2020-2021学年湖南师大附中八年级(下)期末数学试卷(含解析)

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.下列方程中是一元二次方程的是

A.     B. 

C.     D. 

2.对于下列说法不正确的是

A. 开口向下    B. 对称轴为直线

C. 顶点为    D. y随x增大而减小

3.已知方程，则该方程用因式分解法可化简为

A.     B. 

C.     D. 

4.对于数据：6，3，4，7，6，0，下列判断中正确的是

A. 这组数据的平均数是6，中位数是6

B. 这组数据的平均数是6，中位数是7

C. 这组数据的平均数是5，中位数是6

D. 这组数据的平均数是5，中位数是7

5.将抛物线T：绕坐标原点O顺时针旋转得到抛物线，过点、的直线l与抛物线相交于点P、则的面积为

A. 8    B. 9    C. 10    D. 11

6.函数与在同一坐标系内的图象可以是

A.     B. 

C.     D. 

7.根据下列表格中的对应值，判断关于x的一元二次方程b，c为常数，的一个根的范围正确的是

C.     D. 

8.已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是

A.     B.     C.     D. 6

9.如图，已知抛物线，直线，当x任取一值时，x对应的函数值分别为、若，取、中的较小值记为M；若，记例如；当时，，，，此时，下列判断中正确的是 

当时，；当时，x值越大，M值越小；使得M大于2的x值不存在；使得的x值是或．

A.     B.     C.     D. 

10.矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F，则四边形AFCE是

A. 平行四边形    B. 菱形    C. 矩形    D. 正方形

11.二次函数的y与x的部分对应值如下表：则下列判断正确的是

C. 当时，    D. 抛物线的对称轴为

12.若、、为抛物线的图象上的三点，则，，的大小关系是

A.     B.     C.     D. 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.直线与x轴交点的坐标为______ ，与y轴交点的坐标为______ ．

14.如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为______．

16.将抛物线向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为______．

17.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，若，则______．

18.已知函数，当时，函数的最小值是，则实数a的取值范围是______．

三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）

19.已知正方形ABCD的边长为10厘米，AE长为8厘米，CF长为2厘米．求图中阴影部分面积．

四、解答题（本大题共6小题，共47.0分）

20.解方程：

；

．

21.如图所示，已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为，点B的横坐标为2．

分别求出一次函数和二次函数的表达式；

求的面积．

22.”一分钟跳绳”是近年来体育中考新增的考试项目之一，它主要测试学生的下肢力量和身体的协调性某校为检测九年级学生跳绳情况，抽样调查了部分学生，过程如下：

收集数据：随机抽取20名学生进行调查，数据如下单位：个：

整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格： 

分钟跳绳个数

用样本中的统计量估测该校九年级学生一分钟跳绳个数的等次为______ ；

该校有九年级学生1000人，试估计一分钟跳绳至少有130个的学生有多少人？

23.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且，过点A作于点M过点D作于点N，且，在DB的延长线上取一点P，满足．

求证：；

求AP的长．

24.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．填表不需化简： 

如果批发商希望通过销售这批T恤获利元，那么第二个月的单价应是多少元

25.在平面直角坐标系xOy中，过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函数图象于点D，点P是x轴上一动点，连接D P，过点P作DP的垂线交y轴于点在线段OA上，E不与点O重合，则称为点D，P，E的“平横纵直角”图1为点D，P，E的“平横纵直角”的示意图如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象与y轴交于点，与x轴分别交于点，若过点F作平行于x轴的直线交抛物线于点N．

              图1                                             图2

点N的横坐标为___________；

已知一直角为点的“平横纵直角”，若在线段OC上存在不同的两点、，使相应的点、都与点F重合，试求m的取值范围； 

设抛物线的顶点为点Q，连接BQ与FN交于点H，当时，求m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【解答】

解：A、整理得，它是一元一次方程，所以A选项错误；

B、为一元二次方程，所以B选项正确；

C、为分式方程，所以C选项错误；

D、为二元二次方程，所以D选项错误．

故选：B．

【分析】

根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．

本题考查了一元二次方程的定义：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2．

2.【答案】D

【解析】解：中，开口向下，A正确，不符合题意；

对称轴为直线，B正确，不符合题意；

顶点为，C正确，不符合题意；

当时y随着x的增大而增大，D错误，符合题意，

故选：D．

利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的选项．

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如的二次函数的性质．

3.【答案】D

【解析】解：，

，

，

，

故选D．

方程移项后得到，再提取公因式，整理后得到，据此选择正确答案．

本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是提取等号两边公因式，此题难度不大．

4.【答案】C

【解析】解：，

众数为6，中位数为6，

A、这组数据的平均数是6，中位数是6，说法错误；

B、这组数据的平均数是6，中位数是7，说法错误；

C、这组数据的平均数是5，中位数是6，说法正确；

D、这组数据的平均数是5，中位数是7，说法错误；

故选：C．

首先计算出平均数，根据众数是出现次数最多的数据可得众数为6，根据把数据从小到大排列，位置处于中间位置的数是中位数，进而可得中位数为6，从而可得答案．

此题主要考查了中位数、众数、平均数，关键是掌握三种数的计算方法．

5.【答案】B

【解析】解点、，

，

建立如图新的坐标系，OB为轴，OA为轴．

在新的坐标系中，，，

直线AB解析式为，

由，解得或，

在新的坐标系中，，，

，

故选：B．

由题意、可知，建立如图新的坐标系为轴，OA为轴，利用方程组求出P、Q的坐标，根据计算即可．

本题考查坐标与图形的性质、二次函数图象与几何变换等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考的压轴题．

6.【答案】B

【解析】【解析】

试题分析：先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案：

A、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故错误；

B、由函数的图象可知，由函数的图象可知，正确；

C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故错误；

D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故错误．

故选B．

考点：一次函数和反比例函数的图象特征．

7.【答案】B

【解析】解：根据表格可知，当时， ，

当时， ，

时，对应的x的值在之间．

故选B．

观察表格可知，随x的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的x的值在之间．

本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

根据根与系数的关系，可得出ab和的值，再代入即可．

【解答】

解：、b是一元二次方程的两个根，

，，

，

故选C．

9.【答案】D

【解析】解：当时，一次函数图象位于二次函数上方，

故错误；

当，两个函数的函数随着x的增大而增大，

当x越大时，M越大，故错误；

函数有最大值，最大值为，

不存在使得M大于2的x的值，故正确；

令，即：．

解得：，不题意舍去 

令，得：，

解得：故正确．

故选：D．

当时，一次函数图象位于二次函数上方，可对做出判断；当，两个函数的函数随着x的增大而增大，故可对做出判断；有最大值2，故可对做出判断；分别令，结合图象可求得x的取值．

本题主要考查的是函数与不等式的关系，根据理解函数图象与不等式不等式组之间的关系是解题的关键．

10.【答案】B

【解析】解：作图如右，设AC与EF的交点为O，

四边形ABCD是矩形，

，

，

垂直平分AC，

，，

又，

≌，

，

四边形AFCE为平行四边形，

又，

平行四边形AFCE为菱形．

故选：B．

根据ABCD为矩形，根据矩形的对边平行得到AE与CF平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的定义得到，且AC与EF垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到三角形AOE与三角形COF全等，根据全等三角形的对应边相等得到，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证．

本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理．其中矩形的性质有对边平行且相等，四个角都为直角，对角线互相平行且相等；菱形的性质有四条边相等，对角线互相平分且垂直，一条对角线平分一组对角；菱形的判定方法一般有：四条边相等的四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形等，熟练掌握这些判定与性质是解本题的关键．

11.【答案】D

【解析】解：根据表格可知，当时，y有最大值3，抛物线开口向下，故A说法错误；

当时，，抛物线与y轴交于正半轴，故B说法错误；

根据抛物线具有对称性，当时，，当时，，故C说法错误；

当时，y最大，值为3，抛物线的对称轴为，故D说法正确．

故选：D．

根据表格中的数据，利用抛物线的对称性，逐项判断即可．

本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，解决此类问题时，先找到当x为何值时，y有最大最小值，找到对称轴是解题的关键．

12.【答案】B

【解析】解：当时，；

当时，；

当时，；

所以．

故选B．

分别计算出自变量为，和3所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

13.【答案】  

【解析】解：当时，，解得；故直线与x轴交点的坐标为；

当时，；故直线与y轴交点的坐标为；

故答案是：；．

x轴上的点，纵坐标为0，将其代入，解出x的值即可；y轴上的点，横坐标为0，将其代入，解出y的值即可．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟记：x轴上的点，纵坐标为0；y轴上的点，横坐标为0．

14.【答案】

【解析】解：点P的坐标为，对称轴为，

则：PQ之间的距离为，

则：点Q的横坐标为，

故答案为：．

点P的坐标为，对称轴为，则：PQ之间的距离为，即可求解．

本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到图象上点的性质等函数基本属性，本题是一道基本题．

15.【答案】

【解析】解：根据题意得，

所以，

所以锐角．

故答案为．

根据判别式的意义得到，则，然后利用特殊角的三角函数值求的值．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了特殊角的三角函数值．

16.【答案】2

【解析】解：抛物线向上平移a个单位后得到的抛物线的解析式为，

此时抛物线的顶点坐标为，

因为新抛物线恰好与x轴有一个交点，

所以，解得．

故答案为2．

利用抛物线的平移变换得到平移后的抛物线的解析式为，此时抛物线的顶点坐标为，利用抛物线的顶点在x轴上得到，从而得到a的值．

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

17.【答案】4

【解析】解：在平行四边形ABCD中，，

则∽，

，

为对角线的交点，

，

又为OD的中点，

，

则DE：：3，

：：3，

，

：：3，

：：2，

，

故答案为：4．

首先证明∽，然后利用对应边成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知，即可得出DF：FC的值．

本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明∽，然后根据对应边成比例求值．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．

结合函数的图象和性质，及已知中当时函数的最小值为，可得实数a的取值范围．

【解答】

解：函数的图象是开口朝上且以为对称轴的抛物线，

当且仅当时，函数取最小值，

函数，当时，函数的最小值是，

，

故答案为：．

19.【答案】解：四边形ABCD是正方形，

，厘米，

厘米，厘米，

厘米，厘米，

，

∽，

，

，

的边OA上的高和的边OF上的高相等，

，

同理，

，

图中阴影部分的面积是，

答：图中阴影部分的面积是25．

【解析】求出，，根据等底等高的三角形的面积相等求出，，分别求出和的面积，求出和的面积，代入即可求出答案．

本题考查了正方形的性质、三角形的面积、面积及等积变形的应用，关键是能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积，题目比较好．

20.【答案】解：，

，

，

，

，

解得，；

，

，

，

或，

，．

【解析】利用配方法求解即可；

移项，利用因式分解法求解即可．

此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键；也考查了配方法解一元二次方程．

21.【答案】解：一次函数的图象相过点，

，解得，

一次函数表达式为，

过点，

，解得，

二次函数表达式为；

在中，令，得，

，

点B的横坐标为2，

．

【解析】利用点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式；

求出点G的坐标，利用求解即可．

本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法．

22.【答案】7  3  135  B

【解析】解：整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：

分钟跳绳个数

分析数据：补全下表中的统计量：

得出结论：

根据上表统计显示：样本中位数和众数都是135，平均数是133，都是B等级，

            所以用样本中的统计量估测该校九年级学生一分钟跳绳个数的等次为B．

故答案为：B；

该校有九年级学生1000人，试估计一分钟跳绳至少有130个的学生有多少人

解：人．

该校有九年级学生1000人，估计一分钟跳绳至少有130个的学生有550人．

整理数据：根据20名学生的成绩，得出C、A两个等级的人数，完成表格；

分析数据：根据众数的定义填写表格；

得出结论：

由样本中位数和众数、平均数都是B等级可得答案；

利用样本估计总体思想求解可得．

此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数平均数、中位数、众数和理解样本和总体的关系是关键．

23.【答案】解：证明：，，

，

又，，

；

由得：，

又，，

，

是等腰直角三角形，

．

【解析】根据，，可得，再根据，，即可得到；

由，依据，，即可得到是等腰直角三角形，进而得到．

本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定是等腰直角三角形．

24.【答案】解：x  x  x 

根据题意，得

xxx．

整理，得xx．

解这个方程，得xx．

当x时，x．

答：第二个月的单价应是70元．

【解析】略

25.【答案】解：；

，

 要使线段OC上存在不同的两点、，使相应的点、都与点F重合，也就是使以FN为直径的圆与OC有两个交点，即．

，

．

又，

；

设抛物线的表达式为：，

又抛物线过点，

．

．

．

过点Q 做轴与FN 交于点R，

轴

，

，

又，

，

当时，可求出，

当时，可求出．

的取值范围为．

【解析】

【分析】

此题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，锐角三角函数，二次函数的综合运用．

根据点N的横坐标和点F ；

由，要使线段OC上存在不同的两点、，使相应的点、都与点F重合，也就是使以FN为直径的圆与OC有两个交点，即可求出m的取值范围；

设抛物线的表达式为：，抛物线过点，即可求出抛物线的解析式，过点Q 做轴与FN 交于点R，轴，分别讨论当时，当时求出m的值，即可解答问题．

【解答】

解： 二次函数图象与y轴交于点，与x轴分别交于点，，且轴，

点N的横坐标为，

故答案为9；

见答案；

见答案．