贵州省敬南中学2012届高三下学期4月月考数学(理)试题

I 卷

一、选择题

1．已知函数，又为锐角三角形两锐角，则（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】B

2．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为(　　)

A．16    B．

C．      D．2

【答案】C

3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为(　　)

A．x－y＋5＝0        B．x＋y－1＝0

C．x－y－5＝0        D．x＋y－3＝0

【答案】A

4．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

A．5              B．10

C．15              D．20

【答案】B

5．据报道，德国“伦琴”（ROSAT）卫星将在2011年10月23日某时落在地球的某个地方，砸中地球人的概率约为，为了研究中学生对这件事情的看法，某中学对此事进行了问卷调查，共收到2000份有效问卷，得到如下结果。

对卫星撞地球

A．2    B． 3    C． 5    D． 10

【答案】A

6．从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为,则函数的图象经过第三象限的概率是（    ）

A．

B． 

C． 

D．  

【答案】C

7．函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（    ）

A．向右平移个长度单位    B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位    D．向左平移个长度单位

【答案】A   

解析：由图象可知A=1，又，从而，将代入到中得，，根据得到，所以函数的解析式为。将图象右移个长度单位即可得到的图象。

8．M，N是曲线y＝πsinx与曲线y＝πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为(　　)

A．π    B．π              C．π         D．2π

【答案】C

9．已知函数若，则a的取值范围是 (     ）

A．（-6，-4）    B．（-4，0）    C．（-4，4）    D．（0，）

【答案】B

10．已知实数满足的约束条件则的最大值为（）

A．  20    B．  24    C．  16    D．  12

【答案】B

11． 若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为  (    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP斜率为1即可,所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率大于,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.

12．已知集合的元素个数是(  )

A．       B．       C．       D．   无数个

【答案】B  

II卷

二、填空题

13．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．

【答案】1

14．过两点(5,7)(1,3)的直线方程为        若点(a,12)在此直线上,则a=            .

【答案】x-y+2=0;   10

15．已知随机变量X～且则　　　．

【答案】0.1

16．在中，如果，，，则的面积为               ．

【答案】

三、解答题

17．如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上. 

(Ⅰ）设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并

注明函数的定义域；

(Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请给予证明.

【答案】（Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：

    ，  

 又.   

     把代入得，

     ∴

     ∵      ∴

    即函数的定义域为.

(Ⅱ）如果DE是水管，则，

 当且仅当，即时“=”成立，故DE//BC,且DE=.

 如果DE是参观线路，记，则

 ∴函数在上递减，在上递增

 故. 

 ∴.

 即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.

18．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围；

(2)求圆C的方程；

(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．

【答案】(1)令x＝0，得抛物线过点(0，b)．

令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0.

由题意应有b≠0且△＝4－4b＞0.

∴b＜1且b≠0.

(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.

这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，∴D＝2，F＝b.

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.此方程有一个根为b.

∴b2＋E·b＋F＝0.而F＝b，∴E＝－b－1.

∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－by－y＋b＝0.

(3)圆C过定点，证明如下：

假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程并变形为

x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.

为了使上述方程对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有，解得或．

经验证：点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此圆C过定点．

19．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关（假设骰子是均匀的正方体）。问：

(1）某人在这项游戏中最多能过几关？

(2）他连过前两关的概率是多少？

【答案】（1）由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相同的。

      因骰子出现的点数最大为6，而，因此，当时，次出现的点数之和大于已不可能。故这是一个不可能事件，最终过关的概率为0。所以，最多只能连过4关。

    (2）设事件为“第关过关失败”，则对立事件为“第关过关成功”。

      第关游戏中，基本事件总数为个。

第1关：事件所包含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况）。所以，过此关的概率为

第2关：事件所包含基本事件数为6，所以，过此关的概率为

故连过前两关的概率是

20．已知函数（为常数）．

(1）求函数的最小正周期和单调增区间；

(2）若函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像关于轴对称，求实数的最小值

【答案】（1）

的最小正周期为   

当，即时，

函数单调递增，故所求区间为 

(2）函数的图像向左平移个单位后得，要使的图像关于轴对称，只需  

即，所以的最小值为．

21．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，有f(x)≤(x＋2)2成立．

(1)证明：f(2)＝2；

(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；

(3)设g(x)＝f(x)－x，x∈0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝的上方，求实数m的取值范围．

答案：(1)证明：由条件知：

f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．

又因取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.

(2)因，

∴4a＋c＝2b＝1.

∴b＝，c＝1－4a.

又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．

∴a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，

解出：a＝，b＝，c＝．

∴f(x)＝x2＋x＋．

(3)由分析条件知道，只要f(x)图象(在y轴右侧)总在直线y＝x＋上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，

于是：

利用相切时Δ＝0，解出m＝1＋，

∴m∈(－∞，1＋)．

另解：g(x)＝x2＋(－)x＋>在x∈0，＋∞)必须恒成立．

即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈0，＋∞)恒成立，

①Δ<0，即4(1－m)2－8<0.

解得：1－②解得：m≤1－，

综上m∈(－∞，1＋)．

22．已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且，证明：直线过定点（）．

【答案】（Ⅰ）由已知可得 ，所求椭圆方程为．

(Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．

设，，由  得 

则．由已知，

所以，即．

所以，整理得 ．故直线的方程为，即（）．

所以直线过定点（）．

若直线的斜率不存在，设方程为，设，，

由已知，得．此时方程为，显然过点（）．

综上，直线过定点（）．