四川省成都七中2010—2011学年高一上学期期中考试数学

高2013级半期考试数学试题

考试时间:120分钟;试卷满分:150分

命题人:邱 旭   审题人:肖国红、祁祖海

第Ⅰ卷(选择题,共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,3,5}，N={2,5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是

A.{5}         B.{1,3}       C.{2,4}       D.{2,3,4}

2.函数y=ax+2(a>0,且a≠1)的图象经过的定点坐标是

A.(0,1)       B.(2,1)       C.(-2,0)      D.(-2,1)

3.已知f(x)=，则f[f(1)]的值为

A.-1          B.0           C.1           D.2

4.设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是

A.    B.     C.     D. 

5.函数f(x)=x2+lnx-4的零点所在的区间是

A.(0,1)       B.(1,2)       C.(2,3)       D.(3,4)

6.设a=0.32，b=20.3，c=log20.3，则

A.a>b>c       B.b>c>a       C.b>a>c       D.a>c>b

7.函数f(x)=,x∈[2,4]的最小值是

A.3           B.4           C.5           D.6

8.若00,且a≠1)，则a的取值范围是

A.(0,)      B.(,1)      C.(1,2)       D.(2,+∞)

9.已知f(x)是函数y=log2x的反函数，则y=f(1-x)的图象是

A.            B.            C.            D.

10.若函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于

A.-1          B.1           C.2           D.-2

11.已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=ex-1(其中e为自然对数的底数)，则f(ln)=

A.-1          B.1           C.3           D.-3

12.已知2a=3b=k(k≠1)，且2a+b=ab，则实数k的值为

A.6           B.9           C.12          D.18

座位号       成都七中2010-2011学年度上期

高2013级半期考试数学试题

命题人:邱 旭   审题人:肖国红、祁祖海

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)

13.满足φA{1,2,3}的集合A的个数是_______.

14.函数y= (x∈R)的值域是_______.

15.已知偶函数f(x)满足f(x+2)=xf(x)(x∈R)，则f(1)=______.

16.若y=loga(ax+2)(a>0,且a≠1)在区间[-1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是_______.

三、解答题(本大题共6小题,74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

已知幂函数f(x)=xα的图象经过点A(,).

（1）求实数α的值;

（2）求证：f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=|x2-2x|.

（1）在给出的坐标系中作出y=f(x)的图象;

（2）若集合{x|f(x)=a}恰有三个元素，求实数a的值;

（3）在同一坐标系中作直线y=x，观察图象写出不等式f(x)19.(本小题满分12分)

目前，成都市B档出租车的计价标准是：路程2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元/km).

（现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）

（1）将乘客搭乘一次B档出租车的费用f(x)(元)表示为行程x(0（2）某乘客行程为16 km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8 km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3]，设g(x)=f(2x)-f(x+2).

（1）求g(x)的解析式及定义域;

（2）求函数g(x)的最大值和最小值.

21、(本小题满分12分)

已知集合A={x|log2(x-1)<1}，集合B={x|x2-ax+b<0，a,b∈R}.

（1）若A=B，求a,b的值;

（2）若b=3，且A∪B=A，求a的取值范围.

22、(本小题满分14分)

已知函数f(x)=log2.

    （1）判断并证明f(x)的奇偶性;

    （2）若关于x的方程f(x)=log2(x-k)有实根，求实数k的取值范围;

（3）问：方程f(x)=x+1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度

为的区间(a,b)，使x0∈(a,b)；如果没有，请说明理由.

（注：区间(a,b)的长度为b-a）

成都七中2010-2011学年度上期高2013级半期考试数学试题

参 考 答 案 及 评 分 意 见

命题人:邱 旭    审题人:肖国红、祁祖海

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

13、7；        14、{y|0≤y<1}；        15、0；        16、(1,2)。

三、解答题(本大题共6小题,74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17、（1）解：∵ f(x)=xα的图象经过点A(,)，∴()α=，                  (2')

即2-α=2，解得α=-；                                                  (4')

（2）证明：任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1f(x2)-f(x1)= 。             (9')

∵x2>x1>0，∴x1-x2<0，，于是f(x2)-f(x1)<0。             (11')

即f(x2)

函数y=f(x)的图象如右图。 (6')

(变换作图也可，未列表或没写变换过程，扣2分)

（2）由题意得，方程f(x)=a恰有三个不等实根，

结合直线y=a的图象可知，实数a的值为1。      (9')

（3）作直线y=x，如图所示。            (10')

结合图象可得，不等式f(x)19、解：（1）由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为：

。            (6')

（2）只乘一辆车的车费为：f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元)；               (8')

换乘2辆车的车费为：2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元)。            (10')

∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱。                          (12')

20.解：（1）∵f(x)=2x，∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2。                           (3')

因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1。

于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}。(或写成[0,1]，否则扣1分)                (6')

（2）设g(x)=(2x)2-4×2x=(2x-2)2-4。                                     (8')

∵x∈[0,1],即2x∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；          (10')

当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3。           (12')

21、解：（1）由log2(x-1)<1得0由A=B知，x2-ax+b<0的解集为{x|1由韦达定理可知，，解得a=4，b=3，即为所求。                      (4')

（2）由A∪B=A知，BA。                                           (5')

①当B=φ时，有Δ=a2-12≤0，解得；                         (7')

②当B≠φ时，设函数f(x)=x2-ax+3，其图象的对称轴为x=，则

，解之得。                             (11')

综上①②可知，实数a的取值范围是[,4]。                            (12')

22、解：（1）由得-1因为f(-x)+f(x)=log2+log2=log2=log21=0，

所以f(-x)=-f(x)，即f(x)是奇函数。                                       (4')

（2）方程f(x)=log2(x-k)有实根，也就是方程=x-k即k=x-在(-1,1)内有解，所以实数k属于函数y=x-=x+1-在(-1,1)内的值域。                  (6')

令x+1=t，则t∈(0,2)，因为y=t-在(0,2)内单调递增，所以t-∈(-∞,1)。

故实数k的取值范围是(-∞,1)。                                            (8')

（3）设g(x)=f(x)-x-1=log2-x-1(-1因为，且y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增，所以log2又∵g(-)=log2->1->0。                                    ②     (12')

由①②可知，g(-)·g(-)<0，所以函数g(x)在区间(-,-)内有零点x0。

即方程f(x)=x+1在(-,-)内有实根x0。                                  (13')

又该区间长度为，因此，所求的一个区间可以是(-,-)。(答案不唯一)      (14')

思路提示：用“二分法”逐步探求，先算区间(-1,1)的中点g(0)=-1<0(1')，由于g(x)在(-1,1)内单调递减，于是再算区间(-1,0)的中点g(-)=log23->0(2')，然后算区间(-,0)的中点 g(-)<0(3')，最后算区间(-,-)的中点g(-)>0(4')。