椭圆知识点总结

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

　注意：若，则动点的轨迹为线段；

　　　　　若，则动点的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程

　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： ，其中

2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： ，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，       才能得到椭圆的标准方程；

　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；

　　3．椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；

当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为， 

知识点三：椭圆的简单几何性质

　　椭圆： 的简单几何性质

1.对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2.范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。

3.顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为  ，，，　　

    ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4.离心率：

　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。

　②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下）：

（1）；； 

（2）；；；

　（3）；；；

5.通径：过焦点，垂直坐标轴，与椭圆相交线段的长。等于

6、弦长公式：（直线与椭圆的交点坐标设而不求）

若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，

（若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。）

7、圆锥曲线的中点弦问题：（直线和椭圆的交点设而不求）

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－

知识点四：椭圆与的区别和联系

规律方法：

 1．如何确定椭圆的标准方程？ 

　　任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

 2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义

　　椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。可借助右图理解记忆：　显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

　　椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

 4．方程是表示椭圆的条件

方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法： 

　　①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

　　②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： 

① 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；

② 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；

③ 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 

思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。最大面积bc焦点 三角的周长=2（a+c）

将有关线段，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 

9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，用表示为。

显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。