原码、反码、补码

一、原码表示法

规定：最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的真实大小。例如：(+7)原= (0 0000111)2   (-7)原=( 1 0000111 )2，问题1：

(+13)原= (  ？ )2    (-13)原= (  ？ )2

二、反码表示法

规定：正整数的反码与原码相同；负整数的反码是符号位除外，对其原码逐位取反。即（0变1，1变0），例如：(+7)反= (0 0000111)2   (-7)反=( 1 1111000 )2，问题2：

(+17)反= (  ？ )2   (-17)反= (  ？ )2

三、补码表示法

规定：正整数的补码与原码相同；负整数的补码是在反码的末位加1。例如：

(+7)补=( 0 0000111) 2    (-7)补=( 1 1111001 ) 2，问题3：

(+20)补= (  ？ )2   (-20)补= (  ？ )2

四、先看几个特列：

1、数0的原码有两种形式：[+0]原=00000000B  [-0]原=10000000B

2、数0的反码有两种形式：[+0]反=00000000B  [- 0]反=11111111B

3、数0的补码表示形式：[+0]补=00000000B   [- 0]补=00000000B

从这里就可以看出，计算机只有采用补码才可以保证数字0编码的唯一性。下面，我们再深入分析采用补码的原因，举个例子：( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

先看下原码的运算：

(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.。

下面是反码的运算：

 ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

 (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题。因为0是没有正0和负0之分的。我们换成补码试试，下面是补码的运算：

 ( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

(00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = ( 0 ) 正确

★补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：

a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算。

b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。

c. 若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。

五、快速求负数反码的方法

1、先写出该负数的相反数（正数），再将该正数的二进制码写出来。

2、然后对这个二进制码按位取反，即若是1则改为0，若是0则改为1。

3、最后在末位加1。

求(-128)的补码，将128化为二进制为：1 0000000，最高位为1，首先取反得：01111111，加1得：1 0000000。

六、原码、反码和补码之间的转换

由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。在此，仅以负数情况分析。

（1） 已知原码，求补码。

例：已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。

解：由[X]原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。

1 0 1 1 0 1 0 0 原码   1 1 0 0 1 0 1 1 反码，符号位不变，数值位取反

末位1 +1 　　1 1 0 0 1 1 0 0 补码 

故：[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。

（2） 已知补码，求原码。

分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法。

例：已知某数X的补码11101110B，试求其原码。

解：由[X]补=11101110B知，X为负数。

采用逆推法

1 1 1 0 1 1 1 0 补码

1 0 0 1 0 0 1 0 原码（符号位不变，数值位取反加1）

1 1 1 0 1 1 0 1 反码（符号位不变，数值位取反）

七、有符号数运算时的溢出问题

请大家来做两个题目：

两正数相加怎么变成了负数？？？

1）（+72）10+（+98）10=（ ？ ）补

0 1 0 0 1 0 0 0 B +72  +  0 1 1 0 0 0 1 0 B  +98 = 1 0 1 0 1 0 1 0 B  -86

两负数相加怎么会得出正数？？？

2）（-83）10+（-80）10=（ ？ ）补

1 0 1 0 1 1 0 1 B -83  + 1 0 1 1 0 0 0 0 B -80 = 0 1 0 1 1 1 0 1 B +93

思考：这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？这是因为发生了数据溢出！

如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是 -2n-1≤X≤2 n-1-1 ，当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。