2013上海高考数学文科试题及解析

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一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．不等式的解为         ． 

2．在等差数列中，若，则         ．

3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则        ．

4．若，，则        ．

5．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是        （结果用反三角函数值表示）．

6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为        ．

7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则       ．

8．方程的实数解为       ． 

9．若，则        ． 

10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则        ．

11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是       （结果用最简分数表示）．

12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为       ．

13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为        ．

14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是        ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．函数的反函数为，则的值是（    ）

（A）        （B）        （C）        （D）

16．设常数，集合，．若，则的取值范围为（    ）

（A）        （B）        （C）        （D）

17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（     ）

（A）充分条件                    （B）必要条件

（C）充分必要条件                （D）既非充分又非必要条件

18．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（    ）

A．0     B．     C．2      D． 

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．

甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元．

（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；

（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．

    已知函数，其中常数．

（1）令，判断函数的奇偶性并说明理由；

（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

    已知函数．无穷数列满足．

（1）若，求，，；

（2）若，且，，成等比数列，求的值；

（3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

    如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．

（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；

（3）求证：圆内的点都不是“型点”．

参

一、选择题

1．    【解析】

2．15  【解析】

3．    【解析】

4．1 【解析】，联立上式解之得

5．   【解析】

6．78  【解析】

7．     解：，

故．

8．   

【解析】

9．   【解析】

10．     【解析】

11．   解：7个数4个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．

【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

12．   解：不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．

法二：【解析】 如右图所示。

13．    【解析】 考查均值不等式的应用。

14．    【解析】 根据对称性， 

15．A    【解析】

16．B 解：集合A讨论后利用数轴可知，或，解答选项为B．

法二：代值法，排除法。当a=1时，A=R，符合题意；当a=2时， 

综上，选B

标准解法如下: 

.

17．A   【解析】

选A

18．D   【解析】

选D

19．【解析】

所以， 

20．解：（1）每小时生产克产品，获利，

生产千克该产品用时间为，所获利润为.

（2）生产900千克该产品，所获利润为

所以，最大利润为元。

21．法一：解：（1）

是非奇函数非偶函数。

∵，∴ 

∴函数是既不是奇函数也不是偶函数。

（2）时，，，

其最小正周期

由，得，

∴，即

区间的长度为10个周期，

若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；

若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；

故当时，21个，否则20个。

法二：【解析】 （1）

（2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x):

.

所以y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个

22．【解析】 （1）

（2）

分情况讨论如何：

（3）

讨论如下:

23．【解析】 （1）

显然，由双曲线的几何图像性质可知，过.在曲线图像上取点P(0,1),则直线。这时直线方程为

    所以，C1的左焦点是“C1-C2型点”.过该焦点的一条直线方程是.

（2） 先证明“若直线y=kx与有公共点，则＞1”.

双曲线

.

.

所以，若直线y = kx 与有公共点，则＞1 . （证毕）

。

所以原点不是“C1-C2型点”；（完）

（3）设直线过圆内一点，则斜率不存在时直线与双曲线无交点。

设直线方程为：y = kx + m，显然当k=0时直线与双曲线不相交。

经计算，圆内所有点均在曲线的延长线所围成的区域内，所以

当时，直线与曲线不相交。若直线与曲线相交， 则·····①

下面讨论时的情况。

圆心到直线的距离·········②

假设直线与曲线相交，联立方程：， 

···············③

由①②③得： 

所以，过圆内任意一点做任意直线，均不存在与曲线和同时相交。即圆内的点都不是“C1-C2型点”.(证毕)