2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二下学期期中联考数学(理)试题(解析版)

一、单选题

1．（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】根据复数的乘法运算法则计算可得结果.

【详解】

.

故选：.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算，属于基础题.

2．已知命题为，，则命题的否定为（    ）

A．，    B．，

C．，    D．，

【答案】C

【解析】根据含全称量词命题的否定的定义可直接得到结果.

【详解】

由含全称量词的否定的定义可得命题的否定为：，.

故选：.

【点睛】

本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.

3．曲线与轴及直线所围成的图形的面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】根据定积分的几何意义将所围图形面积转化为定积分求解.

【详解】

依题意所围图形面积为

故选：A

【点睛】

本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题.

4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】根据三视图知几何体为三棱锥，勾股定理求出最长棱长.

【详解】

根据三视图知几何体为三棱锥，

其中，且，

该几何体的最长棱长为.

故选：C

【点睛】

本题考查根据三视图还原几何体，属于基础题.

5．函数的最小正周期为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】利用同角三角函数的平方关系及降幂公式化简函数解析式，的值代入周期计算公式即可得解。

【详解】

因为，所以的最小正周期为.

故选：B

【点睛】

本题考查同角三角函数的平方关系及降幂公式，余弦型函数的周期性，属于基础题.

6．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（    ）

A．是函数的极小值点

B．是函数的极大值点

C．函数在上是减函数

D．函数在上是增函数

【答案】D

【解析】根据导函数的符号可确定的单调性，结合极值点的定义可确定正确结果.

【详解】

由图象可知，当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，可知错误，正确；

和不是函数的极值点，可知错误.

故选：.

【点睛】

本题考查根据导函数图象与原函数之间的关系，涉及到极值点的定义的应用，属于基础题.

7．已知直线、，平面、，则以下结论正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，，则

D．若，，，则

【答案】D

【解析】根据线面平行、面面平行的判定定理排除A、B、C即可确定答案.

【详解】

A选项，若，，则或；

B选项，若，，，则或相交；

C选项，若，，，，加上条件a、b相交可推出；

D选项正确.

故选：D

【点睛】

本题考查空间中点线面之间的位置关系，线面平行、面面平行的判定定理，属于基础题.

8．执行如图程序框图，则输出的为（    ）

A．100    B．91    C．90    D．

【答案】B

【解析】按照程序框图运行程序，直到不满足时，输出结果即可.

【详解】

按照程序框图运行程序，输入：，，，满足，循环；

，，，满足，循环；

，，，满足，循环；

，，，不满足，输出.

故选：.

【点睛】

本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.

9．若不等式，当时恒成立，则实数的最大值为（    ）

A．    B．2    C．    D．

【答案】C

【解析】令，利用导数可求得在上的最小值，得到，从而得到结果.

【详解】

令，

，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，，

对恒成立，，即的最大值为.

故选：.

【点睛】

本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将恒成立问题转化为函数最值的求解问题，通过导数求得函数最值，从而得到参数范围.

10．已知函数存在极值点，则实数的取值范围为（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】求出函数的定义域及导数，函数存在极值点则方程在上有解，分类讨论函数单调性从而确定极值点.

【详解】

的定义域为，，

对于一元二次方程，，函数存在极值点则方程在上有解，或，方程的根为，

①当时，恒成立，在上单调递减且无极值点；

②当时，在及时，，函数单调递减；在时，，函数单调递增，则函数有2个极值点；

③当时，，所以时，，函数单调递减且无极值点.

综上所述，.

故选：A

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值点，属于中档题.

11．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且，，则的解集为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】构造新函数，求出函数导数利用所给不等式确定符号从而确定函数的单调性，结合即可解不等式即.

【详解】

令，则，

因为，所以，函数在R上单调递增，

且，

所以不等式即的解集为.

故选：B

【点睛】

本题考查利用函数单调性解不等式，复合函数求导，构造新函数是解题关键，属于中档题.

12．已知椭圆：的左焦点为，与过原点的直线相交于、两点，连接、，若，，则的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】设椭圆右焦点为，可证得四边形为矩形，从而得到；利用椭圆定义和直角三角形边长关系可求得，从而构造出关于的齐次方程，从而求得离心率.

【详解】

设椭圆右焦点为，连接.

为中点，四边形为平行四边形，又，

四边形为矩形，.

，，则，，

，即，.

故选：.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够结合椭圆的对称性和定义构造出关于的齐次方程，进而配凑出离心率的形式.

二、填空题

13．函数的导数______.

【答案】

【解析】直接利用复合函数求导法则求导即可.

【详解】

【点睛】

本题考查复合函数的导数，属于基础题.

14．某校有高一、高二、高三三个年级的学生，数量分别为780人、720人、660人，为了解他们的视力是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从高二年级抽取了12人，则为______.

【答案】36

【解析】根据高二年级人数和总人数可计算得到抽样比，利用抽样比可求得样本容量.

【详解】

由题意得：高二年级抽样比为，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查分层抽样中样本容量、抽样比的计算，属于基础题.

15．在区间上随机取一个数，在区间上随机取一个数，使成立的概率为______.

【答案】

【解析】在平面直角坐标系中画出构成的平面区域以及满足的点构成的区域，根据几何概型概率公式可求得结果.

【详解】

由题意得：构成的平面区域为如下图所示的矩形，则满足的所有点所构成的区域为图中的阴影部分：

使成立的概率.

故答案为：.

【点睛】

本题考查几何概型中的面积型问题的求解，属于基础题.

16．已知抛物线：和：有且仅有一条公切线（同时与和相切的直线称为和的公切线），则______.

【答案】

【解析】设公切线与两曲线相切于，利用导数的几何意义可构造方程求得，进而可利用求得结果.

【详解】

由得：；由得：.

设公切线与两曲线相切的切点为，则，解得：，

，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用曲线的公切线求解参数值的问题，关键是能够根据导数的几何意义，得到斜率的等量关系.

三、解答题

17．已知函数，曲线在处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求在区间上的最值.

【答案】（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.

【解析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.

【详解】

解：（Ⅰ），

∵曲线在处的切线方程为，

∴解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，

令，解得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

∴在区间上的最大值为，最小值为.

【点睛】

本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.

18．某家庭为了解冬季用电量（度）与气温之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表，经过统计分析，发现气温在一定范围内时，用电量与气温具有线性相关关系：

（2）在这5天中随机抽取两天，求至少有一天用电量低于10（度）的概率.

（附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为，）

【答案】（1） （2）

【解析】（1）根据表中数据计算得到最小二乘法所需数据，根据最小二乘法计算可得结果；

（2）采用列举法得到所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】

（1）由表格数据知：，，

，，

，.

用电量关于气温的线性回归方程为.

（2）假设事件为随机从天中抽取天，至少有一天用电量低于度，

从这天中随机抽取天，总共有，，，，，，，，，，种抽取方法；

用电量至少有天低于度的情况有，，，，，，，共种情况； 

.

在这天中随机抽取两天，至少有一天用电量低于度的概率为.

【点睛】

本题考查利用最小二乘法求解线性回归直线、古典概型概率问题的求解；对于基本事件个数较少的古典概型问题，通常采用列举法来进行求解.

19．在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的大小；

（2）若，且，求的值.

【答案】（1） （2）

【解析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可求得，进而得到结果；

（2）利用三角形面积公式可构造方程求得，代入余弦定理中，构造出关于的方程，解方程求得结果.

【详解】

（1）由正弦定理得：，

即，

，，.

，.

（2），，

由余弦定理得：，

，解得：.

【点睛】

本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.

20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，已知平面，为的中点，，过点作于，连接，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】（1）证明平面推出，再证明平面推出，然后证明平面从而由线面垂直推出面面垂直；（2）利用线面角的正切值求出AD，以为坐标中心建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，代入公式即可得解.

【详解】

（1）证明：∵平面，∴，

又∵，，平面，平面，

∴平面，∴，

又∵，∴，

，∴平面，∴，

又∵，∴平面，

又∵平面，∴平面平面.

（2）∵平面，∴与平面所成角为，

∴，

假设，∴，∴，∴，

以为坐标中心建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，，

由（1）可知平面，∴为平面的法向量，

又∵平面，∴为平面的法向量，

∵，，

∴.

∴平面与平面所成角的余弦值为.

【点睛】

本题考查线面垂直、面面垂直的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.

21．在椭圆：中，点，分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率，且在直线上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，连接，分别交直线于点，，求证：以为直径的圆经过定点.

【答案】（1） （2）证明见解析

【解析】（1）根据点坐标、离心率和椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；

（2）设，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式；分别利用表示出的坐标，从而得到；根据平面向量数量积运算可得，得到，从而证得结论.

【详解】

（1）椭圆的左顶点在直线上且位于轴上，，.

，，，

椭圆的方程为：.

（2）由（1）知：，

设，，

过点，可设的直线方程为：，

联立方程得：，

，.

设直线的方程为，

，即，同理可得：，

，，

从而.

，即点在以为直径的圆上.

【点睛】

本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、定点定值问题的求解；本题证明的关键是能够根据圆的性质将问题转化为证明两向量垂直的问题，进而根据平面向量数量积求得结果.

22．若函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对任意的正整数都有，.

【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2） （3）证明见解析

【解析】（1）求出导数，令即，分类讨论不等式的解集确定导数的符号从而确定函数的单调性；（2）由题意知则，由（1）确定函数单调性从而求出函数在上的最小值，根据不等式恒成立的条件即可求出a的范围；（3）取由（2）可推出成立，取得，取时，得，取，得，…，取，得，累加即得所需证明的不等式.

【详解】

（1）∵，

∴，

令即，方程的根为0，,

①当即时，在，上单调递增；

②当即时，在和上单调递增，在上单调递减；

③当即时，在和上单调递增，在上单调递减；

④当即时，，在上单调递减，在上单调递增；

⑤当即时，在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减； 

当时，在，上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减； 

（2）∵在上恒成立，∴，∴，

由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

∴，∴；

（3）取，∴，

取，可得，

当时，∵，，∴，

取时，得；

取，得；

…

取，得；

将这n个式子相加，得.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式恒成立，裂项相消法，属于难题.