人教版八年级数学下册 第十九章 一次函数 知识点汇总

19.1 函数

19.1.1 变量与函数

例：

一、分别指出思考（1）~（4）的变化过程中所涉及的量，在这些量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？

（1）涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度始终不变；

（2）涉及的量有：票价、张数和票房收入，其中张数和票房收入发生了变化，票价始终不变；

（3）涉及的量有：圆周率、半径和面积，其中半径和面积发生了变化，圆周率始终不变；

（4）涉及的量有：矩形的周长、边长和邻边长，其中边长和邻边长发生了变化，矩形的周长始终不变.

所以我们得到：

1、在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.

2、在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.

思考：在（1）~（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？

在一些图或表格表示的问题中，可以看到两个变量间有上面哪样的关系.

3、一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.如果当时，那么b叫做当自变量为a时的函数值.

思考：在（1）~（4）的变化过程中，发生变化的量有条件吗？如何？

解：变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义.  

（1）中的时间t不能为负数，

（2）中票的张数x只能为自然数，

（3）中圆的半径r不能为负数，

（4）中一边长x最多为周长的一半且不能为负数

4、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.

确定函数定义域的方法：

  （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

  （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

  （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

  （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

  （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义.

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

例. 下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？指出自变量的取值范围.试写出函数的解析式.

（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变.

（2）每分向一水池注水，注水量y(单位: )随注水时间x(单位min)的变化而变化.

（3）秀水村的耕地面积是1000000，这个村人均占有耕地面积y（单位)随这个村人数n的变化而变化.

（4）水池中有水10升，此后每小时漏水0.05升，水池中的水量v(单位：升)随时间t（单位：h）的变化而变化.

解：（1）正方形的边长是自变量，它的面积是自变量的函数，自变量的取值范围是：，解析式为

（2）注水时间是自变量，注水量是自变量的函数，自变量的取值范围是：，解析式为

（3）这个村的人口是自变量，人均耕地面积是自变量的函数，自变量的取值范围是：n为自然数，解析式为

（4）漏水时间是自变量，水池中的存水量是自变量的函数，自变量的取值范围是：，解析式为

19.1.2 函数的图象

1、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

2、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）.

例.画出的函数的图象.

可以看出x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围为全体实数.

从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表如下

从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，随之增大.

3、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律.

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示.

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系.

19.2 一次函数

19.2.1 正比例函数

例. 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式

（1）每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 变化而变化；

（2）冷冻一个0 ℃ 的物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度 T（单位：℃）随冷冻时间 t（单位：min）的变化而变化．

解：（1）  （2）

1、一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

2、当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；

当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2)必过点：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

19.2.2 一次函数    

1、一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量.当时，一次函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

例1：下列函数哪些是一次函数？

① y=－x+b, ② y= +1, ③ y=k2x+3, ④ y=8x2+x(1－8x), ⑤ c=2r。

错因分析：误认为形如y=kx+b的关系式就是一次函数，未认识到一次函数成立的条件。判断一个函数是不是一次函数，应抓住一次函数的概念，就看它能否化为y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的形式。②中 为分式，x的指数为不为1，应排除。③中k2未告诉是常数可能为变量，也应排除。④可化为y=x，二次项消除了，⑤中是常数，④和⑤都是正比例函数，是特殊的一次函数。

正确答案：一次函数有① ④ ⑤ 。

2、一次函数及性质

（1）解析式：（，是常数，且） （2）必过点：（0，b）和（-，0）

（3）

一次

（5）倾斜度：越大，图象越接近于y轴；越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移： 当时，将直线的图象向上平移b个单位；

当时，将直线的图象向下平移b个单位.

3、待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法。

例. 已知一次函数的图象过点（3，5）与点（-4，-9），求这个一次函数的解析式．

解：设一次函数为y=kx+b（k≠0），（1分）

∵它的图象经过（3，5），（-4，-9）， 

∴

解得： ，

6、正比例函数和一次函数及性质

（1）两直线平行且 （2）两直线相交

（3）两直线重合且 （4）两直线垂直

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

例. 一辆汽车由乌海匀速驶往呼和浩特，下列图象中能大致反映汽车距离成都的路程 （km）和行驶时间 （h）的关系的是（     ）.

     A                     B              C                  D

答案：B

例.已知与成正比例，且当时，，求y与x的函数关系式．

错解：设，把，，代入得，解得，于是与x的函数关系式是．

　错解分析：错解中把与成正比例误认为与x成正比例．

　正解：设 ，把，，代入得，所以 ，所以y与x的函数关系式是 ．

例.已知等腰三角形的周长是16cm，底边长是ycm，腰长是 cm，求y与 的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围.

错解： y与 的函数关系式是 ，自变量 的取值范围是.

错解分析：  造成错解的原因是只考虑到 不能取零或负数，没有考虑到三角形的三边关系.因为三角形的两边之和大于第三边，所以 ，从而，于是 .

正确的答案是： 与的函数关系式是 ，自变量的取值范围是.

例.已知一次函数 的图象经过点（3,0），且与坐标轴围成的三角形面积为6，求这个一次函数的关系式.

错解： 对于一次函数 ，当时， ，即一次函数 与轴的交点是，由 得 ，将 代入，得，所以这个一次函数的关系式是 .

解题关键：先求直线与x轴y轴的交点坐标，再求利用三角形的面积公式求解。

错解分析： 此题涉及三角形的面积的计算，在表示三角形的面积时，用的是线段的长度，不是点的坐标，所以在计算时，应加绝对值，即，此时，所以所求一次函数的关系式有两个，即或