高中数学《数列》练习题(含答案解析)

一、单选题

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝（    ）

A． ． ． ． 

2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

3．现有下列说法：

①元素有三个以上的数集就是一个数列；

②数列1，1，1，1，…是无穷数列；

③每个数列都有通项公式；

④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；

⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．

其中正确的有（    ）．

A．0个 ．1个 ．2个 ．3个

4．数列的前n项和为，且，则（    ）

A．2020 ．2021 ．2022 ．2023

5．已知等差数列中，，则数列的公差为（    ）

A．2 ．3 ．4 ．5

6．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（    ）

A． ． ． ． 

7．已知数列，，则下列说法正确的是（    ）

A．此数列没有最大项 ．此数列的最大项是

C．此数列没有最小项 ．此数列的最小项是

8．已知是等差数列，公差，其前项和为，若、、成等比数列，，则不正确的是（    ）

A．  B．  C．   ．当时， 

9．已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（    ）

A． ． ． ． 

10．等差数列前项和为，，则（    ）

A． ． ． ． 

二、填空题

11．已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________.

12．已知等差数列的前n项和为，若，则_________.

13．设是等差数列的前n项和，若，则______．

14．已知等差数列的前n项和为，且，，则的最小值是______．

三、解答题

15．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足

(1)求数列和的通项公式；

(2)令求数列的前n项和；

16．已知等差数列的前项和满足，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和（单位：万元）的情况如图所示.

（1）求；

（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？

18．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

参与解析：

1．A

【分析】运用等差数列前n项和公式进行求解即可.

【详解】设等差数列{an}的公差为d，

∵，显然，

∴，

故选：A

2．D

【分析】由，举反例和即可得出结果

【详解】，例如，但是数列不单调递增，故不充分；

数列单调递增，例如，但是，故不必要；

故选：D

3．B

【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.

【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；

对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；

对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，

依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；

对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，

即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；

对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，

所以说法正确的个数是1.

故选：B

4．D

【分析】根据数列的通项公式，可求得,依此类推，即可求解.

【详解】∵，故

故

.

故选：D.

5．C

【分析】利用，直接计算公差即可.

【详解】等差数列中，，设公差为d，则，即.

故选：C.

6．D

【分析】由等比数列的通项公式计算．

【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为，

由题意可得，则，则数列为首项为，公比为的等比数列，

所以，则视力4.9的视标边长为，

故选：D.

7．B

【分析】令，则，，然后利用函数的知识可得答案.

【详解】令，则， 

当时， 

当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减

所以当即时，取得最大值，

所以此数列的最大项是，最小项为

故选：B．

8．A

【分析】利用等差数列的求和公式可得出，可得出，根据已知条件求出的值，可求得、的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为是等差数列，则，所以，，

所以，，

因为，可得，

整理可得，因为，故，A错；

，则，B对；

，C对；

当时，，即，D对.

故选：A.

9．C

【解析】由，可得，数列为常数列，令，可得，进而可得，利用裂项求和即可求解.

【详解】数列满足，对任意的都有，

则有，可得数列为常数列，

有，得，得，

又由，

所以．

故选：C

【点睛】方法点睛：数列求和的方法

（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法

（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；

（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；

（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；

（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

10．C

【分析】将化成和的形式，得到二者关系，求得，利用求得结果.

【详解】

，即

故选：C.

【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：

（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；

（2）化简求得数列的某一项；

（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.

11． 

【分析】根据等差和等比中项的定义求出得值，即可求解.

【详解】因为是的等差中项，所以，

因为是，的等比中项，所以，

，所以.

故答案为：.

12．1

【分析】由等差中项性质可求，又依据等差数列的前n项和公式及通项公式列方程即可求得公差

【详解】由有，而

∴结合等差数列的前n项和公式及通项公式

即可得

故答案为：1

【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n项和公式、通项公式求公差

13．1

【分析】利用等差数列性质及前n项和公式计算作答.

【详解】在等差数列中，，所以．

故答案为：1

14． 

【分析】根据给定条件求出等差数列的首项、公差，探求数列的单调性即可计算作答.

【详解】设等差数列的公差为d，由得，解得，

因此，，令，解得，

于是得数列是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第开始为正，

所以或最小，最小值为．

故答案为： 

15．(1) ， 

(2)  

【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；

（2）分组求和即可.

【详解】（1）设的公差为,

由已知,有解得，

所以的通项公式为,的通项公式为.

（2），分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.

16．（1）；（2）.

【解析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式；

（2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得

【详解】解：（1）设等差数列的公差为，

因为，.

所以，化简得，解得，

所以，

（2）由（1）可知，

所以，

所以

【点睛】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题

17．（1）；（2）第2年该公司开始获利.

【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式

（2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可.

【详解】（1）由题意知，数列是，公差的等差数列，

所以.

（2）设引进这种设备后，净利润与年数n的关系为，

则.

令得，解得，

又因为，所以，3，4，…，18，

即第2年该公司开始获利.

18．（1），；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；

（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.

【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，

所以，所以，

即，解得，所以，

所以.

（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和

，

，

．

设，    ⑧

则．     ⑨

由⑧-⑨得．

所以．

因此．

故．

[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法

证明：由（1）可得，

，①

，②

①②得，

所以，

所以，

所以.

[方法三]：构造裂项法

 由（Ⅰ）知，令，且，即，

通过等式左右两边系数比对易得，所以．

则，下同方法二．

[方法四]：导函数法

设，

由于，

则．

又，

所以

，下同方法二．

【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.

（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；

方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；

方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，

方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.