指数函数的图像及性质教学设计

                                                  大悟一中   何贝

一、教材的地位和作用

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

二、学情分析及教学内容分析

通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，学生在知识方面，对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数；技能方面，学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备；素质方面，由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。但是本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来有一定难度。

三、教学目标

知识目标：熟练的掌握指数函数的概念，指数函数的图象和性质和简单应用；学生获得研究函数的规律和方法。

能力目标：培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；让他们体会数                                                                                                             形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；

情感目标：通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。

4、教学重难点

重点：1、了解指数函数的概念和图象。

       2、指数函数的概念和图象及性质认识和理解。

难点：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型

五、教学过程

（一）问题引入

问题1：让学生动手折纸，并引出问题

     ①对折的次数x与所得的层数y之间的关系，得出函数关系式ｙ=2x

     ②对折的次数x与折后面积y之间的关系（记折前纸张面积为1），

得出函数关系式y=(1/2)x

问题2：铀核裂变能产生巨大的能量，它的裂变方式称为链式反应，假定1个中子击打1个铀核，此中子被吸收产生能量并释放出3个中子，这3个中子又打中另外3个铀核产生3倍的能量并释放出9个中子，这9个中子又击中9个铀核……这样的击打进行了x次后释放出的中子数y与x的关系是：y=3x

（二）指数函数的概念

观察和y=(1/2)x,y=2x,y=3x以及y=1.073x和P=(1/2)t/5730有什么共同特点？

答案：，都是函数，每一个x都有唯一确定的y与其对应。对应法则中，底数都是一个常数，指数位置都是自变量。

定义：一般地，函数叫做指数函数(exponential  function)，其中x是自变量，函数的定义域是R。

根据指数函数的定义来判断说明：

1.指数的概念以及运算已经由有理数推广到了无理数，a>0,a不等于1时，只要是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R。

2.

若＜0，如在实数范围内的函数值不存在。

若=1，  是一个常量，没有研究的意义。

所以，只有满足的形式才能称为指数函数。

练习：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

  （1）  （2）   （3）   （4）  

（5）  （6）   （7）  （＞1，且）

答案：（1）（2）（4）（5）（6）不是指数函数，（3）（7）是指数函数。

（三）指数函数的图像及性质

为了研究指数函数的性质，我们先作出指数函数的图像，描点法作函数图像的步骤：列表、描点、连线。分小组进行画图

1、画的函数图象

列表                                   

面对函数图像时我们可以得到的很多性质，例如函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等等。那么你们从画出的函数图像中可以总结哪些性质或者特征呢？

   一二组派代表回答：通过函数的函数图象都在x轴的上方，定义域为R，值域为（0，）且图像呈上升趋势，y都随着x的增大而增大。

   用几何画板演示底数a>1时，底数变化时函数图像如何变化，并和学生一起总结出其函数性质。

2、画的函数图像

列表

     三四组派代表回答：指数函数和，它们的函数图像也在x轴的上方，定义域为R，值域也为（0，）但是图像呈下降趋势，y随着x的增大而减小。

   用几何画板演示底数03、指数函数的性质

在同一直角坐标系中，看出实质是上的点（x，y）

总结：从图上看（＞1）与两函数图象的特征是关于轴对称。

（4）例题讲解

例2： 比较下列各题中的两个值的大小

（ 1）1.72.5   与  1.73

( 2 )与

( 3 )1.70.3  与   0.93.1

解：(1) 1.72.5 与 1.73可以看作是函数的两个函数值。

由于底数1.7>1，所以指数函数在R上为增函数，

因为2.5<3，所以1.72.5<1.73

(2) 0.8-0.1  与 0.8-0.2可以看作是函数的两个函数值。

由于底数0.8<1，所以指数函数在R上是减函数，

因为-0.1>-0.2，所以0.8-0.1< 0.8-0.

说明：同底指数不同的两数比较大小，利用函数单调性。判断其大小。

(3)由于1.70.3  与  0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值，我们首先在这两个数值中间找一个数值，将这一个数值与原来的两个数值分别比较大小，然后确定原来两个数值的大小关系。由指数函数的性质可知

1.70.3>1.70=1  ；   0.93.1<0.90=1

所以1.70.3 > 0.93.1

例3： 截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）

解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为亿，则当=20时，

答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.

说明：在实际问题中，经常会遇到类似例2的指数增长模型，设原有量为N，每次的增长率为p,经过x次增长，该量增长到y，则y=N(1+p)x（xN）。形如的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数模型。

（五）小结

      （1）指数函数的概念及解析式形式：y=ax(a>0,a1)

       (2)指数函数的图像及其性质：分a>1和0  （六）布置作业

     必做题 p59:A组5，6，7，8

     选做题 p60:B组3.

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