2021-2022学年辽宁省沈阳市高一(下)期中数学试卷含答案

2021-2022学年辽宁省沈阳市高一（下）期中数学试卷

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；满分：150分 命题人：xxx

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的值是(    )

A.  B.  C.  D. 

2.若点在第一象限，则在内的取值范围是(    )

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

3.已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 

4.屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为，内环弧长为，径长外环半径与内环半径之差为，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为(    )

5.已知向量，满足，，，则，(    )

A.  B.  C.  D. 

6.在中，，，则(    )

A.  B.  C.  D. 

7.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D. 

8.已知函数，的值域为，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列函数中，以为最小正周期的函数有(    )

A.  B.  C.  D. 

10.已知在边长为的等边中，向量，满足，，则下列式子正确的是(    )

A.  B. 

C.  D. 

11.已知函数，则(    )

A. 的最小正周期为

B. 的图象关于直线对称

C. 在区间上单调递减

D. 可以改写成

12.如图是函数的部分图像．则(    )

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知为第二象限角，且，则           ．

14.已知，，若和的夹角为钝角，则的取值范围是______．

15.在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为______．

16.下列命题中，正确命题的序号是______．

函数的最小正周期是；

终边在轴上的角的集合是；

在同一坐标系中，函数的图象与函数的图象有个公共点；

把函数的图象向右平移得到的图象．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算下列各式：

Ⅰ；

Ⅱ

18.本小题分

已知向量，，．

若，求的值；

记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

19.本小题分

化简：

20.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于点，两点，轴正半轴与单位圆交于点，已知，点的纵坐标是．

求的值；

求 的值．

21.本小题分

已知函数．

若函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间；

在的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．

22.本小题分

已知函数，期中常数．

若，将函数的图象向左平移个单位，得到的函数的图象，求；

若在上单调递增，求的取值范围；

对中个，区间，且满足：在上至少含有个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，

故选：．

由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．

本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】试题分析：，，，故选B 

考点：本题考查了正弦、正切函数不等式的解法．

点评：熟练掌握正弦、正切函数的图象是解决此类问题的关键，属基础题

3.【答案】 

【解析】解：已知，化简得：，

则．

故选：．

根据题意，求得，代入化简，即可求解．

本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．

4.【答案】 

【解析】解：设小扇形的半径为，则大扇形的半径为，

所以，解得，

所以扇环面积为，

所以扇环内需要进行工艺制作的面积估计值为．

故选：．

求出小扇形的半径，计算扇环的面积即可．

本题考查了扇环的面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题．

利用已知条件求出，然后利用向量的数量积求解即可．

【解答】

解：向量，满足，，，

可得，

，．

故选．

6.【答案】 

【解析】解：．

故选：．

根据平面向量的数量积及其几何意义，即可得解．

本题考查平面向量的数量积及其几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．

7.【答案】 

【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，

则，

则，

又，

所以函数的最大值为，

故选：．

由三角函数图象的平移得：，由积化和差公式得：，由三角函数的有界性及最值得：因为，所以函数的最大值为，得解．

本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．

对化简，然后令，则，然后根据二次函数的图象与性质可得的范围．

【解答】

解：由题意，可知：，．

令，则，

令，得或，由的图象，

可知当时，的值域为，

．

故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：由于的最小正周期为，故排除；

由于的周期为，故B满足条件；

由于的周期为，故排除；

由于的周期为，故D满足条件，

故选：．

由题意利用三角函数的周期性，得出结论．

本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：，

对，，故A正确；

对，，故B正确；

对，，故C错误；

对，，故D正确；

故选：．

先把向量用三角形的三条边的向量进行表示，再对选项进行一一判断，即可得到答案．

本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】解： 

对于选项，函数的最小正周期为，错；

对于选项，，对；

对于选项，当时，，

所以函数在区间上单调递减，对；

对于选项，，错．

故选：．

将函数解析式变形为，利用余弦型函数的周期公式可判断选项；由余弦型函数的对称性可判断选项；利用余弦型函数的单调性可判断选项；利用诱导公式可判断选项．

本题主要考查三角函数的图像和性质，是中档题．

12.【答案】 

【解析】解：根据函数的部分图像，可得，．

再根据五点法作图，可得，，

故，

故选：．

根据题意，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．

本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，诱导该公式的应用，属于基础题．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的余弦公式以及同角三角函数的基本关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．

先由已知求出，的值，然后根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解．

【解答】

解：因为为第二象限角，且，

所以，，

所以

，

故答案为：．

14.【答案】且 

【解析】解：与的夹角为钝角，

，且与不共线

且

且

且．

故答案为：且

根据两个向量的夹角是钝角，则两个向量的夹角的余弦小于零，从而得到两个向量的数量积小于零，用坐标形式表示向量的数量积，解不等式，得到变量的范围．

两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．

15.【答案】 

【解析】解：设角的终边过，

则，，，

将绕原点按逆时针方向旋转，得，

则，

设的坐标为，

则，

，

即点的坐标为，

故答案为：．

设角的终边过，根据两角和差的三角公式以及三角函数的坐标公式进行求解即可．

本题主要考查三角函数坐标的求解，利用三角函数的定义以及两角和差的三角公式进行求解是解决本题的关键，是中档题．

16.【答案】 

【解析】解：对于，．

函数的最小正周期是，命题正确；

对于，终边在轴上的角的集合是，命题错误；

对于，时，函数的导数，

，

，则只有时，

又函数与均为奇函数，

在同一坐标系中，函数的图象与函数的图象只有个公共点，命题错误；

对于，把函数的图象向右平移，

得到．

命题正确．

正确的命题是．

故答案为：．

展开平方差公式，利用平方关系结合二倍角余弦公式化简，求出最小正周期后加以判断；

直接写出终边在轴上的角的集合加以判断；

由时函数与的交点情况，结合函数与均为奇函数加以判断；

直接由函数图象平移得到函数的图象向右平移所得函数解析式，从而判断命题真假．

本题考查命题的真假判断与应用，考查了与三角函数有关的函数的图象与性质，利用函数单调性判断函数

的图象与函数的图象交点是解答该题的关键，是中档题．

17.【答案】解：Ⅰ原式．

Ⅱ原式 

． 

【解析】利用诱导公式即可得出；

利用对数的运算性质即可得出．

本题考查了诱导公式、对数的运算性质，属于基础题．

18.【答案】解：，，，

，

当时，，不合题意，

当时，，

，；

，

，，

，

当时，有最大值，最大值，

当时，有最小值，最小值． 

【解析】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题．

根据向量的平行即可得到，问题得以解决．

根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出．

19.【答案】解：

；

当时，

原式 

 当时，

原式． 

【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式的应用，属于基础题．

直接利用三角函数的诱导公式化简求值．

分当和当时，分别利用三角函数的诱导公式化简

20.【答案】解：由题意，，设，

，且为锐角，

，

，

，

又点的纵坐标是，为钝角，

在单位圆上，，

，

；

，

，

，

，

，

，

故． 

【解析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，属于中档题．

根据，，利用三角形面积的公式求解出的纵坐标，即可得和，又点的纵坐标是，求出和，即可求出的值．

根据中和，和的值，通过二倍角公式化简，可得 的值．

21.【答案】解：函数，且函数的图象关于直线对称，，且，由，解得，函数的单调递增区间为．

由知．

，，当，即时，函数单调递增；当时，即时，函数单调递减．

又，当或时，函数有且只有一个零点，

即或，实数的取值范围． 

【解析】直接利用函数的性质和整体思想的应用求出函数的单调区间．

利用函数的零点和方程的根之间的关系和函数的单调性求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的单调区间的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

22.【答案】解：若，由题意得，向左平移个单位，得到的函数

故

因为，在单调递增，

，解得．

的取值范围为

函数，

令，得，．

相邻两个零点之间的距离为

要使在上至少含有个零点，至少包含个周期．

结合图象可知．

的最小值为． 

【解析】先求得解析式，向左平移个单位，得到的函数解析式；

由题意可得，从而可求的取值范围；

令，得，可得相邻两个零点之间的距离为，结合图象可知，可求的最小值．

本题考查三角函数的性质和图象，涉及根的个数的判断，注意三角函数的周期的应用，属中档题．