2024年四川高考数学(文)试题(含答案)

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

5．考试结束后，只将答题卡交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）

A. {}

1,2,3,4 B. {}

1,2,3 C. {}3,4 D. {}1,2,9【答案】A

【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，

则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，

于是{1,2,3,4}A B ⋂=.

故选：A

2. 设z =，则z z ⋅=（ ）A. -i

B. 1

C. -1

D. 2

【答案】D

【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.

【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.

故选：D

3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩

，则5z x y =-的最小值为（ ）

A. 5

B. 12

C. 2-

D. 72

-【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩

，作出可行域如图：

由5z x y =-可得1155

y x z =

-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155

y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321

x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =

-⨯=-.故选：D 4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ）

A. 2

- B. 73 C. 1 D. 29

【答案】D

【解析】

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理

..

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

由91S =，根据等差数列的求和公式，9119193612S a d a d ⨯=+=⇔+=，又37111122

2628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.

故选：D

方法二：利用等差数列性质

根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，

193799()9()122a a a a S ++===，故372

9a a +=.

故选：D

方法三：特殊值法

不妨取等差数列公差0d =，则9111

199S a a ==⇒=，则3712

29a a a +==.

故选：D

5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）A. 14 B. 1

3 C. 12 D. 2

3

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】当甲排排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；

基本事件总数显然是4

4A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81

243=.

故选：B

6. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）

A. 4

B. 3

C. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.的在

【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，

则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，

则12210a PF PF =-=-=，则28224c e a =

==.故选：C.

7. 曲线()6

31f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）

A. 1

6 C. 12 D. 【答案】A

【解析】

【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.

【详解】()5

63f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236

⨯⨯=故选：A.8. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.

【详解】()()()()

()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，

又()11πe 11111e sin11e sin

10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.

故选：B.

9. 已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝

⎭（ ）

A. 1

+ B. 1 D. 1【答案】B

【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α

弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.

【详解】因为cos cos sin ααα

=-，

所以11tan =-α，tan 1⇒α=，

所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛

⎫==α+

⎪-α⎝⎭，故选：B.

原10题略

10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：

①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ

⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n

⊥其中所有真命题的编号是（ ）

A. ①③

B. ②④

C. ①②③

D. ①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，

当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，

当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，

因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，

因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；

对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，

故选：A.

11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294

b a

c =，则sin sin A C +=（ ）

A. 3

2【答案】C

【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134

a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,3

4B b ac π

==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得:22294b a c ac ac =+-=

，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，

所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4

A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>

，则sin sin A C +=

.故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

原13题略

12. 函数(

)sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．

【答案】2

【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.

【详解】(

)πsin 2sin 3f x x x x ⎛

⎫==- ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦

，当ππ32

x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：2

13 已知1a >，8115log log 42

a a -=-，则=a ______．【答案】

【解析】

【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22

a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，

所以6

22log 6log 2a ==，故62

a ==故答案为：.

14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()

2,1-【解析】

.

【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.

【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32

510,g x x x x x =+-+>则()()()2

325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，

当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，

因为曲线33y x x =-与()2

1y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.

故答案为：()

2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}n S 的通项公式.

【答案】（1）153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭

（2）353232

n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；

（2）利用等比数列的求和公式可求n S .

【小问1详解】

因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，

所以()12332n n n a a a n +=-≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53

q =，故1211523333533a a a a =-=⨯-=-，故11a =，故153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭

.

【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213

n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====

，ED FB ==M 为AD 的中点.

（1）证明：//BM 平面CDE ；

（2）求点M 到ABF 的距离.

【答案】（1）证明见详解；

（2

【解析】

【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；

（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.

【小问1详解】

因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，

四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD

，

又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；

【小问2详解】

如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，

结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，

又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM

中点，所以OB =，

又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，

四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，

ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥

，3OF ==，

因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，

由等体积法可得M ABF F ABM V V --=

，21111233232F ABM ABM V S FO -=

⋅⋅=⋅⋅=△，

222cos 2FA AB FB FAB FAB FA AB +-∠=

==∠=⋅

11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△

，设点M 到FAB 的距离为d

，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==

⋅⋅==△，解得

d =M 到ABF 17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．

（1）求()f x 的单调区间；

（2）若2a ≤

时，证明：当1x >时，()1e x f x -<恒成立．

【答案】（1）见解析 （2）见解析

【解析】

【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；

（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.

【小问1详解】

()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x

'-=-=当0a ≤时，1()0ax f x x -'=

<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭

时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；

0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭

上单调递减.【小问2详解】

2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，

令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.

11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x

-'=-，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=，

即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，

故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，

故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证

18. 设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；

（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．

【答案】（1）22

143

x y += （2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.

（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.

【小问1详解】

设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132

a a -=，故2a =

，故b =，故椭圆方程22

143

x y +=.【小问2详解】

直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)

x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()22223432120k x k x k +-+-=，故()()422Δ1024434120k k k =-+->，故1122

k -<<，又22121222

3212,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线2

25:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1

222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=-

-为

()()()

12224253425

k x x k x x -⨯-+-=-()22

22121222123225825834342525

k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==--222

2212824160243234025

k k k k k x --+++==-，

故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．

19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.

（1）写出C 的直角坐标方程；

（2）设直线l ：x t y t a

=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+

（2）34

a =

【解析】【分析】（

1）根据cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩

可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，

法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.

【小问1详解】

由cos 1ρρθ=+

，将cos x

ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，

1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.

【小问2详解】

对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4

，

故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

，s ∈R .

将其代入221y x =+

中得()221)210

s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s

，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()

22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，

12AB s s ∴=-=

2==，解得34

a =.法2：联立221

y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()

22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，

设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，

则AB =

=2=，解得3

4

a =20. 实数,a

b 满足3a b +≥．

（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.

（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.

【小问1详解】

因为()()2

222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，

因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;

【小问2详解】222222222222()

a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=