2023年浙江省杭州中考数学模拟试卷(5月份)(含解析)

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积272000平方米，将数272000用科学记数法表示为（　　）

A．0.272×107B．2.72×106C．2.72×105D．272×104 2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．b6+b3＝b2B．b3•b3＝b6C．a2+a2＝a2D．（a3）3＝a6 3．（3分）某校七年级学生的平均年龄为13岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是（　　）

A．平均年龄为13岁，方差改变

B．平均年龄为15岁，方差不变

C．平均年龄为15岁，方差改变

D．平均年龄为13岁，方差不变

4．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是△ABC的平分线，DE∥BC，则∠BDE的度数为（　　）

A．20°B．35°C．40°D．70°

5．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，Q是优弧上一点，若∠APB＝40°，则∠AQB的度数是（　　）

A．50°B．70°C．80°D．85°

6．（3分）直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕着A点旋转180°得到△AO'B′，则点B′的坐标为（　　）

A．（﹣6，3）B．（﹣6，﹣3）C．（6，3）D．（6，﹣3）

7．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2023，则方程a （x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（　　）

A．2021B．2022C．2023D．2024

8．（3分）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是（　　）

A．B．C．3D．

9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值8．设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＞4，则a的取值范围是（　　）

A．﹣3＜a＜﹣1B．﹣2＜a＜0C．﹣1＜a＜1D．2＜a＜4

10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结EH，

交AC于点P，过点P作PR⊥FG于点R．若，则PR的值为（　　）

A．10B．11C．D．

二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11．（4分）已知代数式x+y的值是3，则代数式2x+2y+1的值是　　．12．（4分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有80次摸到红球，则估计这个口袋中白球的个数为　　个．13．（4分）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是　　．

14．（4分）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为　　米（结果保留根号）．

15．（4分）某地2020年新能源汽车A的销量为100万辆，2022年新能源汽车A的销量为144万辆，设此地新能源汽车A的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　　（用百分数表示）．

16．（4分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF 交边BC于点H．EN＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为　　．

三.解答题（共7小题，共66分）

17．（6分）化简：﹣﹣1

圆圆的解答如下：

﹣﹣1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．

18．（8分）4月17日是“世界血友病日”，某高校开展义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A，B，AB，O”四种类型，随机抽取部分献血结果统计，根据结果制作如图两幅不完整统计图表：

血型A B AB O

人数2010

（1）本次随机抽取献血者人数为　　人，图表中m＝　　；

（2）若该高校总共有2万名学生，估计其中A型血的学生有　　人；

（3）现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．

19．（8分）如图，AB＝AC，CE∥AB，D是AC上的一点，且AD＝CE．（1）求证：△ABD≌△CAE．

（2）若∠ABD＝25°，∠CBD＝40°，求∠BAE的度数．

20．（10分）已知：一次函数y＝x﹣2﹣k与反比例函数．其中y2的图象过．

（1）求出两个函数图象的交点坐标；

（2）根据图象直接回答：x取何值时，y1＜y2．

21．（10分）在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长ED至点F，使得DF＝DE，连结BF．

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形．

（2）BG⊥CE于点G，连结CF，若G是CE的中点，CF＝6，tan∠BCG＝3，

①求CG的长．

②求平行四边形BCEF的周长．

22．（12分）已知函数与y2＝ax+5（a为常数，且a≠0）．（1）若a＝1，请求出y1，y2解析式，并写出y的对称轴．

（2）若y1与y2的函数图象没有交点，请求出a的取值范围；

（3）若，当0＜x＜2时，比较y1，y2的大小，并说明理由：

23．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，AC为直径，E为一动点，连结BE交AC于点G，交AD于点F，连结DE．

（1）设∠E为α，请用α表示∠BAC的度数．

（2）如图1，当BE⊥AD时，

①求证：DE＝BG．

②当，BG＝5时，求半径的长．

（3）如图2，当BE过圆心O时，设tan∠ABE＝x，求y关于x的函数表达式．

参与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积272000平方米，将数272000用科学记数法表示为（　　）

A．0.272×107B．2.72×106C．2.72×105D．272×104

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．

【解答】解：272000＝2.72×105，

故选：C．

【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．

2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．b6+b3＝b2B．b3•b3＝b6C．a2+a2＝a2D．（a3）3＝a6

【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．

【解答】解：A、b6与b3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；

B、b3•b3＝b6，故B符合题意；

C、a2+a2＝2a2，故C不符合题意；

D、（a3）3＝a9，故D不符合题意；

故选：B．

【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3．（3分）某校七年级学生的平均年龄为13岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是（　　）

A．平均年龄为13岁，方差改变

B．平均年龄为15岁，方差不变C．平均年龄为15岁，方差改变

D．平均年龄为13岁，方差不变

【分析】根据两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变知平均年龄为15岁，方差不变．

【解答】解：两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，

所以平均年龄为15岁，方差不变．

故选：B．

【点评】本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．4．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是△ABC的平分线，DE∥BC，则∠BDE的度数为（　　）

A．20°B．35°C．40°D．70°

【分析】根据等腰三角形的性质推出∠ABC＝70°，根据角平分线的定义得出∠DBC＝35°，根据平行线的性质即可得解．

【解答】解：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵∠A＝40°，

∴∠ABC＝×（180°﹣40°）＝70°，

∵BD是△ABC的平分线，

∴∠DBC＝∠ABC＝35°，

∵DE∥BC，

∴∠BDE＝∠DBC＝35°，

故选：B．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．

5．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，Q是优弧上一点，若∠APB＝40°，则∠AQB的度数是（　　）

A．50°B．70°C．80°D．85°

【分析】连接OA、OB，如图，先根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，再利用四边形的内角和计算出∠AOB＝140°，然后根据圆周角定理得到∠AQB的度数．

【解答】解：连接OA、OB，如图，

∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∵∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣∠P＝180°﹣40°＝140°，

∴∠AQB＝∠AOB＝70°．

故选：B．

【点评】本题看了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．6．（3分）直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕着A点旋转180°得到△AO'B′，则点B′的坐标为（　　）

A．（﹣6，3）B．（﹣6，﹣3）C．（6，3）D．（6，﹣3）

【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征求出A点和B点坐标，则可得到OA＝3，OB＝3，再根据旋转的性质得到AO′＝AO＝3，O′B′＝OB＝3，∠AO′B′＝∠AOB ＝90°，然后根据第二象限点的坐标特征写出点B′的坐标．

【解答】解：当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝3，则A（3，0），所以OA＝3，

当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则B（0，﹣3），所以OB＝3，

因为△AOB绕着A点旋转180°得到△AO′B′，

所以AO′＝AO＝3，O′B′＝OB＝3，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，所以点B′的坐标为（6，3）．

故选：C．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．

7．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2023，则方程a （x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（　　）

A．2021B．2022C．2023D．2024

【分析】把a（x﹣1）2+bx﹣3＝b化为：a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0再结合题意可得x ﹣1＝2023，从而可得方程的解．

【解答】解：a（x﹣1）2+bx﹣3＝b可化为：a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0

关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2023，

∴把x﹣1看作是整体未知数，则x﹣1＝2023，

∴x＝2024，

即a（x﹣1）2+bx﹣3＝b有一根为x＝2024．

故选：D．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”

是解本题的关键．8．（3分）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是（　　）

A．B．C．3D．

【分析】连接OE、OC，OC交EF于D，由圆周角定理得出，如果连接OC交EF 于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由MN是△ABC的中位线，根据三角形

中位线定理可得：OD＝CD＝OC＝2．在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．

【解答】解：如图所示，

∵PC是∠APB的角平分线，

∴∠APC＝∠CPB，

∴弧AC＝弧BC；

∴AC＝BC；

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°．

即△ABC是等腰直角三角形．

连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；

∵MN是△ABC的中位线，

∴MN∥AB；

∴OC⊥EF，OD＝OC＝2．

连接OE，根据勾股定理，得：DE＝＝2，

∴EF＝2ED＝4．

故选：A．

【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF 的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．

9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值8．设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＞4，则a的取值范围是（　　）

A．﹣3＜a＜﹣1B．﹣2＜a＜0C．﹣1＜a＜1D．2＜a＜4

【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值8，可以写出该函数的顶点式，得到a＜0，再根据该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1＞4，可知，当x＝4时，y＞0，即可得到a的取值范围，本题得以解决．

【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值8，

∴a＜0，该函数解析式可以写成y＝a（x﹣2）2+8，

∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1＞4，

∴当x＝4时，y＞0，

即a（4﹣2）2+8＞0，解得，a＞﹣2，

∴a的取值范围时﹣2＜a＜0，

故选：B．

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结EH，

交AC于点P，过点P作PR⊥FG于点R．若，则PR的值为（　　）

A．10B．11C．D．

【分析】设PR与AB交于点N，如图，过点E作EM⊥AB交BA的延长线于点M，利用正方形性质可证得△ACB≌△EAM（AAS），得出EM＝AB，AM＝BC，设AB＝x，BC＝y，根据tan∠AHE＝，可得EM＝2y，MH＝4y，利用勾股定理建立方程求解可得x＝8，

再由tan∠CAB＝＝＝，可得PA＝PH，利用等腰三角形性质和解直角三角形可求得PH＝3，再证明四边形BGRN是矩形，得出NR＝BG＝8，利用PR＝PN+NR即可求得答案．

【解答】解：设PR与AB交于点N，如图，过点E作EM⊥AB交BA的延长线于点M，则∠M＝90°，

∵四边形ACDE、BCIH、ABGF均为正方形，

∴AE＝AC，BC＝BH，AB＝BG，∠CAE＝∠CBH＝∠ABG＝∠G＝90°，AB∥FG，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABC＝∠M＝90°，

∴∠ACB+∠CAB＝90°，

∵∠EAM+∠CAB＝90°，

∴∠ACB＝∠EAM，

∴△ACB≌△EAM（AAS），

∴EM＝AB，AM＝BC，∴AM＝BH＝BC，

设AB＝x，BC＝y，

则EM＝x，AM＝BH＝y，

MH＝x+2y，

∵tan∠AHE＝，

∴＝，即MH＝2EM，

∴x+2y＝2x，

∴x＝2y，

∴EM＝2y，MH＝4y，

∵EM2+MH2＝EH2，

∴（2y）2+（4y）2＝（8）2，解得：y＝4或y＝﹣4（舍去），

∴x＝8，

∴AM＝BC＝BH＝4，AB＝BG＝8，∵∠ABC+∠CBH＝180°，

∴A、B、H三点共线，

∴AH＝AB+BH＝8+4＝12，

∵tan∠CAB＝＝＝，

∴tan∠CAB＝tan∠AHE，

∴∠CAB＝∠AHE，

∴PA＝PH，

∵AB∥FG，

∴∠PNB＝∠PRG＝90°，

∴AN＝AH＝×12＝6，

∴＝tan∠CAB＝，

∴PN＝AN＝×6＝3，

∵PR⊥FG，

∴∠PRG＝90°，∴∠ABC＝∠G＝∠PRG＝90°，

∴四边形BGRN是矩形，

∴NR＝BG＝8，

∴PR＝PN+NR＝3+8＝11．

故选：B．

【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角函数定义等知识，利用勾股定理建立方程求得AB＝8，BC＝4是解题的关键．

二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11．（4分）已知代数式x+y的值是3，则代数式2x+2y+1的值是　7　．【分析】原式前两项提取2变形后，把已知x+y＝3代入计算即可求出值．

【解答】解：∵x+y＝3，

∴原式＝2（x+y）+1＝6+1＝7，

故答案为：7

【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（4分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有80次摸到红球，则估计这个口袋中白球的个数为　2　个．

【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．

【解答】解：估计这个口袋中红球的数量为10×＝8（个），

10﹣﹣8＝2，

估计这个口袋中白球的个数为2．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

13．（4分）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是　　．

【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案．

【解答】解：∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2），

∴关于x，y的二元一次方程组的解为．

故答案为．

【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．

14．（4分）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为　　米（结果保留根号）．

【分析】在直角△ACD中利用三角函数求得AD，然后在直角△BCD中，利用三角函数求得BD，根据AB＝AD+BD即可求解．

【解答】解：在直角△ACD中，∠A＝30°，tan A＝，

∴AD＝CD＝100（米）；

同理，BD＝CD＝（米），

则AB＝AD+BD＝（米）．

故答案为：．

【点评】本题考查运用俯角的定义，三角函数，通过作高线转化为解直角三角形的问题．15．（4分）某地2020年新能源汽车A的销量为100万辆，2022年新能源汽车A的销量为144万辆，设此地新能源汽车A的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　20%　（用百分数表示）．

【分析】利用此地2022年新能源汽车A的销量＝此地2020年新能源汽车A的销量×（1+此地新能源汽车A的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．

【解答】解：根据题意得：100（1+x）2＝144，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），

∴x的值为20%．

故答案为：20%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16．（4分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF 交边BC于点H．EN＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为　2﹣4或4　．

【分析】根据点H为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN＝∠MNG，得到MG＝NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，设MD＝MF＝x，根据勾股定理列方程求出x即可．

【解答】解：当HN＝GN时，GH＝2HN，

∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，

∴MF＝MD，CN＝EN，∠E＝∠C＝∠D＝∠MFE＝90°，∠DMN＝∠GMN，AD∥BC，∴∠GFH＝90°，∠DMN＝∠MNG，

∴∠GMN＝∠MNG，

∴MG＝NG，

∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，

∴△FGH∽△ENH，

∴＝＝2，

∴FG＝2EN＝4，

过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，

设MD＝MF＝x，

则MG＝GN＝x+4，

∴CG＝x+6，

∴PM＝6，

∵GP2+PM2＝MG2，

∴42+62＝（x+4）2，

解得：x＝2﹣4，

∴MD＝2﹣4；

当GH＝GN时，HN＝2GH，

∵△FGH∽△ENH，

∴＝＝，

∴FG＝EN＝1，

∴MG＝GN＝x+1，

∴CG＝x+3，

∴PM＝3，

∵GP2+PM2＝MG2，

∴42+32＝（x+1）2，

解得：x＝4，

∴MD＝4；

故答案为：2﹣4或4．

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．

三.解答题（共7小题，共66分）

17．（6分）化简：﹣﹣1

圆圆的解答如下：

﹣﹣1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．

【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．

【解答】解：圆圆的解答错误，

正确解法：﹣﹣1

＝﹣﹣

＝

＝

＝﹣．

【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．

18．（8分）4月17日是“世界血友病日”，某高校开展义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A，B，AB，O”四种类型，随机抽取部分献血结果统计，根据结果制作如图两幅不完整统计图表：

血型A B AB O

人数2010

（1）本次随机抽取献血者人数为　100　人，图表中m＝　20　；

（2）若该高校总共有2万名学生，估计其中A型血的学生有　4800　人；

（3）现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．

【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；

（2）用样本中A型的人数除以100得到血型是A型的百分比，然后用20000乘以此百分比可估计这20000人中是A型血的人数；

（3）画出树状图，根据概率公式即可得到结果．

【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为10÷10%＝100（人），

所以；

故答案为：100，20；

（2）O型献血的人数为46%×100＝46（人），

A型献血的人数为100﹣20﹣10﹣46＝24（人），

从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的百分比＝，

，

估计这2万名学生中大约有4800人是A型血；

故答案为：4800；

（3）画树状图如图所示，

共有12个等可能的结果，两人血型均为O型的结果有2个，

∴两人血型均为O型的概率为．

【点评】此题考查了树状图法求概率以及统计表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（8分）如图，AB＝AC，CE∥AB，D是AC上的一点，且AD＝CE．（1）求证：△ABD≌△CAE．

（2）若∠ABD＝25°，∠CBD＝40°，求∠BAE的度数．

【分析】（1）由CE∥AB，得∠BAD＝∠ACE，而AB＝CA，AD＝CE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABD≌△CAE；

（2）由∠ABD＝∠CAE＝25°，∠CBD＝40°，得∠ACB＝∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝65°，则∠BAC＝50°，所以∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°．

【解答】（1）证明：∵CE∥AB，

∴∠BAD＝∠ACE，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS）．

（2）解：∵△ABD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠CAE＝25°，

∵∠CBD＝40°，

∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝25°+40°＝65°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝65°，

∴∠BAC＝180°﹣2×65°＝50°，

∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝50°+25°＝75°，

∴∠BAE的度数是75°．

【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠BAD＝∠ACE及△ABD≌△CAE是解题的关键．20．（10分）已知：一次函数y＝x﹣2﹣k与反比例函数．其中y2的图象过．

（1）求出两个函数图象的交点坐标；

（2）根据图象直接回答：x取何值时，y1＜y2．

【分析】（1）根据条件先求出两个函数解析式，联立方程组即可求出交点坐标；

（2）画出图象示意图，根据图象写出y1＜y2时x的取值范围．

【解答】解：（1）∵y2的图象过．

∴＝，k＝1．

∴反比例函数解析式为：y＝﹣，一次函数解析式为：y＝x﹣3，

联立方程组，解得或．

∴交点坐标为（1，﹣2）或（2，﹣1）．

（2）由题意，作图如下：

∵y1＜y2，

∴一次函数图象在反比例函数图象下方时，

对应的x的取值范围是：x＜0，或1＜x＜2．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，该题是在反比例函数一条分支上的两个交点问题，自变量取值范围一定要考虑到另一分支．21．（10分）在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长ED至点F，使得DF＝DE，连结BF．

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形．

（2）BG⊥CE于点G，连结CF，若G是CE的中点，CF＝6，tan∠BCG＝3，

①求CG的长．

②求平行四边形BCEF的周长．

【分析】（1）根据三角形中位线定理证明EF∥BC，EF＝BC，进而可以解决问题；

（2）①设BG与FC交于点H，设EG＝CG＝x，则FB＝EC＝2x，证明△FBH∽△

CGH，得＝＝＝，所以FH＝4，HC＝2，由tan∠BCG＝＝3，得BG＝3CG ＝3x；

②证明△GHC是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出x的值，进而可以解决问题．

【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE∥BC，DE＝BC，

∵DF＝DE＝EF，

∴EF∥BC，EF＝BC，

∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）解：①设BG与FC交于点H，

∵G是CE的中点，

∴EC＝2EG＝2CG，

∵四边形BCEF是平行四边形，

∴FB＝EC，EF＝BC，FB∥EC，

设EG＝CG＝x，则FB＝EC＝2x，

∵FB∥EC，

∴△FBH∽△CGH，

∴＝＝＝，

∵FH+HC＝CF＝6，

∴FH＝4，HC＝2，

∵tan∠BCG＝＝3，

∴BG＝3CG＝3x，

∵BH＝2GH，BG＝BH+GH，

∴BH＝2x，GH＝x，

∴GH＝CG＝x，

∵BG⊥CE，

∴△GHC是等腰直角三角形，

∵HC＝2，

∴GH＝CG＝x＝HC＝，

②∵EG＝CG＝，

∴FB＝EC＝2x＝2，

在Rt△BCG中，根据勾股定理得：

BC＝＝＝x＝2，

∴平行四边形BCEF的周长＝2（BC+FB）＝2（2+2）＝4+4．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△FBH∽△CGH．22．（12分）已知函数与y2＝ax+5（a为常数，且a≠0）．（1）若a＝1，请求出y1，y2解析式，并写出y的对称轴．

（2）若y1与y2的函数图象没有交点，请求出a的取值范围；（3）若，当0＜x＜2时，比较y1，y2的大小，并说明理由：

【分析】（1）把a＝1代入解析式，并根据对称轴公式求对称轴；

（2）根据函数与方程的关系求解；

（3）设y＝y1﹣y2，根据函数发增减性求解．

【解答】解：（1）当a＝1时，y1＝x2+3x+1，y2＝x+5，

∴y1的对称轴为：直线x＝﹣；

（2）∵y1与y2的函数图象没有交点，

∴ax2+3ax+1＝ax+5没有实数根，

∴方程ax2+2ax﹣4＝0没有实数解，

即：Δ＝4a2+16a＜0，

解得：﹣4＜a＜0；

（3）设y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4，

∵函数y＝ax2+2ax﹣4的图象的对称轴为直线x＝﹣1，

∴函数y＝ax2+2ax﹣4的图象在0＜x＜2时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，当x＝2时，y＝4a+4a﹣4＝8a﹣4，

∵a＜，

∴8a﹣4＜0，即x＝2时，y＜0，

∴y1＜y2，

当x＝0时，y＝﹣4＜0，

∴y1＜y2，

综上所述，当0＜x＜2时，y1＜y2．

【点评】本题考查了函数和方程、不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．

23．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，AC为直径，E为一动点，连结BE交AC于点G，交AD于点F，连结DE．

（1）设∠E为α，请用α表示∠BAC的度数．

（2）如图1，当BE⊥AD时，

①求证：DE＝BG．

②当，BG＝5时，求半径的长．（3）如图2，当BE过圆心O时，设tan∠ABE＝x，求y关于x的函数表达式．

【分析】（1）由AB＝AD，得＝，则∠ACB＝∠ACD，由AC是⊙O的直径，得∠ABC ＝∠ADC＝90°，则∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，所以∠BAC＝∠DAC ＝∠BAD＝α；

（2）①连结BD，由∠AFB＝∠ADC＝90°，得BE∥CD，则∠DBE＝∠BDC，所以

＝，则DE＝BC，而∠BGC＝∠ACD＝∠ACB，则BC＝BG，所以DE＝BG；

②作GL⊥AB于点L，则GL＝GF，＝tan∠ABE＝，设GL＝GF＝3m，BL＝4m，

则BG＝5m，BF＝8m，所以AF＝BF•tan∠ABE＝6m，则＝tan∠BAC＝tan∠DAC＝

＝，而BC＝BG＝5，所以AB＝2BC＝2×5＝10，由勾股定理得AC＝5，即可求得⊙O

的半径的长为；

（3）连结BD交AC于点M，由垂径定理得AC⊥BD，MB＝MD，因为OB＝OE，所以OM

∥ED，ED＝2OM，由△AOF∽△DEF，得＝，可推导出＝，则y＝

＝＝+＝+1，因为∠AMB＝∠BMC＝90°，∠ABE＝∠BAC＝∠DAC＝∠DBC，所以＝＝tan∠ABE＝x，设AM＝a，则BM＝ax，CM＝x•BM＝ax2，所以

AC＝a+ax2，OA＝，OM＝，则y＝+1＝．

【解答】解：（1）∵AB＝AD，

∴＝，

∴∠ACB＝∠ACD，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，

∵∠BAD＝∠E＝α，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝α．

（2）①证明：如图1，连结BD，

∵BE⊥AD于点F，

∴∠AFB＝∠ADC＝90°，

∴BE∥CD，

∴∠DBE＝∠BDC，

∴＝，

∴DE＝BC，

∵∠BGC＝∠ACD＝∠ACB，

∴BC＝BG，

∴DE＝BG．

②如图1，作GL⊥AB于点L，则GL＝GF，∠BLG＝90°，∴＝tan∠ABE＝，

设GL＝GF＝3m，BL＝4m，则BG＝＝5m，∴BF＝5m+3m＝8m，

∴AF＝BF•tan∠ABE＝8m×＝6m，

∴＝tan∠BAC＝tan∠DAC＝＝＝，

∵BC＝BG＝5，

∴AB＝2BC＝2×5＝10，

∴AC＝＝5，

∴OA＝AC＝×5＝，

∴⊙O的半径的长为．

（3）如图2，连结BD交AC于点M，

∵AC是⊙O的直径，＝，

∴AC⊥BD，MB＝MD，

∵OB＝OE，

∴OM∥ED，ED＝2OM，

∵OA∥ED，

∴△AOF∽△DEF，

∴＝，

∴+1＝+1，

∴＝，

∵OA＝OB＝OE，

∴y＝＝＝+＝+＝+1＝+1，∵∠AMB＝∠BMC＝90°，∠ABE＝∠BAC＝∠DAC＝∠DBC，∴＝tan∠BAC＝tan∠DBC＝＝tan∠ABE＝x，

设AM＝a，则BM＝ax，CM＝x•BM＝ax2，

∴AC＝AM+CM＝a+ax2，

∴OA＝，OM＝AM﹣OA＝a﹣＝，

∴y＝+1＝+1＝，

∴y关于x的函数表达式为y＝．

【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三

角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．