必修一函数的周期性

函数的周期性与对称性

一、基础知识

1、对称性：

（1）函数关于原点对称即奇函数： 

（2）函数关于对称即偶函数： 

（3）函数关于直线对称：或或 

     偶函数是轴对称的特例关于对称。

（4）函数关于点对称：或或

     奇函数是中心对称的特例关于点（0,0）对称

2、周期性：

（1）定义：对任意的,都有成立，则函数是周期函数，T是的周期

（2）性质：若T是f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期,所有周期中最小的叫最小正周期，简称周期。

（3） 常见函数的周期:

①y=sinx，最小正周期T＝2π；    ②y=cosx，最小正周期T＝2π；  ③y=tanx，最小正周期T＝π； 

④周期函数f(x) 最小正周期为T,则的最小正周期为

（4）关于周期的几个常用结论：

1>若对任意对任意的,都有： +b成立，则T=2m

  证明：由已知得：，故，T=2m

2>若对任意对任意的,都有：成立  ()，则T=2m 

    证明：由已知得：，故T=2m

3>，则是以为周期的周期函数.

4>，则是以为周期的周期函数.

5>，则是以为周期的周期函数.

6>若是R上的奇函数，且关于直线对称，则T=4m   （仿正弦函数抽象而得）

  证明：该函数关于直线对称  

        该函数是奇函数，则

        由1>得，T=4m

7>若是R上的偶函数，且关于直线对称，则T=2m   （仿余弦函数抽象而得）

   证明：该函数关于直线对称  

        该函数是偶函数，则

         故：T=2m

8>若定义在R上，且关于直线和对称（），则  （仿正余弦而得）

       证明：该函数关于直线对称， 

             该函数关于直线对称， 

                 则， 

                 故， 

9>若定义在R上，且既关于点对称，又关于直线对称，则（仿正余弦）

     证明：该函数关于点对称，   （1）

           该函数关于直线对称，代入（1）式得：

                     ，（2）

记，则代入（2）得：

        ，即： 

由结论1>得： 

10>若定义在R上，且既关于点对称，又关于点，则  （仿正余弦而得）

   证明：该函数关于点对称，   （1）

         该函数关于点对称，    （2）

        由（1）－（2）得， 

        记，则  代入上式得:

        ,即： 

        故： 

二、习题精练

1、f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则在区间（0，6）内的解的个数的最小值是 （   ）   

A．2；            B．3              C．4            D．5    

2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x)，则f(6)的值为    (    )

A．—1            B．0              C．1             D．2

3、设f（x）定义域为R，且对任意实数x,恒成立，f（x）在(0,3)内单调递减，且该函数的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是                      （   ）

A、；             B．；

C．；              D． 

 4、设函数（）是以为周期的奇函数，且，则   （   ）

5、定义域在的函数既是的偶函数，又关于对称，若在上是减函数，那么在上是  （   ）

增函数          减函数            先增后减函数    先减后增函数

6、已知函数是以为周期的偶函数，且当时，，则的值为                                             

7、函数的定义域为R，且对任意实数x,都有，则在内，方程的解至少有几个(     )

A．2；            B．4              C．5            D．6    

8、定义域为R，且对任意都有成立，若则=__________

9、是定义域在R上的奇函数，且其图像关于直线对称，求值

10、设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称，对任意x，ｘ２∈［０］，都有

且

(Ⅰ)求；       (Ⅱ)证明是周期函数；

11、（广东）设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．

（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论

11、已知函数f（x）的定义域为{x| x ≠ kπ，k ∈ Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（xy）=成立，且f（a） = 1（a为正常数），当0 < x < 2a时，f（x） > 0．

（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）为周期函数；（III）求f （x）在[2a，3a] 上的最小值和最大值．