高考数学理科模拟试卷及答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则集合=（    ）

A．         B．       C．       D．

2.设复数满足，则=（ ）

A．          B．           C．          D．

3.若，，则的值为（    ）

A.             B．             C.           D．

4.已知直角坐标原点为椭圆的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为（    ）

A.                   B．                C.                D．

5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（    ）

A．               B．                C.               D．

6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（    ）

A.         B．         

C.                  D．

7.函数在区间的图象大致为（ ）

         A．                 B．               C．               D．

8.二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则的值为（    ）

A．4            B．8             C.12                D．16

9.执行下图的程序框图，若输入的，，，则输出的的值为（ ）

A.81          B．        C.        D．

10.已知数列，，且，，则的值为（    ）

A．       B．       C.        D．

11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（    ）

A. 函数图象的对称轴方程为

B．函数的最大值为       

C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行         

D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为

12.已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）

A．                  B．          

C.                   D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.向量，，若向量，共线，且，则的值为         ．

14.设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为          ．

15.设，满足约束条件则的取值范围为          ．

16.在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为          .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记求的前项和.

18.如图所示的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：

（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；

（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？

（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为级的个数的分布列与数学期望.

20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）

（1）求椭圆的方程.

（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.

21. 设函数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.

（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；

（2）当时，两曲线相交于，两点，求.

23. 选修4-5：不等式选讲.

已知函数.

（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；

（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.

参及解析

一、选择题

1-5:BCAAD       6-10:AABCC      11、12：CD

二、填空题

13.-8          14.           15.           16.

三、解答题

17.解：（1）当时，由及，

得，即，解得.

又由，①

可知，②

②-①得，即.

且时，适合上式，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，故

（2）由（1）及，

可知，

所以，

故.

18.解：（1）因为底面为菱形，所以，

又平面底面，平面平面，

因此平面，从而.

又，所以平面，

由，，，

可知，，

，，

从而，故.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，所以分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），

则，，，，，

所以，，.

由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为.

设平面的法向量为，

则即即令，得，

所以.

从而.

故所求的二面角的余弦值为.

19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，

所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，

则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.

（2）这100名学生成绩的平均分为，

因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.

（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中级4个，级7个，从而任意选取3个，这3个为级的个数的可能值为0，1，2，3.

则，，

，.

因此可得的分布列为：

则.

20.解：（1）由题意可知，所以，即，①

又点在椭圆上，所以有，②

由①②联立，解得，，

故所求的椭圆方程为.

（2）设，由，

可知.

联立方程组

消去化简整理得，

由，得，所以，，③

又由题知，

即，

整理为.

将③代入上式，得.

化简整理得，从而得到.

21. 解：（1）由，可知.

因为函数的定义域为，所以，

①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；

②若时，当在内恒成立，函数单调递增；

③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.

（2）证明：由题可知，

所以.

所以当时，；当时，；当时，.

欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.

设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，

则

两式相减并整理得，

从而，

故只需证明，

即.

因为，

所以（*）式可化为，

即.

因为，所以，

不妨令，所以得到，.

记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.

又，

因此，，

故，得证，

从而得证.

22.解：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.

曲线：，两边同乘.可得普通方程为.

把代入曲线的普通方程得：，

而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.

（2）当时，曲线：，

两曲线交点，所在直线方程为.

曲线的圆心到直线的距离为，

所以.

23. 解：（1）因为

所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.

（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.

所以，从而，

从而.

当且仅当时，等号成立，

即，时，有最小值，

所以得证.