导数与零点专题

一．导言

导数与零点专题是高考考察的重点内容，下表列举了从16年起全国卷对这个点的考察：如表所示，导数与零点是高考导数大题部分的重要命题方向之一.

1．已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

2．已知函数.

（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；

（2）设是的一个零点，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.

3.已知函数，.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由.

4．已知函数,为的导函数.

(1)求证:在上存在唯一零点;

(2)求证:有且仅有两个不同的零点.

题型2：已知零点个数求参数范围

5．已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求的值.

6．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

:

7．已知函数，

（1）当时，求的单调区间；

（2）当，讨论的零点个数.

8．已知函数，，其中是自然对数的底数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）设函数，若函数恰好有2个零点，求实数的取值范围.(取，)

题型3：零点的分布特征

9．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

10．已知函数.

（1）当时，讨论极值点的个数；

（2）若分别为的最大零点和最小零点，当时，证明：.

11.已知函数.

（1）若曲线在点处的切线为，求的最小值；

（2）当常数时，若函数在上有两个零点，证明：.

12．已知函数和函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，，且函数有三个零点、、，求的取值范围.

题型4：零点（极值点）偏移，双零点（极值点）问题

13.已知函数，若，证明：.

14．设函数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）如果且关于的方程有两解，，证明.

15.已知有两个不同的极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：.

16.已知函数有两个零点.

（1）求的取值范围；

（2）设是的两个零点，证明：.

练习题

1．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（  ）

A．    B．    C．    D．

3. 已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为

A．，    B．，    C．，    D．，

5．函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．已知函数， 与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是(　　)

A．    B．    C．    D．

7．已知函数与函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知函数与函数的图象上存在两对关于直线对称的点，则实数的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

9．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）．

A．    B．    C．    D．

10．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

11．已知函数，关于x的方程有三个不等实根，则实数m的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

12．已知函数，若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．

C．    D．

13．若关于x的方程有三个不相等的实数解，且，其中m∈R，e为自然对数的底数，则的值为（   ）

A．1+m    B．e    C．m-1    D．1

14．若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

15．已知与的图像至少有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

16.已知函数.

（1）讨论函数在上单调性；

（2）设，试证明在上有且仅有三个零点.

17.设函数，.

（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；

（2）讨论函数零点的个数.

18．设函数.

（1）讨论函数的单调性：

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

19．已知函数．

（1）求在区间上的最大值和最小值；

（2）在曲线上是否存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

20.已知函数.

（1）时，求处的切线方程；

（2）时，是否存在两个极值点，若存在，求实数的最小整数解，若不存在，说明理由.

21.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数的导函数为，若函数恰有个零点，证明：.

22.已知函数.

（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）当时，为函数在上的零点，求证：.

23.已知函数.

（1）若有两个极值点，求实数的取值范围；

（2）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，且的最大值为，求的最大值.

24.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，函数恰有2个零点，证明：.

25.已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）方程有三个实根求证：

26．设函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明:.

27．已知函数，且.

（1）求的值；

（2）在函数的图象上任意取定两点，，记直线的斜率为，求证：存在唯一，使得成立.