对数与对数函数知识梳理

【考纲要求】

1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；

2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 

3.正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.

4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、对数概念及其运算

我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.

(一)对数概念:

1.如果，那么数b叫做以a为底N的对数，

记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数恒等式：

3.对数具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即；

(2)1的对数为0，即；

(3)底的对数等于1，即.

(二)常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，.

以e为底的对数叫做自然对数， .

(三)对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.

它们的关系可由下图表示.

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.

(四)积、商、幂的对数

已知

(1)；

推广：

(2)；

(3).

(五)换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:

(1) 

令 logaM=b， 则有ab=M，  (ab)n=Mn，即， 

即，即:.

(2) ，令logaM=b， 

则有ab=M， 则有 

即， 即，

即

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.

而且由(2)还可以得到一个重要的结论:

.

考点二、对数函数及其图像、性质

1.函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.

2.在同一坐标系内，

当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；

当0(1)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R

(2)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图像过点(1，0)

(3)当a>1时，

【典型例题】

类型一、指数式与对数式互化及其应用

例1.将下列指数式与对数式互化：

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)；(6).

【解析】(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)；(6).

【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.

举一反三：

【变式】求下列各式中x的值：

(1)   (2)   

(3)lg100=x   (4)

【解析】(1)；

(2)；

(3)10x=100=102，于是x=2；

(4)由.

类型二、对数运算法则的应用

例2.求值

(1) log·log2732

(2)

(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

【解析】(1)原式=.

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

举一反三：

【变式】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?

【解析】∵     ∴，

类型三、对数函数性质的综合应用

例3.已知函数

（1）求函数的值域；（2）求的单调性

【解析】

举一反三：

【变式】（2015  天津高考文）已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|―1（m为实数）为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f (2m)，则a，b，c的大小关系为（    ）

(A)a＜b＜c       (B)c＜a＜b       (C)a＜c＜b       (D)c＜b＜a

【答案】B

【解析】由题意，，即，解得m=0，所以

 因为，，2m=0

 由函数关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调增可知：.故选B.

例4．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.

【解析】设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.

∵ y=t为减函数，且0∴ y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.

再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1∴ t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.

∴ 函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.

例5. 判断下列函数的奇偶性.

(1) (2).

【解析】由

所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

又

所以函数是奇函数；

【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.

(2)【解析】由

所以函数的定义域为R关于原点对称，又

即f(-x)=-f(x)；所以函数.

【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.

例6．（2015 泸州模拟）已知函数为奇函数，函数.

(1)求函数的定义域.

(2)当时，关于的不等式有解，求的取值范围.

【解析】（1）由为奇函数得

即

解得

  解得

的定义域为.

（2）不等式等价于

即在有解，故只需

函数在上单调递增

的取值范围是.

例7. （2015年北京理）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是

A． ．

C． ．

【答案】C

【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象.

满足不等式的x的范围是；所以不等式的解集是