两个公共点时，如图1

有方程，

即有两个不相等的实数根，

∴，

解得或，

又∵当时，函数图象与直线没有公共点，

∴

当且图像G与直线有两个公共点时，如图2

可得：

即有两个不相等的实数根，

∴

解得：或

又∵时，函数函数图像与直线没有公共点，

∴

又∵当时，图象G与直线y＝n-1只有一个公共点，即，

当时，图象G与直线y＝n-1只有一个公共点，

综上所述，当直线y＝n-1与图象G有两个公共点时，n的范围是或或．

【点睛】

本题考察二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．