2013年浙江专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1． 设f(x)=sin(cos2x)，x∈(一∞，+∞)，则此函数是    (    )

A．有界函数

B．奇函数

C．偶函数

D．周期函数

正确答案：A           

解析：因为一1≤sin(cos2x)≤1，所以函数f(x)=sin(cos2x)是有界函数，容易验证f(x)=sin(cos2x)是非奇非偶函数，非周期函数，所以答案A正确．

2． 若函数y=f(x)是区间[1，5]上连续函数，则该函数一定    (    )

A．在区间[1，5]上可积

B．在区间(1，5)上有最小值

C．在区间(1，5)上可导

D．在区间(1，5)上有最大值

正确答案：A           

解析：由可积的充要条件可知，函数f(x)在闭区间[1，5]上连续f(x)在闭区间[1，5]上可积．因此，选项A正确．

3． xcosxdx＝    (   )

A．0

B．1

C．一1

D．一2

正确答案：D           

解析：xcosxdx=xdsinx=xsinxsinxdx=cosx=－2．

4． 由曲线y=，y=x所围成的平面图形的面积为    (    )

A．

B．

C．

D．

正确答案：D           

解析：据题意画图可知，

5． 已知二阶微分方程y″+y′一6y=3e2xsinxcosx，则设其特解形式为    (    )

A．e2x(acosx+bsinx)

B．e2x(acos2x+bsin2x)

C．xe2x(acosx+bsinx)

D．xe2x(acos2x+bsin2x)

正确答案：D           

解析：特征方程为r2+r－6=0，解得r1=－3，r2=2，而λ=2是特征方程的单根，所以取k=1，所以y″＋y′一6y=3e2xsinxcosx=e2xsin2x的特解形式可设为y*=xe2x(acos2x+bsin2x)，选项D正确．

填空题

6． 极限xlnsin(x2)=___________．

正确答案：0           

解析：=－2xcos(x2)=0

7． 函数y=的定义域为___________．

正确答案：[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)           

解析：由0≤sinx≤1解得2kπ≤x≤(2k+1)π(k∈Z)

8． 已知f′(1)=1，则=___________．

正确答案：-2           

解析：=－=－2f′(1)=－2．

9． 若函数y=y(x)由方程y=1+xesiny所确定，则y′=___________．

正确答案：           

解析：隐函数方程求导，y′=esiny＋xy′esiny.cosy，解得y′=

10． =___________．

正确答案：ln｜lnx｜＋C           

解析：=ln｜lnx｜＋C

11． 极限+…+nsin1)用定积分表示为___________．

正确答案：xsinxdx           

解析：利用定积分的定义求极限，+…+nsin1)=sin1)=xsinxdx

12． 级数的收敛区间是___________．

正确答案：(一1，1)           

解析：利用比值判别法的思想，=x2＜1，解得一1＜x＜1．

13． 常微分方程y′+P(x)y=Q(x)y2的通解为___________．

正确答案：=e∫P(x)dx[一∫Q(x).e－∫P(x)dxdx+C]           

解析：伯努利方程，令z=，则y=，，所以一P(x).z=－Q(x)，由一阶线性微分方程的通解公式可知，z=e∫P(x)dx[一∫Q(x).e－∫P(x)dxdx+C]即=e∫P(x)dx[一∫Q(x).e∫－P(x)dxdx+C]

14． 法向量为a=(1，一3，2)的过点(1，0，1)的平面方程是___________．

正确答案：x一3y+2z一3=0           

解析：由点法式可知，所求平面方程为1.(x一1)一3(y一0)+2(z一1)=0，即x一3y+2z一3=0．

15． 球面x2+y2+(z一2)2=4与平面2x+y－z+26=0之间的距离等于___________．

正确答案：4一2           

解析：球心坐标为(0，0，2)，半径R=2，球心到平面2x+y—z+26=0的距离为，故所求距离为4一2

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

16． 设f(x)=若f(x)是连续函数，求a的值．

正确答案：因函数f(x)是连续函数，所以f(x)在x=0处连续，所以f(x)=f(0)=由左连续可知==f(0)=(exsinx+excosx一a一2ax)=0，可得a=1     

17． 设f(x)=，求f′(x)．

正确答案：当x≠0时，f′(x)=f′(0)===0  ∴f′(x)=   

18． 求函数y=的单调区间以及凹凸区间．

正确答案：易知函数y=的定义域为x∈(一∞，0)∪(0，＋∞)且y′=令y′=0，得x=(驻点)当x＞时，y′＞0；当x＜时，y′＜0，故y=在x=处取得极小值单调增区间为(，+∞)，单调减区间为(一∞，0)，(0，)． 又因y″=，所以当x＞0时，y″＞0；当x＜0时，y″＜0，故函数y=的凹区间为(0，+∞)，凸区间为(一∞，0)．   

19． 讨论方程3x2一1=cosx的根的个数．

正确答案：令f(x)=3x2一1一cosx，f(0)＝－2＜0，f(一1＞0，f()一1＞0，且f(x)在[一，0]和[0，]上连续所以由零点定理知，至少存在一点ξ1∈(一，0)和ξ2∈(0，)使得f(ξ1)=0且f(ξ2)=0又因f′(x)=6x+sinx，f″(x)=6+cosx＞0，所以f′(x)是增函数所以当x＜0时，f′(x)＜f′(0)，即f′(x)＜0当x＞0时，f′(x)＞f′(0)，即f′(x)＞0    所以，函数f(x)在(一∞，0)上严格单调递减，在(0，+∞)上严格单调递增因此，综上可知方程3x2一1=cosx共有2个根   

20． 求∫xsin2xdx．

正确答案：∫xsin2xdx=－∫xdcos2x=－[xcos2x－∫cos2xdx]=－xcos2x+∫cos2xdx]=－xcos2x+sin2x+C   

21． 计算dx．

正确答案：dx=2ln(1+x)dln(1＋x)=ln2(1＋x)=(ln2)2   

22． 计算瑕积分

正确答案：x=0是瑕点，dx=∫sectdt=ln｜sect＋tant｜＋C=ln｜2x＋2＋1｜＋C所以   

23． 将函数f(x)=展开成x的幂级数，并指出其收敛域．

正确答案：f(x)=又因xn，x∈(一1，1)所以＜1＜1所以f(x)=－xn，x∈(－2，2)当x=－2时，f(一2)=发散当x=2时，f(2)=发散所以收敛域为x∈(一2，2)    

综合题

24． 证明：若f(x)是[－a，a]上的连续函数，则f(x)dx=

正确答案：因为f(x)dx=f(x)dx+f(x)dxf(x)dxf(一t)(一dt)=f(一t)dt(Ⅰ)若函数f(x)为偶函数，则f(t)dt所以(x)dx；(Ⅱ)若函数f(x)为奇函数，则f(一t)dt=一f(t)dt所以f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=0所以，综合Ⅰ)和Ⅱ)可知，f(x)dx=   

25． 设f(t)是实的非负可积函数，若可积函数x(t)满足x(t)≤f(s)x(s)ds(t≥0)，则x(t)≤0．

正确答案：令F(t)=f(s)x(s)ds，则F′(t)=f(t)x(t)所以x(t)=，F(0)=0又∵x(t)≤f(s)x(s)ds，且f(t)是实的非负可积函数∴≤F(t)F′(t)≤f(t)∴F′(t)－f(t).f(t)≤0∴.F(t)]′≤0∴函数G(t)=F(t)单调递减∴当t≥0时，G(t)≤G(0)，即.F(t)≤0，所以F(t)≤0∴x(t)≤0   

26． 若f(x)在x=0的某个邻域中有连续的一阶导数，f′(0)=0，f″(0)存在，证明： 

正确答案：∵函数f(x)在x=0的某个领域中有连续的一阶导数所以由拉格郎日中值定理可知，至少存在一点ξ∈(sinx，x)(0，δ)，其中0＜σ＜1使得f(x)－f(sinx)=f′(ξ)(x－sinx)所以＜1，所以=1(利用夹逼准则可得)所以当x→0＋时，ξ～x所以方法二：泰勒中值定理∵函数f(x)在x=c的某个邻域中有连续的一阶导数，f′(0)=0，f″(0)存在∴由泰勒中值定理可知f(x)=f(0)+f′(0)x+∴f(sinx)=f(0)+f′(0)sinx+