集合与简易逻辑试卷

高效测评卷(一)

第一章　集合与常用逻辑用语

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【说明】　本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷　(选择题　共60分)

1．下列特称命题中真命题的个数为(　　)

①存在实数x，使x2＋2＝0；

②有些角的正弦值大于1；

③有些函数既是奇函数又是偶函数．

A．0　　　　　　　　    B．1

C．2      D．3

2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(　　)

A．{1,3}      B．{3,7,9}

C．{3,5,9}     D．{3,9}

3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(　　)

A．充分而不必要条件      B．必要而不充分条件

C．充要条件      D．既不充分又不必要条件

5．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝(　　)

A．{x|－1≤x≤1}      B．{x|x≥0}

C．{x|0≤x≤1}      D．∅

6．设全集U＝{x∈N＋|x≤a}，集合P＝{1,2,3}，Q＝{4,5,6}，则a∈[6,7)是∁UP＝Q的(　　)

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分又不必要条件

7．“a2＋b2≠0”的含义为(　　)

A．a，b不全为0

B．a，b全不为0

C．a，b至少有一个为0

D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0

8．已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为(　　)

A．1      B．－1

C．1或－1      D．0或1或－1

9．已知实数a、b，则“ab≥2”是“a2＋b2≥4”的(　　)

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

10．已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

11．定义：A⊗B＝，设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为(　　)

A．3     B．9

C．18      D．27

12．已知命题p：存在x∈R，使sin x－cos x＝，命题q：集合{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}有2个子集，下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或¬q”是真命题，正确的个数是(　　)

A．0      B．1

C．2     D．3

第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)

13．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.

14．设全集U＝A∪B＝{x∈N＋|lg x＜1}．若A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.

15．已知命题p：1∈{x|x2＜a}，q：2∈{x|x2＜a}，则“p且q”为真命题时a的取值范围是________．

16．给定下列四个命题：

①“x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件；

②若“p或q”为真，则“p且q”为真；

③若a＜b，则am2＜bm2；

④若集合A∩B＝A，则A⊆B.

其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)写出下列命题非的形式：

(1)p：函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有唯一交点；

(2)q：若x＝3或x＝4，则方程x2－7x＋12＝0.

18．(12分)判断下列命题的真假．

(1)任意x∈R，都有x2－x＋1＞.

(2)存在α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.

(3)任意x，y∈N，都有x－y∈N.

(4)存在x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.

19.(12分)设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.

20．(12分)已知A＝{x||x－a|＜4}，B＝{x||x－2|＞3}．

(1)若a＝1，求A∩B；

(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．

21.(12分)已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围． 【解析方法代码108001006】

22．(14分)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．

(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；

(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．

答案：

卷(一)

一、选择题

1．B　x2＋2≥2，故①是假命题；任意x∈R均有|sin x|≤1，故②是假命题；f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，③是真命题，故选B.

2．D　∵A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}且B∪(∁UB)＝U，

∴A＝{3,9}，故选D.

3．B　结论与条件互换位置，选B.

4．A　由x＝4知|a|＝＝5；反之，由|a|＝＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件，故选A.

5．C　∵A＝{x||x|≤1，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，

B＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}＝{x|x≥0}，

∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．

6．C　若a∈[6,7)，则U＝{1,2,3,4,5,6}，则∁UP＝Q，若∁UP＝Q，则U＝{1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a＜7，故选C.

7．A　a2＋b2＝0⇔a＝0，b＝0，于是a2＋b2≠0就是对a＝b＝0，即a，b都为0的否定，而“都”的否定为“不都是”或“不全是”，所以应该是“a，b不全为0”．

8．D　由M∩N＝N得N⊆M.当a＝0时，N＝∅，满足N⊆M；当a≠0时，M＝{a}，N＝，由N⊆M得＝a，解得a＝±1.故选D.

9．A　当ab≥2时，a2＋b2≥2ab≥4，充分性成立；当a2＋b2≥4时，取a＝－1，b＝3，有ab＝－3＜2，此时ab≥2不成立，故必要性不成立，故选A.

10．B　直线a垂直于平面α内无数条直线，但直线a与平面α不一定垂直．如直线a垂直于平面α内的一组平行线，反过来，直线a垂直于平面α肯定能推出直线a垂直于平面α内无数条直线．

11．C　当x＝0，y＝1时，z＝0；

当x＝0，y＝2时，z＝0；

当x＝2，y＝1时，z＝4；

当x＝2，y＝2时，z＝5.

所以A⊗B＝{0,4,5}，

同理可得(A⊗B)⊗C＝{0,8,10}．故选C.

12．C　由sin x－cos x＝sin∈[－，]，而∉[－，]，故命题p是假命题；集合{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}＝{1}，故其子集有∅与{1}两个，命题q是真命题．所以有命题“p且¬q”是假命题，命题“¬p或¬q”是真命题，②③正确，选C.

二、填空题

13．解析：　∵A∪B＝{1,2,3,4}，

∴2∈(A∪B)．∵2∉B，∴2∈A，

∴m＝2.

答案：　2

14．解析：　∵lg x＜1，∴0＜x＜10.

又∵x∈N*，

∴U＝A∪B＝{1,2,3，…，9}．

又∵A∪B＝U，∴∁UB＝A，

∴A∩(∁UB)＝∁UB＝{1,3,5,7,9}，

∴B＝{2,4,6,8}．

答案：　{2,4,6,8}

15．解析：　由1∈{x|x2＜a}，得a＞1；由2∈{x|x2＜a}，得a＞4.当“p且q”为真命题时，有p真q真，所以a＞4.

答案：　a＞4

16．解析：　①中，若x＝，则sin x＝，但sin x＝时，x＝＋2kπ或＋2kπ.故“x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p为假命题，q为真命题，有“p或q”为真命题，则“p且q”为假命题，故②为假命题；③中，当m＝0时，am2＝bm2，故③为假命题；④中，由A∩B＝A可得A⊆B，故④为真命题．

答案：　①④

三、解答题

17．解析：　(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点或至少有两个交点．

(2)若x＝3或x＝4，则x2－7x＋12≠0.

18．解析：　(1)真命题，∵x2－x＋1＝2＋≥＞.

(2)真命题，如α＝，β＝，符合题意．

(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N.

(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3，符合题意．

19．解析：　由9∈A，可得x2＝9，或2x－1＝9，

解得x＝±3或x＝5.

当x＝3时，

A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素重复，故舍去．

当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．

当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，

此时A∩B＝{－4,9}与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．

综上所述，A∪B＝{－8，－4,4，－7，9}．

20．解析：　(1)当a＝1时，A＝{x|－3＜x＜5}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．

∴A∩B＝{x|－3＜x＜－1}．

(2)∵A＝{x|a－4＜x＜a＋4}，

B＝{x|x＜－1或x＞5}，且A∪B＝R，

∴⇒1＜a＜3.

故实数a的取值范围是(1,3)．

21．解析：　由

得即2＜x＜3.

∴q：2＜x＜3.

设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，

B＝{x|2＜x＜3}，

∵¬p⇒¬q，∴q⇒p.∴B⊆A.

∴2＜x＜3含于集合A，

即2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.

设f(x)＝2x2－9x＋a，

要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，

需即

∴a≤9.

故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．

22．解析：　(1)由题意x∈P是x∈S的充要条件，则S＝P.

由x2－8x－20≤0⇒－2≤x≤10，

∴P＝[－2,10]．

由|x－1|≤m⇒1－m≤x≤1＋m，

∴S＝[1－m,1＋m]．

要使P＝S，

则∴

∴这样的m不存在．

(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则满足S P.

由|x－1|≤m可得1－m≤x≤m＋1，要使S P，

则且不同时取等号，∴m≤3.

综上可知，m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．