一次函数存在性问题

1    如图，已知一次函数y =  -  x +7与正比例函数y  =   x的图象交于点A，且与x轴交于点B.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从原点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度沿x轴向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

2 如图12，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，tan∠OCB=.

（1）求B点的坐标和k的值；

（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；

（3）探索：

1当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；

2在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.

        图12

3  在直角坐标系中，点Ａ的坐标是（３，０），点Ｐ在第一象限内的直线y＝－x＋４上．设点Ｐ的坐标为（x，y）．

（１）在所给直角坐标系（图10）中画出符合已知条件的图形，求△ＰＯＡ的面积Ｓ与自变量x的函数关系式及x的取值范围；

（２）当Ｓ＝时，求点Ｐ的位置；

（３）若以Ｐ、Ｏ、Ａ、Ｑ为顶点构成平行四边形，请直接写出第四个顶点Ｑ的坐标．

4 如图，已知一次函数y =  -  x +7与正比例函数y  =   x的图象交于点A，且与x轴交于点B.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

 4 【答案】（1）根据题意，得，解得，∴A(3，4) . 

令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）. 

（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.

由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得

(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8

整理,得t2-8t+12=0,  解之得t1=2,t2=6（舍）  

当P在CA上运动，4≤t＜7. 

由S△APR=×(7-t) ×4=8，得t=3（舍） 

∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.

 ②当P在OC上运动时，0≤t＜4.

∴AP=，AQ=t，PQ=7-t

当AP =AQ时， （4-t）2+32=2(4-t)2,

整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍) 

当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,

整理得，6t=24. ∴t=4(舍去) 

当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2

整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍) 

当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.

由cos∠OAC=  =，得AQ =  (t-4)．

当AP=AQ时，7-t =  (t-4)，解得t =.  

当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP

得t-4=  (7-t)，解得t =5. 

当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F

AF= AQ =×(t-4). 

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝＝，得AF＝AP

即×(t-4)=×(7-t)，解得t=.

∴综上所述，t=1或或5或时，△APQ是等腰三角形.

5 【答案】解：（1）∵y= kx-1与y轴相交于点C，  ∴OC=1

∵tan∠OCB= ∴OB=

∴B点坐标为： 

把B点坐标为：代入y= kx-1得 k=2

（2）∵S =           ∵y=kx-1 

  ∴S =         

∴S =

（3）①当S =时， =

∴x=1，y=2x-1=1

∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为

②存在.

满足条件的所有P点坐标为：

P1(1,0), P2(2,0), P3(,0), P4(,0). ……………………………12分

6  答案 1Ｓ＝ＯＡ·y…………………………………………………………………４分

＝×３·y＝y

＝（－x＋４）＝－x＋６，

即Ｓ＝－x＋６，……………………………………………………………６分

自变量x的取值范围为：０＜x＜４；………………………………………７分

（２）∵Ｓ＝－x＋６，当Ｓ＝时，得

－x＋６＝，……………………………………………………………８分

解得x＝１，

y＝－x＋４＝３

∴点Ｐ的坐标为（１，３）…………………………………………………９分

［或∵Ｓ＝y，∴当Ｓ＝时，得y＝，∴y＝３，

∴－x＋４＝３，得x＝１，∴点Ｐ的坐标为（１，３）］

（３）第四个顶点Ｑ的坐标为：Ｑ（x＋３，y）…………………………１０分

或Ｑ（x－３，y）……………………………………………………………１１分

或Ｑ（３－x，－y）．………………………………………………………１２分

图示如下：其中Ｑ（x＋３，y）为图１；

Ｑ（x－３，y）为图２与图３；

Ｑ（３－x，－y）为图４与图５．

8 解：（1）根据题意，得，解得，∴A(3，4) . 

令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）. 

（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.

由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得

 (3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8

整理,得t2-8t+12=0,  解之得t1=2,t2=6（舍）  

当P在CA上运动，4≤t＜7. 

由S△APR=×(7-t) ×4=8，得t=3（舍） 

∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.

 ②当P在OC上运动时，0≤t＜4.

∴AP=，AQ=t，PQ=7-t

当AP =AQ时， （4-t）2+32=2(4-t)2,

整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍) 

当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,

整理得，6t=24. ∴t=4(舍去) 

当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2

整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍) 

当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.

由cos∠OAC=  =，得AQ =  (t-4)．

当AP=AQ时，7-t =  (t-4)，解得t =.  

当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP

得t-4=  (7-t)，解得t =5. 

当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F

AF= AQ =×(t-4). 

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝＝，得AF＝AP

即×(t-4)=×(7-t)，解得t=.

∴综上所述，t=1或或5或时，△APQ是等腰三角形.