新高中数学立体几何多选题100含答案

一、立体几何多选题

1．如图①，矩形ABCD的边，设，，三角形为等边三角形，沿将三角形折起，构成四棱锥如图②，则下列说法正确的有（ ）

A．若为中点，则在线段上存在点，使得平面

B．当时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面平面

C．若使点在平面内的射影落在线段上，则此时该四棱锥的体积最大值为1

D．若，且当点在平面内的射影点落在线段上时，三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为

【答案】BCD

【分析】

对于A，延长与的延长线交于点，此时，与必有交点；

对于B，取的中点，表示出，验证当时，无解即可；

对于C，利用体积公式，借助基本不等式求最值即可；

对于D，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为，即可作出比值．

【详解】

对于A，如图，延长与的延长线交于点，则面面．

此时，与必有交点，则与面相交，故A错误；

对于B，取的中点，连接，则．

若面面，则有，

当时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面平面

故B正确；

对于C，由题可知，此时面面，由B可知，，

所以

当且仅当，即时等号成立．故C正确；

对于D，由题可知，此时面面，且

因为，都是直角三角形，所以底面外接圆的圆心是中点，所以，

由等体积法，可求得内接圆半径为，故，故D正确．

故选：BCD．

【点睛】

本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．

2．在三棱柱中，是边长为的等边三角形，侧棱长为，则（ ）

A．直线与直线之间距离的最大值为

B．若在底面上的投影恰为的中心，则直线与底面所成角为

C．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线与所成的角为

D．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为

【答案】AD

【分析】

建立空间直角坐标系，用向量法求解.

【详解】

如图示，以A为原点，为y轴正方向，为x轴正方向，过A点垂直于面ABC的向上方向为z轴正方向建系，则

设

所以

对于A:设为直线与直线的公垂线的方向向量，则有：，

即解得：

设直线与直线之间距离为d，则

，即，故A正确；

对于B：若在底面上的投影恰为的中心，则

底面法向量，设直线 与底面所成角为θ，则：

，故B错误；

对于C： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则

则

设异面直线与所成的角为θ，则,故C错误；

对于D：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O为上下底面中心DD1连线的中点,所以外接球的半径，所以.

故D正确

故选：AD

【点睛】

向量法解决立体几何问题的关键：

(1)建立合适的坐标系；

(2)把要用到的向量正确表示；

(3)利用向量法证明或计算.

3．已知正方体的棱长为，点，在平面内，若，，则（ ）

A．点的轨迹是一个圆

B．点的轨迹是一个圆

C．的最小值为

D．与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】ACD

【分析】

对于A、B、C、D四个选项，需要对各个选项一一验证.

选项A：由，得，分析得E的轨迹为圆；

选项B：由，而点F在上，即F的轨迹为线段，；

选项C：由E的轨迹为圆，F的轨迹为线段，可分析得；

选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.

【详解】

对于A:，即，所以，即点E为在面内，以为圆心、半径为1 的圆上；故A正确；

对于B: 正方体中，AC⊥BD，又，且BD∩DF=D，所以，所以点F在上，即F的轨迹为线段，故B错误；

对于C:在平面内，

到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确；

对于D: 

建立如图示的坐标系，则

因为点E为在面内，以为圆心、半径为1 的圆上，可设

所以

设平面的法向量，则有

不妨令x=1，则，

设与平面所成角为α，则：

当且仅当时，有最大值，

故D正确

故选：CD

【点睛】

多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．

4．在正三棱柱中，，，点D为BC中点，则以下结论正确的是（ ）

A．

B．三棱锥的体积为

C．且平面

D．内到直线AC、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分

【答案】ABD

【分析】

A．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B．根据，然后计算出对应三棱锥的高和底面积，由此求解出三棱锥的体积；C．先假设，然后推出矛盾；取中点，根据四点共面判断平面是否成立；D．将问题转化为“内到直线和点的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断.

【详解】

A．，故正确；

B．，因为为中点且，所以，

又因为平面，所以且，所以平面，

又因为，，

所以，故正确；

C．假设成立，又因为平面，所以且，

所以平面，所以，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以不成立；

取中点，连接，如下图所示：

因为为中点，所以，且，所以，所以四点共面，

又因为与相交，所以平面显然不成立，故错误；

D．“内到直线AC、的距离相等的点”即为“内到直线和点的距离相等的点”，

根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确；

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：

（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；

（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.

5．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是（ ）

A．点A'到平面BCED的距离为3

B．直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为

C．A'D⊥BD

D．四棱锥A'-BCED的外接球半径为

【答案】ABD

【分析】

作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.利用线面垂直的判定定理判定CD⊥平面A'MN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到到平面面BCED的高A'H,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.

【详解】

如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.

则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,

∵∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,

又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,

在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,

∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°，

∵正三角形ABC中，AB=8,∴AN=,∴A'M=2,∴A'H=A'Msin60°=3，故A正确；

连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4,

∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，

DN=DA'=4,A'N=A'M=2,

cos∠A'DN=,故B正确；

A'D=DB=4,A'B=,

∴,∴A'D与BD不垂直，故C错误’

易得NB=NC=ND=NG=4，∴N为底面梯形BCED的外接圆的圆心，

设四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,

若O在平面BCED上方，入图①所示：

设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P,

则HP=x,易得,解得,舍去；

故O在平面BCED下方，如图②所示：

设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P,

则HP=x,易得, 解得,

∴,,故D正确.

故选:ABD.

【点睛】

本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.

6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）

A．

B．在底面上的射影是线段的中点

C．与平面所成角大于

D．与所成角的余弦值为

【答案】AC

【分析】

对A，分别计算和，进行判断；对B，设中点为，连接，假设在底面上的射影是线段的中点，应得，计算，即可判断在底面上的射影不是线段的中点；对C，计算，根据勾股定理逆定理判断得，与平面所成角为，再计算；对D，计算以及，再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值.

【详解】

对A，由题意，，所以，，所以，

所以，故A正确；对B，设中点为，连接，，若在底面上的射影是线段的中点，则平面，则应，又因为，故B错误；对D，，

所以，，，故D不正确；对C，，在中，，所以，所以，所以与平面所成角为，又，即，故C正确；

故选：AC

【点睛】

方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.

7．如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）

A．存在某个位置，使得

B．翻折过程中，的长是定值

C．若，则

D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积是

【答案】BD

【分析】

对于A，取中点，连接交与，可得到，又，且三线共面共点，不可能；

对于B，可得由（定值），（定值），（定值），由余弦定理可得是定值．

 对于C，取中点，连接，假设，易得面，即可得，从而，显然不一定成立．

对于D，当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，可得球半径为1，体积是．

【详解】

对于A 选项：如图1，取中点，连接交与，

则，又，所以，

如果，可得，且三线共面共点，

不可能，故A选项不正确；

对于B选项：如图1，由A选项可得，故（定值），（定值），（定值），

故在中，由余弦定理得，

整理得，

故为定值，故B选项正确．

对于C选项：如图，取中点，连接，

由，得，假设，

，所以面，所以，

从而，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C选项不正确．

对于D选项：由题易知当平面与平面垂直时，三棱锥的体积最大，

此时平面，则，由，易求得，，故，

因此，为三棱锥的外接球球心，此外接球半径为，

体积是．故D选项正确．

故答案为：BD．

【点睛】

本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面与平面垂直时，三棱锥的体积最大.

8．如图，在棱长为2的正方体，中，为棱上的中点，为棱上的点，且满足，点，，，，为过三点，，的平面与正方体的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）

A． ．三棱锥的体积

C．直线与平面所成的角为 ．

【答案】ABD

【分析】

面面平行性质定理可得出A正确；等体积法求得B正确；直线与平面所成的角为，求其正切值不等于1即可得出C错误；利用面面平行性质定理和中位线求出长度即可得出D正确.

【详解】

解：对于A.在正方体中平面平面，

又平面平面，平面平面，

有平面与平面平行的性质定理可得，故正确；

对于B.因为，所以，

又为棱上的中点，所以,

所以，故正确；

对于C.由题意及图形可判定直线与平面所成的角为，

结合B选项可得，故错误；

对于D.同A选项证明方法一样可证的，

因为为棱上的中点，为棱上的中点，所以

所以，所以，故正确.

故选：ABD

【点睛】

求体积的常用方法：

（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；

（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；

（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.

9．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（ ）

A．若，则可知

B．若为△的重心，则

C．若，，则

D．若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则 

【答案】ABC

【分析】

作出四面体直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.

【详解】

对于 ，，， ， ，即，故正确；

对于，为△的重心，则，,

即，故正确；

对于，若，，则，

,

,

,

，，故正确； 

对于，

，故错误.

故选：ABC

【点睛】

用已知向量表示某一向量的三个关键点

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

10．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．平面

B．与平面所成角的余弦值为

C．三棱锥的体积为

D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为

【答案】BD

【分析】

取的中点，的中点，连接，则由已知可得平面 ，而底面为矩形，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.

【详解】

解：取的中点，的中点，连接，

因为三角形为等边三角形，所以,

因为平面平面，所以平面 ，

因为，所以两两垂直，

所以，如下图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴，

建立空间直角坐标系，则，

，

因为点是的中点，所以，

平面的一个法向量为，

，显然 与不共线，

所以与平面不垂直，所以A不正确；

，

设平面的法向量为，则

，

令，则，

所以，

设与平面所成角为，

则，

所以，所以B正确；

三棱锥的体积为

，

所以C不正确；

设四棱锥外接球的球心为，则，

所以，

解得，即为矩形对角线的交点，

所以四棱锥外接球的半径为3，

设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，

将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，

故正方体的棱长为，所以，得，

所以正四面体的表面积为，所以D正确.

故选：BD

【点睛】

此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.