2021年江苏省无锡市锡山区中考数学一模试卷(含解析)

一、选择题（共10小题）.

1．下列各数中，﹣3的倒数是（　　）

A．3    B．    C．    D．﹣3

2．函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠2    B．x＞2    C．x≥2    D．x≤2

3．下列运算中，正确的是（　　）

A．（a2）3＝a5    B．a2+a2＝a4    C．a6÷a3＝a2    D．a3•a6＝a9

4．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

5．已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（　　）

A．24，25    B．24，24    C．25，24    D．25，25

6．已知是方程2x﹣ay＝6的一个解，那么a的值是（　　）

A．﹣2    B．2    C．﹣4    D．4

7．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（　　）

A．    B．    

C．    D．

8．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（　　）

A．k1﹣k2    B．（k1﹣k2）    C．k2﹣k1    D．（k2﹣k1）

9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为（　　）

A．    B．    C．    D．

10．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点（两个交点位于对称轴异侧）之间的距离为3，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（　　）

A．16    B．15    C．14    D．13

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）

11．因式分解：ab2﹣a＝　   　．

12．人均GDP是衡量一个地区经济繁荣程度的重要指标，2020年无锡市的人均GDP约为187700元，其中数据187700用科学记数法表示为　   　．

13．圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为　   　 cm2．

14．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　   　．

15．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为　   　．

16．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是　   　．

17．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若DE＝3，tan∠BNF＝，则AD＝　   　．

18．如图，△ABC在第一象限，其面积为16．点P从点A出发，沿△ABC的边从A﹣B﹣C﹣A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边三角形PQM，点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为　   　．

三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（1）计算：|﹣2|﹣﹣（1﹣）0+4tan60°．

（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．

20．（1）解方程：．

（2）解不等式组：．

21．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．求证：∠BAE＝∠CDF．

22．随着延时服务的全面展开，某校组织了丰富多彩的社团活动，小红和小明分别打算从以下四个社团：A、3D制作打印，B、趣味数学，C、文学欣赏，D、乐高机器人中，选择一个社团参加．

（1）小红选择趣味数学的概率为　   　．

（2）用画树状图或列表的方法求小红和小明选择同一个社团的概率．

23．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．

在线阅读时间频数分布表 

（1）这次被调查的同学共有　   　人，a＝　   　，m＝　   　；

（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；

（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？

24．如图，已知点D是∠BAC中AB边上的一点，点O位于线段AD上，利用直尺（无刻度）和圆规求作⊙O，使⊙O过点D且与AC相切．

25．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD．

（1）求证：AD＝CD；

（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．

26．2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）

（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？

（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

27．如图①，将▱ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0，4），直线MN：y＝x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．

（1）填空：点C的坐标为　   　；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？　   　；（填“B”或“D”）

（2）点B的坐标为　   　，n＝　   　，a＝　   　；

（3）在平移过程中，求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式．

28．如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．

（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；

（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；

（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．

参

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）

1．下列各数中，﹣3的倒数是（　　）

A．3    B．    C．    D．﹣3

解：∵相乘得1的两个数互为倒数，且﹣3×﹣＝1，

∴﹣3的倒数是﹣．

故选：B．

2．函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠2    B．x＞2    C．x≥2    D．x≤2

解：∵函数有意义，

∴2x﹣4≥0，

∴x≥2．

故选：C．

3．下列运算中，正确的是（　　）

A．（a2）3＝a5    B．a2+a2＝a4    C．a6÷a3＝a2    D．a3•a6＝a9

解：A、（a2）3＝a6，故此选项错误；

B、a2+a2＝2a2，故此选项错误；

C、a6÷a3＝a3，故此选项错误；

D、a3•a6＝a9，故此选项正确．

故选：D．

4．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：C．

5．已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（　　）

A．24，25    B．24，24    C．25，24    D．25，25

解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5＝24；

把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25，

则中位数是25；

故选：A．

6．已知是方程2x﹣ay＝6的一个解，那么a的值是（　　）

A．﹣2    B．2    C．﹣4    D．4

解：把代入方程2x﹣ay＝6得：

4+a＝6，

解得：a＝2，

故选：B．

7．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：根据题意它的俯视图是：

故选：D．

8．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（　　）

A．k1﹣k2    B．（k1﹣k2）    C．k2﹣k1    D．（k2﹣k1）

解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，

∴S△ABC＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），

故选：B．

9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为（　　）

A．    B．    C．    D．

解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．

∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，

∴＝，

∵AB＝6，AG＝GB，

∴AG＝GB＝3，

∵AD＝9，

∴＝＝，

∴＝，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠B═∠EAF＝90°，

∴∠FAG＝∠EAD，

∴△FAG∽△EAD，

∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，

∵DE＝3，

∴FG＝1，

∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，

∵GC＝＝3，

∴FC≥GC﹣FG，

∴FC≥3﹣1，

∴CF的最小值为3﹣1．

故选：A．

10．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点（两个交点位于对称轴异侧）之间的距离为3，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（　　）

A．16    B．15    C．14    D．13

解：①如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x，

然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，

可平移6次，

所以，一共有7条抛物线，

同理可得开口向上的抛物线也有7条，

所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7＝14．

②当经过点（0，0），（3，3），（6，4）的抛物线的解析式为y＝﹣x2+x，此时抛物线的顶点为（6.4），对称轴为直线x＝6，抛物线与网格对角线OB的两个交点位于对称轴的同侧，不合题意，

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）

11．因式分解：ab2﹣a＝　a（b+1）（b﹣1）　．

解：ab2﹣a，

＝a（b2﹣1），

＝a（b+1）（b﹣1）．

12．人均GDP是衡量一个地区经济繁荣程度的重要指标，2020年无锡市的人均GDP约为187700元，其中数据187700用科学记数法表示为　1.877×105　．

解：187700＝1.877×105．

故答案为：1.877×105．

13．圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为　24π　 cm2．

解：∵圆锥的底面半径为4cm，

∴圆锥的底面圆的周长＝2π•4＝8π，

∴圆锥的侧面积＝•8π•6＝24π（cm2）．

故答案为：24π．

14．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　同位角相等，两直线平行　．

解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．

∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．

故答案为：同位角相等，两直线平行．

15．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为　52°　．

解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，

∴∠C＝∠OBC＝26°，

∴∠AOB＝2∠C＝52°，

故答案为：52°．

16．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是　3π　．

解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC＝30°，∠B＝∠BCD＝120°，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA＝30°，

∴∠ACD＝90°，

∵CD＝3，

∴AD＝2CD＝6，

∴图中阴影部分的面积＝S四边形ADEF+S扇形DAD′﹣S四边形AF′E′D′，

∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，

∴S四边形ADEF＝S四边形AD′E′F′

∴图中阴影部分的面积＝S扇形DAD′＝＝3π，

故答案为：3π．

17．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若DE＝3，tan∠BNF＝，则AD＝　6　．

解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，

∴AF⊥DE，AE＝EF，

∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，

∴B，E，N，F四点共圆，

∴∠BNF＝∠BEF，

∴tan∠BEF＝，

设BF＝x，BE＝2x，

∴EF＝＝3x，

∴AE＝3x，

∴AB＝5x，

∴AF＝＝x．

由折叠可得：DE是AF的垂直平分线，

∴△EDA∽△FAB，

∴＝，

∴＝，

解得AD＝6．

故答案为：6．

18．如图，△ABC在第一象限，其面积为16．点P从点A出发，沿△ABC的边从A﹣B﹣C﹣A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边三角形PQM，点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为　48　．

【解答】

解：如图，

∵点P从点A出发，沿△ABC的边从A﹣B﹣C﹣A运动一周，且点Q关于原点O与点P对称，

∴点Q随点P运动所形成的图形是△ABC关于O的中心对称图形，

以PQ为边作等边△PQM，M点对应的A，B，C的点分别为Ma，Mb，Mc，

∵△MbQbB是等边三角形，

∴MbO＝OB，

同理McO＝，

∴＝

∵∠COB+∠BOMc＝90°，∠McOMb+∠BOMc＝90°

∴∠COB＝∠McOMb，

∴△McOMb∽△COB，

∴MbMc＝BC，

同理，MaMb＝AB，MaMc＝AC，

∴△MaMbMc的面积＝××16＝48，

即点M随点P运动所形成的图形的面积为48．

故答案为：48．

三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（1）计算：|﹣2|﹣﹣（1﹣）0+4tan60°．

（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．

解：（1）原式＝2﹣2﹣1+

＝﹣1+．

（2）原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a+1

＝a．

20．（1）解方程：．

（2）解不等式组：．

解：（1）分式方程变形得：﹣＝1，

去分母得：3﹣x﹣1＝x﹣4，

解得：x＝3，

检验：把x＝3代入得：x﹣4＝3﹣4＝﹣1≠0，

则分式方程的解为x＝3；

（2），

由①得：x＞﹣2，

由②得：x≤2，

∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2．

21．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．求证：∠BAE＝∠CDF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠B＝∠DCF，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CDF．

22．随着延时服务的全面展开，某校组织了丰富多彩的社团活动，小红和小明分别打算从以下四个社团：A、3D制作打印，B、趣味数学，C、文学欣赏，D、乐高机器人中，选择一个社团参加．

（1）小红选择趣味数学的概率为　　．

（2）用画树状图或列表的方法求小红和小明选择同一个社团的概率．

解：（1）小红选择趣味数学的概率为，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小红和小明选同一个社团的有4种结果，

∴P（小明和小红选择同一个社团）＝．

23．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．

在线阅读时间频数分布表 

（1）这次被调查的同学共有　50　人，a＝　20　，m＝　8　；

（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；

（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？

解：（1）这次被调查的同学共有8÷16%＝50（人），a＝50×40%＝20，

∵m%＝＝8%，

∴m＝8．

故答案为：50，20，8；

（2）扇形统计图中扇形D的圆心角的度数为：360°×＝115.2°；

（3）950×＝722（人），

答：估计全校学生平均每天的在线阅读时间不少于50min的有722人．

24．如图，已知点D是∠BAC中AB边上的一点，点O位于线段AD上，利用直尺（无刻度）和圆规求作⊙O，使⊙O过点D且与AC相切．

解：如图，⊙O即为所求作．

25．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD．

（1）求证：AD＝CD；

（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．

解：（1）证明：∵∠CAD＝∠ABD，

又∵∠ABD＝∠ACD，

∴∠ACD＝∠CAD，

∴AD＝CD；

（2）∵AF是⊙O的切线，

∴∠FAB＝90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，

∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠FAD＝90°，

∴∠ABD＝∠FAD，

∵∠ABD＝∠CAD，

∴∠FAD＝∠EAD，

∵AD＝AD，

∴△ADF≌△ADE（ASA），

∴AF＝AE，DF＝DE，

在Rt△ADE中，∵AB＝4，BF＝5，

∴AF＝，

∴AE＝AF＝3，

∵，

∴，

∴DE＝，

∴BE＝BF﹣2DE＝，

∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，

∴△BEC∽△AED，

∴，

∴，

∴，

∵∠BDC＝∠BAC，

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°

∴．

26．2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）

（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？

（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，

①当0≤x≤9时，y是x的二次函数，

∵当x＝0时，y＝0，

∴二次函数的关系式可设为：y＝ax2+bx，

由题意可得：，

解得：，

∴二次函数关系式为：y＝﹣10x2+180x，

②当9＜x≤15时，y＝810，

∴y与x之间的函数关系式为：y＝；

（2）设第x分钟时的排队人数为w人，

由题意可得：w＝y﹣40x＝，

①当0≤x≤9时，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，

∴当x＝7时，w的最大值＝490，

②当9＜x≤15时，w＝810﹣40x，w随x的增大而减小，

∴210≤w＜450，

∴排队人数最多时是490人，

要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x＝0，

解得：x＝20.25，

答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；

（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810，

解得m≥，

∵m是整数，

∴m≥的最小整数是2，

∴一开始就应该至少增加2个检测点．

27．如图①，将▱ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0，4），直线MN：y＝x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．

（1）填空：点C的坐标为　（3，0）　；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？　B　；（填“B”或“D”）

（2）点B的坐标为　（﹣2，0）　，n＝　4　，a＝　　；

（3）在平移过程中，求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式．

解：（1）令y＝0，则x﹣6＝0，解得x＝8，

令x＝0，则y＝﹣6，

∴点M（8，0），N（0，﹣6）

∴OM＝8，ON＝6，

由图2可知5秒后直线经过点C，

∴CM＝5，OC＝OM﹣CM＝8﹣5＝3，

∴C（3，0），

∵10秒～a秒被截线段长度不变，

∴先经过点B；

故填：（3，0）；B

（2）由图2可知BM＝10，

∴OB＝BM﹣OM＝10﹣8＝2，

∴B（﹣2，0），

在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD＝＝5，

∴BC＝CD＝5，

∴▱ABCD是菱形，

∵，

∴MN⊥CD，

∴n＝DO＝4

∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度，

平移后的直线解析式为y＝ （x+t）﹣6，

把点D（0，4）代入得，（0+t）﹣6＝4，

解得t＝，

∴a＝；

故答案为：（1）（3，0），B；（2）（﹣2，0），4，；

（3）当0≤t≤5时，y＝0；

当5＜t≤10，如图1，该直线与BC、CD分别交于F、E，FC＝t﹣5，

∵直线CD的解析式为：y＝﹣x+4，

∴EF⊥CD，

∴△CEF∽△COD，

∴，

∴，

∴EF＝，CE＝，

∴y＝××＝＝t2﹣t+6，

当10＜t≤，如图2，直线与AB、CD分别交于G、E，与射线CB交于F，FB＝t﹣10，

∵△BGF∽△COD，

∴

∴FG＝，BG＝，

y＝S△CEF﹣S△BGF＝﹣＝（10t﹣75）＝t﹣18，

当时，如图3，BG＝，AG＝5﹣，

∵△EAG∽△DCO，

∵＝，

∴DG＝×（5﹣），

∴y＝20﹣（5﹣）××（5﹣）＝﹣t﹣，

当t≥时y＝20．

综上所述：

y＝．

28．如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．

（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；

（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；

（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵原抛物线与x轴的交点为A（﹣3，0）和B

∴点A、B关于对称轴：直线x＝1对称

∴点B坐标（5，0）

∴原抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣5）＝x2﹣x﹣

（2）证明：∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣4

∴M（1，﹣4）

设直线AM解析式为y＝kx+a

∴   解得：

∴直线AM解析式为y＝﹣x﹣3

∵点A绕点B逆时针方向旋转90°得点A1

∴A1B＝AB＝5﹣（﹣3）＝8，∠ABA1＝90°

∴A1B⊥x轴，即xA1＝xB＝5

∴A1（5，﹣8）

当x＝5时，y＝﹣x﹣3＝﹣5﹣3＝﹣8

∴点A1在直线AM上

∴A，M，A1三点在同一直线上

（3）设原抛物线上的点E经旋转后为新抛物线上的点P，P在抛物线上DM1之间，如图1，

连接BE、BP、DM1，过点E作EG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，交DM1于点Q

∴∠EBP＝∠EGB＝∠BHP＝90°，BE＝BP

∴∠EBG+∠HBP＝∠EBG+∠GEB＝90°

∴∠HBP＝∠GEB

在△BEG与△PBH中

∴△BEG≌△PBH（AAS）

∴EG＝BH，BG＝PH

设P（s，t）（s≥0，t＜0）

∴BG＝PH＝﹣t，EG＝BH＝|s﹣5|

∴xE＝5﹣（﹣t）＝5+t

当s≤5时，EG＝BH＝5﹣s，点E在x轴上方

∴yE＝5﹣s

当s＞5时，EG＝BH＝s﹣5，点E在x轴下方

∴yE＝﹣（s﹣5）＝5﹣s

∴点E（5+t，5﹣s）在原抛物线上

∴（5+t）2﹣（5+t）﹣＝5﹣s

整理得：s＝﹣t2﹣2t+5

当s＝0时，﹣t2﹣2t+5＝0，解得：t1＝2，t2＝﹣10

∴D（0，﹣10）

∵M（1，﹣4）即

解得：   即点M1（9，﹣4）

∴MM1∥x轴，MM1＝8，0≤s≤9，﹣10≤t≤﹣4

∴直线DM1解析式为y＝x﹣10

∴Q（s，s﹣10）

∴PQ＝s﹣10﹣t＝（﹣t2﹣2t+5）﹣10﹣t＝﹣t2﹣t﹣

∴S四边形PM1MD＝S△M1MD+S△PM1D＝M1M•（yM﹣yD）+PQ•（xM1﹣xD）＝×8×6+（﹣t2﹣t﹣）＝﹣t2﹣t﹣6＝﹣（t+7）2+

∴当t＝﹣7时，Smax＝

∴s＝﹣t2﹣2t+5＝﹣×49﹣2×（﹣7）+5＝

∴点P坐标为（，﹣7）使四边形PM1MD的面积最大，最大值为．