2019年陕西省中考数学试题及答案全解全析

数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2019陕西中考，1，4分，★☆☆）计算：（﹣3）0＝（　　）

A．1              B．0              C．3           D．

2.（2019陕西中考，2，4分，★☆☆）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体

的俯视图为（　　）

第2题          A             B            C               D 

3.（2019陕西中考，3，4分，★☆☆）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）

A．52°    B．54°    C．°     D．69°

4.（2019陕西中考，4，4分，★☆☆）若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．2

5.（2019陕西中考，5，4分，★☆☆）下列计算正确的是（　　）

A．2a2•3a2＝6a2        B．（﹣3a2b）2＝6a4b2    

C．（a﹣b）2＝a2﹣b2    D．﹣a2+2a2＝a2

6.（2019陕西中考，6，4分，★☆☆）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）

A．2+    B．    C．2+    D．3

7.（2019陕西中考，7，4分，★☆☆）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（　　）

A．（2，0）    B．（﹣2，0）    C．（6，0）    D．（﹣6，0）

8.（2019陕西中考，8，4分，★★☆）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（　　）

A．1                B．            C．2         D．4

9.（2019陕西中考，9，4分，★☆☆）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（　　）

A．20°                B．35°             C．40°                D．55°

10.（2019陕西中考，10，4分，★★☆）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）

A．m＝，n＝     B．m＝5，n＝﹣6    

C．m＝﹣1，n＝6        D．m＝1，n＝﹣2

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

11.（2019陕西中考，11，5分，★☆☆）已知实数，0.16，，π，，，其中为无理数的是　   　． 

12.（2019陕西中考，12，5分，★☆☆）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为　   　．

13.（2019陕西中考，13，5分，★★☆）如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4），B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为　   　．

14.（2019陕西中考，14，5分，★★☆）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为　   　．

三、解答题（共78分）

15.（2019陕西中考，15，5分，★☆☆）计算：﹣2×+|1﹣|﹣（）﹣2.

16.（2019陕西中考，16，5分，★★☆）化简：.

17.（2019陕西中考，17，5分，★★☆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）

18.（2019陕西中考，18，5分，★★☆）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

19.（2019陕西中考，19，7分，★★☆）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为　   　．

（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；

（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．

20.（2019陕西中考，20，7分，★★☆）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）

21.（2019陕西中考，21，7分，★★☆）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）

（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；

（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温．

22.（2019陕西中考，22，7分，★★☆）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．

（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；

（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

23.（2019陕西中考，23，8分，★★☆）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．

（1）求证：AB＝BE；

（2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．

24.（2019陕西中考，24，10分，★★☆）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．

（1）求抛物线L的表达式；

（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．

25.（2019陕西中考，25，12分，★★☆）问题提出：

（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

陕西省2019年初中毕业生学业考试数学试题

答案全解全析

1.答案：A

解析：任何非零数的零次幂都等于1，故选择A.

考查内容：非零数的零次幂

命题意图：本题主要考查学生对非零数的零次幂的值的识记，难度较低.

2.答案：C

解析：从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角．故选：C．

考查内容：三视图的画法

命题意图：本题主要考查学生对三视图的画法的理解，难度不大.

3.答案：C

解析：∵l∥OB，∴∠1+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝°，又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，∴∠2＝°，故选：C．

考查内容：平行线的性质；角平分线的性质

命题意图：本题主要考查学生应用平行线的性质求角的问题，难度较小.

4.答案：A

解析：∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），∴4＝﹣2（a﹣1），解得：a＝﹣1．故选：A．

考查内容：一次函数图象上点的坐标特征

命题意图：本题主要考查学生理解一次函数图象上的点与坐标之间的对应关系，难度不大.

5.答案：D

解析：∵2a2•3a2＝6a4，故选项A错误；∵（﹣3a2b）2＝9a4b2，故选项B错误；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C错误；∵﹣a2+2a2＝a2，故选项D正确，故选：D．

考查内容：单项式乘以单项式；积的乘方；完全平方差公式；合并同类项

命题意图：本题主要考查学生对单项式乘以单项式法则、积的乘方法则、完全平方公式、合并同类项法则的知记，难度不大.

方法归纳：（1）所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，合并同类项的法则是：系数相加减，字母及其指数不变.

（2）同底数幂乘法的性质：am×an=am+n（m、n都是正整数）；

（3）同底数幂除法的性质：am÷an=am-n（m、n都是正整数）；

（4）幂的乘方的性质(am)n=amn（m、n都是正整数）；

（5）积的乘方的性质(ab)m=ambm（m是正整数）．

6.答案：A

解析：过点D作DF⊥AC于F如图所示，

∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝1，在Rt△BED中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，在Rt△CDF中，∠C＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD＝DF＝，∴BC＝BD+CD＝2+，故选：A．

考查内容：角平分线的性质；含30°角直角三角形的性质；等角对等边

命题意图：本题主要考查学生应用角平分线的性质、含30°角直角三角形的性质以及等角对等边的性质解决几何问题的能力，难度中等.

7.答案：B

解析：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为y＝3x+6，∵此时与x轴相交，则y＝0，∴3x+6＝0，即x＝﹣2，∴点坐标为（﹣2，0），故选：B．

考查内容：一次函数的平移规律

命题意图：本题主要考查学生对一次函数的平移规律的知记，难度不大.

8.答案：C

解析：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴，，∵G、H分别是AC的三等分点，∴=，=，∴=，∵∠BAC=∠BAC，∴△AEG∽△ABC且相似比为1:3，∴EG∥BC，EG=2，同理可得：HF∥AD，HF=2，∴四边形EHFG为平行四边形，且EG和HF间距离为1，∴S四边形EHFG＝2×1＝2，故选：C．

考查内容：矩形的性质；平行四边形的判定；相似三角形的判定和性质；平行四边形的面积

命题意图：本题主要考查学生综合应用矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及平行四边形的面积公式进行计算的能力，难度中等.

9.答案：B

解析：连接FB，

∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．

考查内容：圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形的内角和

命题意图：本题主要考查学生综合应用三角形的内角和、圆周角定理以及等腰三角形的性质解决几何综合题的能力，难度中等.

10.答案：D

解析：根据二次函数的图象关于y轴对称时，a，c不变，b变为相反数可得，解之得，故选：D．

考查内容：二次函数的图象和性质；二次函数的图象与几何变换

命题意图：本题主要考查学生对二次函数的图象与各项系数之间的对应关系的理解，难度中等偏上.

11.答案：、π、

解析：=5，、0.16是有理数；无理数有、π、．故答案为：、π、．

考查内容：有理数；无理数

命题意图：本题主要考查学生对有理数和无理数概念的知记，难度较低.

12.答案：6

解析：如图：

正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD＝2AB＝6，故答案为6．

考查内容：正多边形的性质

命题意图：本题主要考查学生对正多边形及其对角线概念的应用，难度不大.

13.答案：（，4）

解析：∵A（0，4），B（6，0），∴C（6，4），∵D是矩形AOBC的对称中心，∴D（3，2），设反比例函数的解析式为y＝，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为y＝，把y＝4代入得4＝，解得x＝，故M的坐标为（，4）．故答案为（，4）．

考查内容：反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质

命题意图：本题主要考查学生应用矩形的性质、反比例函数的图象上点求函数解析式的问题，难度中等.

14.答案：2

解析：如图所示，

作以BD为对称轴作N的对称点N\，连接PN\，MN\，根据轴对称性质可知，PN＝PN\，∴PM﹣PN＝PM﹣PN\≤MN\，当P，M，N\三点共线时，PM﹣PN的值最大，

∵正方形边长为8，∴AC＝AB=8，∵O为AC中点，∴AO＝OC=4，∵N为OA中点，

∴ON=2，∴ON'＝CN'＝2，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，

∴，且∠ACM=∠ACM，∴△CMN/∽△CBA，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．

考查内容：正方形的性质；轴对称的性质；最值问题；相似三角形的性质和判定；等腰三角形的性质

命题意图：本题主要考查学生综合运用正方形的性质、轴对称的性质、相似三角形的性质和判定等性质解决几何最值的问题，难度较大.

15.答案：原式＝﹣2×（﹣3）+﹣1﹣4＝1+．

解析：直接利用立方根的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．

考查内容：立方根的性质；绝对值的化简；负整数指数幂

命题意图：本题主要考查学生应用立方根、绝对值、负整数指数幂的知识进行实数的运算，难度不大.

16.答案：原式＝＝.

解析：直接根据分式的混合运算法则进行计算.

考查内容：分式的混合运算

命题意图：本题主要考查学生应分式的运算法则进行分式的混合运算能力，难度不大.

易错警示：分式的混合运算中不能去分母，不能与解分式方程相混淆.

17.答案：如图所示：⊙O即为所求．

解析：作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．

考查内容：尺规作图；线段的垂直平分线的作法；等腰三角形的性质；三角形的外接圆

命题意图：本题主要考查学生利用尺规作图等知识作三角形的外接圆的知识，难度不大.

18.答案：证明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE，

∵AC∥BD，

∴∠CAF＝∠DBE，

在△ACF和△BDE中，，

∴△ACF≌△BDE（SAS）

∴CF＝DE．

解析：根据平行线的性质得到∠CAF＝∠DBE，证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质证明结论．

考查内容：全等三角形的判定和性质；平行线的性质

命题意图：本题主要考查学生应用全等三角形的判定方法证明线段相等，难度不大.

19.答案：（1）根据统计图可知众数为3，

故答案为3；

（2）平均数＝；

（3）四月份“读书量”为5本的学生人数＝1200×＝120（人），

答：四月份“读书量”为5本的学生人数为120人．

解析：（1）根据条形统计图中可以看出出现次数最多的是3，可知众数为3；

（2）直接根据加权平均数进行计算；

（3）先求出调查中学生“读书量”为5本占总体的百分比，从而可以估计出四月份“读书量”为5本的学生人数．

考查内容：条形统计图；扇形统计图；加权平均数；众数；样本估计总体

命题意图：本题主要考查学生对统计图的识图和读图的能力，难度中等.

20.答案：如图，过点C作CH⊥AB于点H，

则CH＝BD，BH＝CD＝0.5．

在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，

∴AH＝CH＝BD，

∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．

∵EF⊥FB，AB⊥FB，

∴∠EFG＝∠ABG＝90°．

由题意，易知∠EGF＝∠AGB，

∴△EFG∽△ABG，

∴即，

解之，得BD＝17.5，

∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．

∴这棵古树的高AB为18m．

解析：过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5．解Rt△ACH，得出AH＝CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5．再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD＝17.5，进而求出AB即可．

考查内容：仰角俯角问题；解直角三角形

命题意图：本题主要考查学生应用仰角俯角的知识来解决实际问题，关键是构造直角三角形，难度中等.

21.答案：（1）根据题意得：y＝m﹣6x；

（2）将x＝7，y＝﹣26代入y＝m﹣6x，得﹣26＝m﹣42，∴m＝16

∴当时地面气温为16℃

∵x＝12＞11，

∴y＝16﹣6×11＝﹣50（℃）

假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为﹣50℃．

解析：（1）根据气温等于该处的温度减去下降的温度列式即可；

（2）根据（1）的结论，把x和y的值分别代入求解．

考查内容：一次函数的实际应用

命题意图：本题主要考查学生对一次函数的应用以及函数值的理解和掌握，难度中等.

22.答案：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种

∴P（摸出白球）＝；

（2）根据题意，列表如下：

∵，

∴这个游戏规则对双方不公平.

解析：（1）直接根据概率公式进行计算；

（2）利用列表法或树状图的方法分别求出摸出颜色相同的球和摸出颜色不同的小球的概率比较判断.

考查内容：概率公式；列表法求概率

命题意图：本题主要考查学生概率知识的理解和应用，难度中等偏上.

23.答案：（1）证明：∵AP是⊙O的切线，

∴∠EAM＝90°，

∴∠BAE+∠MAB＝90°，∠AEB+∠AMB＝90°．

又∵AB＝BM，

∴∠MAB＝∠AMB，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE；

（2）解：连接BC，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°

在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，

∴BC＝8，

∵BE＝AB＝BM，

∴EM＝12，

由（1）知，∠BAE＝∠AEB，

∴△ABC∽△EAM

∴∠C＝∠AME，，

即，

∴AM＝，

又∵∠D＝∠C，

∴∠D＝∠AMD

∴AD＝AM＝．

解析：（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，等腰三角形的性质∠MAB＝∠AMB，根据等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，即可证得AB＝BE；

（2）证得△ABC∽△EAM，求得∠C＝∠AME，AM＝，由∠D＝∠C，求得∠D＝∠AMD，即可证得AD＝AM＝．

考查内容：切线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的性质和判定；圆周角定理

命题意图：本题主要考查学生应用切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识解决综合几何题的问题，难度中等偏上.

24.答案：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

∴L：y＝﹣x2﹣5x﹣6

（2）∵点A、B在L′上的对应点分别为A′（3，0）、B′（0，6），

∴设抛物线L′的表达式y＝x2+bx+6，

将A′（﹣3，0）代入y＝x2+bx+6，得b＝﹣5，

∴抛物线L′的表达式为y＝x2﹣5x+6，

A（﹣3，0），B（0，﹣6），

∴AO＝3，OB＝6，

设：P（m，m2﹣5m+6）（m＞0），

∵PD⊥y轴，

∴点D的坐标为（0，m2﹣5m+6），

∵PD＝m，OD＝m2﹣5m+6，

Rt△POD与Rt△AOB相似，

①△PDO∽△BOA时，，即m＝2（m2﹣5m+6），

解得：m＝或4；

②当△ODP∽△AOB时，

同理可得：m＝1或6；

∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，

∴符合条件的点P的坐标为（1，2）或（6，12）或或（4，2）．

解析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）分△POD∽△BOA、△OPD∽△AOB两种情况，分别求解．

考查内容：二次函数的解析式；相似三角形的性质和判定；分类讨论思想

命题意图：本题主要考查学生综合应用二次函数、相似三角形性质和判定等知识，难度中等偏上.

25.答案：（1）如图记为点D所在的位置．

（2）如图，

∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB．

∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，

连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC＝90°，点P不能再矩形外；

∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，

作P1E⊥BC，垂足为E，则OE＝3，

∴AP1＝BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，

由对称性得AP2＝8．

（3）可以，如图所示，连接BD，

∵A为▱BCDE的对称中心，BA＝50，∠CBE＝120°，

∴BD＝100，∠BED＝60°

作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧上，取的中点E′，连接E′B，E′D，

则E′B＝E′D，且∠BE′D＝60°，∴△BE′D为正三角形．

连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A＝AC′，连接BC′，DC′，

∵E′A⊥BD，

∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′＝120°，

作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA﹣E′O+OA＝E′A，

∴S△BDE＝•BD•EF≤•BD•E′A＝S△E′BD，

∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′＝2S△E′BD＝1002•sin60°＝5000（m2）

所以符合要求的▱BCDE的最大面积为5000m2．

解析：（1）分别过A、B、C三点作对边的平行线，且与对边相等的点，从而画出平行四边形；

（2）以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，点P1，P2即为所求．

（3）连接BD，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧上，取的中点E′，连接E′B，E′D，四边形BC′DE′即为所求．

考查内容：平行四边形的判定和性质；圆周角定理；三角形的面积

命题意图：本题主要考查学生解决四边形综合题的能力，其中涉及到了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，难度很大.