【免费下载】考研数学一真题及答案

一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，

:请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 曲线渐近线的条数 ( )

221

x x

y x +=-(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数,其中为正整数,则 ( )

2()(1)(2)()x

x

nx y x e e

e n =--- n (0)y '=(A) (B) (C) (D) 1

(1)

(1)!n n ---(1)(1)!n n --1(1)!n n --(1)!

n n -(3) 如果函数在处连续,那么下列命题正确的是 ( )

(,)f x y (0,0)(A) 若极限存在,则在处可微

(,)

lim

x y f x y x y

→→+(,)f x y (0,0)(B) 若极限存在,则在处可微

22

00

(,)

lim

x y f x y x y →→+(,)f x y (0,0)(C) 若在处可微,则 极限存在

(,)f x y (0,0)00

(,)

lim

x y f x y x y →→+(D) 若在处可微,则 极限存在

(,)f x y (0,0)22

00

(,)

lim

x y f x y x y →→+(4)设则有 ( )

2

sin (1,2,3)k x K e xdx k π

==⎰I (A) (B) (C) (D)123I I I <<321I I I <<231I I I <<213

I I I <<(5)设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关

1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭4411C α-⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

1234,,,C C C C 的为( )

(A) (B) (C) (D)123,,ααα124,,ααα134,,ααα234

,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且.若P=（），则

1100010002p AP -⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

123,,ααα1223(,,)ααααα=+ ( )

1Q AQ -=

(A) (B) (C) (D)

100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

(7)设随机变量与相互，且分别服从参数为与参数为的指数分布，则( )

X Y 14{}p X Y <=(A)

(B) (C) (D) 1513254

5

(8)将长度为的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )

1m (A) (B) (C) (D)1121

2

-1

-给大家分享点个人的秘密经验，让大家考得更轻松。在这里我想跟大家说的是自己在整个考研过程中的经验以及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快，考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。研究生考试关键就是你的专业技能和常识积累。很多人的失败是输在时间上的，我做事情特别注重效率。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做“速读记忆让我的考研复习奔跑起来”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了很好的成绩。那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。当然，有经济条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱在自己的未来上是最值得的，你已经耗费了那么多的时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一刻。想成功的同学到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的学习技巧，极力的推荐给大家给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl 键，然后鼠标左键点击本行文字。其次，从选择的复习资料上来说，我用的是学习软件，不是一般的真题，我认为从电脑上面做题真的是把学习的效率提高了很多，再者这款软件集成最新题库、大纲资料、模拟、分析、动态等等各种超强的功能，性价比超高，是绝不可缺的一款必备工具，结合上速读的能力，如虎添翼，让整个备考过程效率倍增。想学的朋友可以到这里下载也给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl 键，然后鼠标左键点击本行文字

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.:(9)若函数满足方程及，则()f x '''()()2()0f x f x f x +-=''()()2f x f x e +=()f

x =(10)

2

x =⎰

(11)

(2,1,1)()|z

grad xy +y

=(12)设，则

(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=

++=≥≥≥2y ds ∑

=⎰⎰(13)设为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为 X T

E XX -(14)设,,是随机变量，A 与C 互不相容， A B C ()()()

11

,,23

p AB P C p AB C =

==三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一

骤.

(15)

证明2

1ln cos 1(11)

12

x x x x x x ++≥+-<<-(16)

求函数的极值

222

(,)x y f x y xe

+-=(17)

求幂级数的收敛域及和函数

220

44321n

n n n x n ∞

=+++∑

(18)

已知曲线其中函数具有连续导数，且若曲线

(),

:(0),cos 2

x f t L t y t

π

=⎧≤<

⎨

=⎩()f t '(0)0,()0

(0).2f f t t π

=><<

的切线与轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求此曲线与轴与轴无边界的区域的

L x ()f t L x y 面积。

(19)

已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲

L (0,0)22+2x y x =(2,0)22+4x y =(0,2)线积分233d (2)d L

J x y x x x y y

=++-⎰(20)(本题满分 分)

设10010101,00100010a a A a a β⎡⎤⎛⎫

⎪⎢⎥

- ⎪⎢

⎥== ⎪⎢⎥

⎪⎢⎥

⎣⎦⎝⎭

（I ）计算行列式

;A (II)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。

a Ax β=(21)

已知，二次型的秩为21010

11100

1A a a ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

-⎢⎥-⎣⎦

123(,,)()T T f x x x x A A x =（1）求实数的值；

a （2）求正交变换将化为标准型.

x Qy =f （22）

设二维离散型随机变量、的概率分布为

X Y 0

12

14

1

4

10

1

3

2112

112

（Ⅰ）求；

{}2P X Y =（Ⅱ）求.

Cov(,)X Y Y - (23)

设随机变量与相互且分别服从正态分布与，其中是未知参数且。设

X Y 2(,)N u σ2(,2)N u σσ0σ>.

Z X Y =-(1)求的概率密度Z 2(,);

f z σ（2）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量12,,,n z z z Z 2σ2

σ

（3）证明为的无偏估计量

2σ

2σ数一参

一、选择题

1

2345

6

7

8

C

C

B

D

C

B

A

D

二、填空题

9

、； 10、

； 11、； 12； 13、2； 14、x e 2

π

{

}1,1,134

三、解答题

(15)

证明：令

，是偶函数()2

1ln cos 112x x f x x x x +=+--

-()f x ()2

12ln

sin 11x x

f x x x x x +'=+----()00

f '=()()()222221411cos 1111x x f x x x x x -+''=++--+--()()

222244

cos 12011x x x =--≥->--所以

()()00

f x f ≥=

即证得：()

21ln cos 11112

x x x x x x ++≥+-<<- (16)

解：()()()()()2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

,10

,0

x y x y x

y x y f x y e xe x e

x x

f x y xe y y

+

++---+

-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨

∂⎪=-=⎪∂⎩

得驻点

()(

)121,0,1,0P P -()()()()()()()()2

2

2

2

2222222

22

2222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y

f x y xe y y

++--

+-+-

⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪

=--⎨

∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩根据判断极值的第二充分条件，

把代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以

为极小值点，极小值为

()11,0,

P -()11,0,

P -()12

1,0f e

--=-把代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以

为极大值点，极大值为

()

21,0P ()

21,0P ()1

2

1,0f e

-= (17) 解：（Ⅰ）收敛域

令22(1)1

22222211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1

n n n n n n n n n x

a x n n n n R x x n n a x n n n x

n ++→∞→∞→∞+-++⋅+++++===⋅⋅=+++++++++⋅++，得，当时，技术发散。所以，收敛域为21x <11x -<<1x =±(1,1)

-（Ⅱ）设222222000

443(21)22()[(21)](1)

212121n n n n

n n n n n n S x x x n x x x n n n ∞

∞∞===++++===++<+++∑∑∑令，210

()(21)n

n S x n x

∞

-=

+∑220

2

()21n

n S x x

n ∞

-=

+∑因为

22112

()(21)(1)1x

x

n

n n n x

S t dt n t dt x x x ∞

∞

+===+==

<-∑∑⎰

⎰

所以2

12

22

1()((1)1(1)x x S x x x x +'==<--因为21202

()21

n n xS x x n ∞+-=

+∑所以2222

1

[()]222(1)1n

n n n xS x x

x x x

∞∞--'=

==⋅

<-∑∑所以

220001111[()]2()ln (1)1111x

x x x

tS t dt dt dt x t t t x

+'=⋅

=+=<-+--⎰

⎰⎰即，故201()ln

1x

x xS x x +=-21()ln 1x

xS x x

+=-当时，0x ≠211()ln

1x S x x x

+=

-当时，0x =12(0)1,(0)2

S S ==所以，22212111ln (1,0)(0,1)

()()()(1)130

x x x S x S x S x x x x

x ⎧+++∈-⋃⎪

=+=--⎨⎪=⎩

(18)解：

曲线在任一处的切线斜率为

，过该点处的切线为。

L (,)x y sin ()dy t dx f t -='(,)x y sin cos (())()

t

Y t X f t f t --=-'令得。由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为1.

0Y =()cot ()X f t t f t '=+L x y 故有，又因为2

2

[()cot ()()]cos 1f t t f t f t t '+-+='()0(0)

2f t t π

><<

所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以C=0 故sin ()cot t

f t t

'=

()ln sec tan sin f t t t t C =+-+(0)0f =函数()ln sec tan sin f t t t t

=+-此曲线与轴和轴所围成的无边界的区域的面积为：

L x y 20cos ()4

S tf t dt π

π

'==

⎰(19)解：

补充曲线沿轴由点到点,D 为曲线和围城的区域。由格林公式可得

1L y (2,0)(0,0)L 1L 原式=

1

1

23233d (2)d 3d (2)d L L L x y x x x y y x y x x x y y

+++--++-⎰

⎰

=

1

1

2

2(313)(2)12D

L D

L x

x d y dy d ydy

σσ+---=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222200112124

4222

ydy y ππ

ππ=

⋅⋅-⋅⋅-=-=-⎰(20)解：（I ）

414

1001000010=101(1)1010010010100

1a a a a A a a a a a a a

+⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥=⨯+⨯-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

(II) 对方程组的增广矩阵初等行变换：

Ax β=2

3

2100

1100

11

1

010101010101001000

100

010********

01a a

a

a a a a a a a

a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥

----⎣⎦⎣⎦⎣⎦

4

21001010100100

01a a a a a a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥

⎢⎥---⎣⎦

可知，要使方程组有无穷多解，则有且，可知Ax β=410a -=20a a --=1

a =-此时，方程组的增广矩阵变为，进一步化为最简形得可知Ax β=11001011010011000000-⎡⎤⎢⎥--⎢

⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1

00100

1011001100

000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥

⎣⎦

导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0100⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10111010k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(21)解：（1）

由二次型的秩为2，知，故()2T

r A A =()()2

T

r A r A A ==对矩阵A 初等变换得

1011

011

011

01011011011011100

010

010

01010

10

010

00a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥⎢

⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-+++⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥

----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

因，所以()2r A =1

a =-（2）令202022224T B A A ⎛⎫ ⎪

== ⎪

⎪⎝⎭

所以B 2

02202102

022(2)22(2)122(2)(6)02

24024024

E B λλλλλλλλλλλλλλ------=

--=----=----=--=-------的特征值为1230,2,6

λλλ===对于，解得对应的特征向量为10λ=1()0E B X λ-=1(1,1,1)T

α=-对于，解得对应的特征向量为22λ=2()0E B X λ-=2(1,1,0)T

α=-对于，解得对应的特征向量为36λ=3()0E B X λ-=3(1,1,2)T

α=将单位化可得

123,,αα

α1211111,1,1102ηηη⎫⎫⎫

⎪⎪⎪==-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪

-⎭⎭⎭

正交矩阵

，则0

Q ⎛ =

⎝

026T

Q AQ ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此，作正交变换，二次型的标准形为x Qy =222

3()()26T T T f x x A A x y Ay y y ===+（22）解：

X

1

2

P

1/2

1/3

1/6

Y

1

2

P

1/3

1/3

1/3

XY

1

2

4

P

7/12

1/3

1/12

（Ⅰ）{}{}{}11

20,02,1044

P X Y P X Y P X Y ====+===

+=

（Ⅱ）cov(,)cov(,)cov(,)

X Y Y X Y Y Y -=-，其中cov(,)X Y EXY EXEY =-2225

,1,1,,

33

EX EX EY EY ====2245

()199DX EX EX =-=-=

，2252()133DY EY EY =-=-=2

3

EXY =

所以，22

cov(,)0,cov(,),cov(,),0

33

XY X Y Y Y DY X Y Y ρ===-=-=(23)解：

（1）因为，且与相互，故2(,)X N u σ:2(,2)Y N u σ:X Y 2(0,3)

Z X Y σ=-:所以Z

的概率密度为2

226(,)()

z f z z σσ-=-∞<<∞（2

）最大似然函数为

2

2

2261

1

()(;)),(1,2,,)

i z n n

i i i i L f z z i n σσσ-===∏=∏-∞<<∞=

两边取对数，得

22

2

21

1ln ()[ln ]

26n

i i Z L σσσ==---∑两边求导得

222

2222222

11

ln ()11[][3]()26()6()n n

i i i i Z d L n Z d σσσσσσ===-+=-+∑∑令，得22ln ()0()d L d σσ=2

21

13n i

i Z n σ==∑所以的最大似然估计量2

σ2

21

13n i

i Z n σ==∑ （3）证明：222

22111

111()()[()(())]3333n n n i i i i i i E E Z D Z E Z n n n σσσ=====+==∑∑∑ 所以为的无偏估计量

2

σ 2σ