2020年高考文科数学易错题《数列》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一  等差数列的基本运算

例1（1）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（  ）

A．24                B．3                  C．3                    D．8

（2）设为等差数列，公差,为其前项和，若，则（  ）

       A．18                     B．20                   C．22                    D．24

（3）设等差数列的前项和为，＝－2，＝0，＝3，则＝（  ）

A．3                      B．4                        C．5                       D．6

（4）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，，则=_____．

【答案】 (1)     (2)         (3)      （4）

【解析】

（1）设的公差为（），由，得，

所以，．选． 

（2）由，得，．

（3）有题意知=，∴==（）=，

= ，∴公差==1，∴3==，∴，故选.

（4）设的公差为，由及，

得，所以．又，

所以，即．

【易错点】等差数列求和公式易记错

【思维点拨】等差数列基本运算的解题方法

（1）等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．

（2）数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

题型二 等差数列的判定与证明

例1  在数列中，若，已知，则数列前项的和为______.

【答案】

【解析】由已知可得，

例2  已知数列满足         

（1）证明数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式.

【答案】见解析

【解析】（1），所以数列是首项为，公差为的等差数列.

       （2）由（1）知，所以.

例3  若数列的前项和为，且满足，.

（1）求证：成等差数列；

（2）求数列的通项公式.

【答案】见解析

【解析】（1）证明　当时，由，

得，所以，故是首项为，公差为的等差数列.

（2）解　由(1)可得，∴.

当时，不时，.

故

【易错点】忘记写：当时或者不知道使用：

【思维点拨】等差数列的证明方法：

（1）定义法：或为等差数列.

（2）等差中项法：为等差数列.

（3）通项法：为常数为等差数列.

（4）前项和法：为常数为等差数列.

题型三  等差数列前项和及其最值

例1 （1）等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是(　　)

A 

（2）若等差数列满足，，则当__时的前项和最大．

【答案】(1)C         (2)

【解析】（1）由，根据等差数列的性质，可得.根据首项等于可推知这个数列递减，从而得到，，故时最大.

（2）∵数列是等差数列，且，．又

，∴．当时，其前项和最大．

【易错点】求最值的时候计算出错，以及去掉绝对值求和时也易出错。

【思维点拨】求等差数列前项和的最值，常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)将等差数列的前项和 (为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.

题型四  等比数列的基本运算

例1（1）等比数列满足，，则=（   ）

A．21                B．42               C．63               D．84

（2）等比数列的前项和为，已知，，则=（   ）

A．                  B．               C．               D．

（3）已知数列为等比数列，是是它的前项和,若，且与2的等差中项为，则（   ）

A．35              B．33                C．3l                D．29

（4）设为等比数列的前n项和，则（   ）

A．－11             B．－8              C．5                   D．11

【答案】 (1)    (2)         (3)      （4）

【解析】

（1）由于，，所以，所以

(舍去)，所以，，，所以．

（2）设等比数列的公比为，∵，∴，

即，∴，由，即，∴．

（3）设的公比为，则由等比数列的性质知，，

即．由与的等差中项为知，，

．∴，即．，

，．

（4）通过，设公比为，将该式转化为，

解得=－2，所以．

【易错点】等比数列求和公式易记错

【思维点拨】等比数列基本运算的解题方法

（1）等比数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．

（2）数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等比数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

题型五  等比数列的判定与证明

例1  已知数列满足=1，．证明是等比数列，并求的通项公式；

【答案】 见解析

【解析】由得．

又，所以是首项为，公比为的等比数列．

，因此的通项公式为．

【易错点】等比数列的定义证明方法

【思维点拨】证明一个数列为等比数列常用方法：

（1）定义法：（常数）或（常数）为等比数列.

（2）等比中项法：为等比数列.

（3）通项法：为等比数列.

题型六  等差数列等比数列求前项和

例1 在等比数列中，.

（1）求；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】 见解析

【解析】（1）设的公比为，依题意得，解得，因此，.

（2）因为，∴数列的前项和.

例2  已知等差数列和等比数列满足，，

（1）求的通项公式；

（2）求和：.

【答案】见解析

【解析】（1）设的公差为，由，，得，所以.

（2）由（1）知.设的公比为，由，，得，所以，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以.

【易错点】等比数列求和时项数的确定

【思维点拨】（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.

（2）通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.

题型七  分组转化法求和

例1   在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的值．

【答案】见解析

【解析】（1）设等差数列的公差为．由已知得，解得．

所以．

（2）由（1）可得，

所以

.

【易错点】通项求错以及等比数列的求和公式记错

【思维点拨】若数列的通项公式为，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列的前项和.

题型八  裂项相消法求和

例1  已知等差数列满足：，，的前n项和为．

（1）求及；

（2）令，求数列的前项和．

【答案】（1）           （2）

【解析】略

【易错点】裂项时易出错，解不等式时也易出错

【思维点拨】（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.

（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.

【巩固训练】

题型一  等差数列的基本运算

1. 记为等差数列的前项和，若，，则（   ）

A．                B．                 C．                        D．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，∵，∴，

∴，∴，

∵，∴，∴．故选B．

2. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（   ）

    A．－110  　　          B．－90 　　         C．90  　              D．110

【答案】

【解析】【解析】因为是与的等比中项，所以，又数列的公差为，所以，解得，

故，所以．

题型二  等比数列的基本运算

1. 已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则

A．35                 B．33               C．3l              D．29

【答案】

【解析】设的公比为，则由等比数列的性质知，，

即．由与2的等差中项为知，，

．∴，即．

，．

2. 等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则=      ．

【答案】

【解析】设的公比为，由题意，由，所以，由，得，所以．

3. 已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于         ．

【答案】

【解析】由题意，，解得或，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和．

题型三  等差（比）数列的判定与证明

1. 已知数列中，，．设，求证：数列是等差数列．

【答案】见解析

【解析】证明：，∴是首项为，公差为的等差数列．

题型四  等差数列前项的最值

1.记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

【答案】见解析

【解析】(1)设的公差为，由题意得．

由得．所以的通项公式为．

(2)由(1)得．所以当时，取得最小值，最小值为．

2.若等差数列满足，，则当__时的前项和最大．

【答案】

【解析】∵数列是等差数列，且，．又

，∴．当时，其前项和最大．

3.在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范

围_________．

【答案】

【解析】由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得．

题型五  数列的求和

1.已知是等差数列，满足，，数列满足，，且为等比数列．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）            （2）

2.已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和.

（1）求通项及；

（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.

【答案】（1）        

      （2）   

3.等差数列前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足且，求的前项和.

【答案】（1）      （2）

4.数列满足，，.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）略         （2）

5.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）当时，记，求数列的前项和． 

【答案】见解析

【解析】（1）由题意有，即

解得或故或

（2）由，知，，故，

于是，  ①

. ②

1-②可得，，故.