2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(含解析)

第一部分 选择题（每小题3分，共81分）

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1. 集合的子集个数为（    ）

A. 4    B. 6    C. 7    D. 8

2. 函数的定义域是（    ）

A.     B.     

C.     D. 

3. 的值等于(     )

A. 0    B.     C.     D. －

4. 已知，，向量与平行，则实数k的值为（    ）

A.     B.     C.     D. 

5. 在△ABC中，，，则的最大值为（    ）

A.      B.     C.     D. 

6. 已知点和点B关于直线对称，斜率为k的直线m过点A交l于点C，若△ABC的面积为2，则k的值为(     )

A. 3或    B. 0    C.     D. 3

7. 设则以线段AB为直径的圆的方程是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

8. 下列关于棱柱的说法中，错误的是（    ）

A. 三棱柱的底面为三角形

B. 一个棱柱至少有五个面

C. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形

D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等

9. 圆心为(1,－1)且过原点的圆的一般方程是

A.     B. 

C.     D. 

10. 与直线关于坐标原点对称的直线方程为（    ）

A.     B. 

C.     D. 

11. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，若绕点O逆时针旋转60°得到向量，则（    ）

A. (0,1)    B. (1,0)

C.     D. 

12. 已知直线l过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程不可以是下列（    ）选项.

A. 2x-y=0    B. x+y=3    C. x-2y=0    D. x-y+1=0

13. 已知倾斜角为的直线过定点，且与圆相切，则的值为（    ）

A.     B. 

C.     D. 或

14. 函数f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是(    )

A.     B. 

C.     D. 

15. 在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与轴正半轴所成的最小正角为，则等于（    ）

A.     B.     C.     D. 

16. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数的是（    ）

A.     B.     C.     D. 

17. 已知f(x)是定义在R上的函数，且满足，当时，，则的值为（    ）

A. 2    B. －1    C.     D. 1

18. 已知，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

19. 在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若，，则△ABC的外接圆面积为（    ）

A. π    B. 2π    C. 4π    D. 8π

20. 已知△ABC中，满足 的三角形有两解，则边长a的取值范围是（　　）

A     B. 

C.     D. 

21. 已知向量，，若，则（   ）

A. －1    B. 0    C. 1    D. 2

22. 已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（    ）

A. 若l∥m，则必有α∥β    B. 若l⊥m，则必有α⊥β

C. 若l⊥β，则必有α⊥β    D. 若α⊥β，则必有m⊥α

23. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )

A. 若且，则

B. 若且，则

C. 若且，则

D. 若且，则

24. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（    ）

A.     B.     C.     D. 

25. 如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列判断正确的是（    ）

A. ，甲比乙成绩稳定

B. ，乙比甲成绩稳定

C. ，甲比乙成绩稳定

D. ，乙比甲成绩稳定

26.在△ABC中，，，，则k的值是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

27. 在一组样本数据中，1，4，m，n出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则（    ）

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

第二部分 解答题（共19分）

28.（本小题满分5分）

设常数，函数．

（1）若为偶函数，求的值；

（2）若，求方程在区间上的解．

29.（本小题满分5分）

在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为的中点，且，平面平面.

（1）证明：平面ABC；

（2）证明：.

30.（本小题满分5分）

已知直线l过定点，圆C：．

（1）若l与圆C相切，求l的方程；

（2）若l与圆C交于M，N两点，求面积的最大值，并求此时l的直线方程．

31.（本小题满分4分）

设函数，且，函数．

（1）求的解析式；

（2）若方程－b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围．

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1. 集合的子集个数为（    ）

A. 4    B. 6    C. 7    D. 8

【答案】D

【解析】解：∵，

∴集合A的子集个数为个，

故选：D.

2. 函数的定义域是（    ）

A.     B.     

C.     D. 

【答案】C

【解析】要使函数有意义，则，

即，即x≥﹣2且x≠1，

即函数的定义域为[﹣2，1）∪（1，+∞），

故选C．

3. 的值等于(     )

A. 0    B.     C.     D. －

【答案】B

【解析】原式．

故选：B.

4. 已知，，向量与平行，则实数k的值为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】，即，

∴.

故选：C.

5. 在△ABC中，，，则的最大值为（    ）

A.      B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】在△ABC中，，，则，

所以，.

则

，（其中）

因为，

所以当时，取得最大值。

故答案为：

6. 已知点和点B关于直线对称，斜率为k的直线m过点A交l于点C，若△ABC的面积为2，则k的值为(     )

A. 3或    B. 0    C.     D. 3

【答案】B

【解析】设点，则解得：，则，

设直线的方程为：与方程联立，

解得：，则，

因为直线的方程为：，且，

点到直线的距离，

所以.

故选：B.

7. 设则以线段AB为直径的圆的方程是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】A

【解析】的中点坐标为：，圆半径为，

圆方程为.

故选：.

8. 下列关于棱柱的说法中，错误的是（    ）

A. 三棱柱的底面为三角形

B. 一个棱柱至少有五个面

C. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形

D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等

【答案】D

【解析】三棱柱的底面为三角形，所以A正确；

因为三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，B正确；

五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，所以C正确；

若棱柱的底面边长相等，它的各个侧面为平行四边形，即边长对应相等，但夹角不一定相等，所以D错误；

故选：D

9. 圆心为(1,－1)且过原点的圆的一般方程是

A.     B. 

C.     D. 

【答案】D

【解析】根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，

且其半径，

则其标准方程为，变形可得其一般方程是，

故选．

10. 与直线关于坐标原点对称的直线方程为（    ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】D

【解析】设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即.

故选：D.

11. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，若绕点O逆时针旋转60°得到向量，则（    ）

A. (0,1)    B. (1,0)

C.     D. 

【答案】A

【解析】    与轴夹角为    与轴夹角为

又    

故选：

12. 已知直线l过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程不可以是下列（    ）选项.

A. 2x-y=0    B. x+y=3    C. x-2y=0    D. x-y+1=0

【答案】C

【解析】解：由题意设所求直线的横截距为，

（1）当时，由题意可设直线的方程为，将代入可得，

∴直线的方程为；

（2）当时，由截距式方程可得直线的方程为（截距相等）或（截距相反），将代入可得或，

∴直线的方程为或；

故选：C．

13. 已知倾斜角为的直线过定点，且与圆相切，则的值为（    ）

A.     B. 

C.     D. 或

【答案】A

【解析】由题意知且,则直线斜率,

直线方程为,即,

圆心坐标,则圆心到直线的距离,

即,解得,即,

由,可得,

所以,

故选:A.

14. 函数f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是(    )

A.     B. 

C.     D. 

【答案】A

【解析】由于，而的判别式，所以开口向上且有两个根，不妨设，所以在上递增，在上递减.所以C,D选项不正确.当时，，所以B选项不正确.由此得出A选项正确.

故选：A

15. 在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与轴正半轴所成的最小正角为，则等于（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】将点绕原点逆时针旋转到点，

根据三角函数的定义可知.

故选：D

16. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数的是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】A选项是偶函数且在为增；B选项不是偶函数；

C选项是偶函数，但是在不恒为增函数；

D选项不是偶函数，

故选:A．

17. 已知f(x)是定义在R上的函数，且满足，当时，，则的值为（    ）

A. 2    B. －1    C.     D. 1

【答案】D

【解析】】

故选：D

18. 已知，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】令，则，∴．

故选：B.

19. 在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若，，则△ABC的外接圆面积为（    ）

A. π    B. 2π    C. 4π    D. 8π

【答案】A

【解析】，由正弦定理得，

，由余弦定理可得，

，，

设△ABC的外接圆半径为，则，，

因此，△ABC的外接圆面积为.

故选：A.

20. 已知△ABC中，满足 的三角形有两解，则边长a的取值范围是（　　）

A     B. 

C.     D. 

【答案】C

【解析】由三角形有两解，则满足，即 ，解得：2＜＜，所以边长的取值范围（2，），

故选C．

21. 已知向量，，若，则（   ）

A. －1    B. 0    C. 1    D. 2

【答案】C

【解析】因为，所以，得，所以.

故选C

22. 已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（    ）

A. 若l∥m，则必有α∥β    B. 若l⊥m，则必有α⊥β

C. 若l⊥β，则必有α⊥β    D. 若α⊥β，则必有m⊥α

【答案】C

【解析】解：对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；

对于选项B，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B错误；

对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，符合面面垂直的判定定理，所以α⊥β，所以选项C正确；

对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误．

故选：C．

23. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )

A. 若且，则

B. 若且，则

C. 若且，则

D. 若且，则

【答案】B

【解析】A中直线m,n可能平行，可能相交，可能异面；B中由平面法向量的知识可知结论正确；C中直线a可能与面平行，可能在平面内；D中两平面可能平行可能相交

故选：B

24. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数， 

大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数， 

所以大夫、不更恰好在同一组的概率为． 

故选：B．

25. 如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列判断正确的是（    ）

A. ，甲比乙成绩稳定

B. ，乙比甲成绩稳定

C. ，甲比乙成绩稳定

D. ，乙比甲成绩稳定

【答案】A

【解析】由茎叶图知：

所以

由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中

所以乙比甲成绩稳定

故选：D

26.在△ABC中，，，，则k的值是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】A

【解析】，即，，解得：.

故选：.

27. 在一组样本数据中，1，4，m，n出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则（    ）

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

【答案】A

【解析】由题意得样本平均值为

故选：A

第二部分 解答题（共19分）

28.（本小题满分5分）

设常数，函数．

（1）若为偶函数，求的值；

（2）若，求方程在区间上的解．

【答案】(1);(2)或或.

【解析】（1）∵，

∴，

∵为偶函数，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，或，

∴，或，

∵，

∴或或

29.（本小题满分5分）

在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为的中点，且，平面平面.

（1）证明：平面ABC；

（2）证明：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】证明：（1）在中，分别为的中点，

∴，

∵平面，平面，

所以平面.

（2）在中，，为的中点，

∴，

又因为平面平面，

平面，平面平面，

∴平面，

因为平面，所以，即.

30.（本小题满分5分）

已知直线l过定点，圆C：．

（1）若l与圆C相切，求l的方程；

（2）若l与圆C交于M，N两点，求面积的最大值，并求此时l的直线方程．

【答案】（1）或；（2）2，或.

【解析】（1）由题，得圆的标准方程为，则圆心坐标为，半径．

①当直线的斜率不存在时，直线，符合题意；

②当直线的斜率存在时，设直线：，即．

因为直线l与圆相切，

所以圆心到直线l的距离等于半径，即，解得，

所以直线的方程为，化为一般式为． 

综上，l的方程为或； 

（2）由第1问知直线与圆交于两点，则斜率必定存在，则直线l的方程为，

所以圆心到直线l的距离，

所以面积，

所以当时，取得最大值2，由，

解得或，

所以直线l的方程为或．

31.（本小题满分4分）

设函数，且，函数．

（1）求的解析式；

（2）若方程－b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围．

【答案】（（1），（2）

【解析】解：（1）∵，且∴

∵∴

（2）法一：方程为令，则-

且方程为在有两个不同的解．

设，两函数图象在内有两个交点

由图知时，方程有两不同解．

法二： 方程，令，则

∴方程在上有两个不同的解．设

解得