高中数学(统计概率)综合练习试题含解析

1．下列各式的展开式中的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（    ）

A．        

B． 

C．    

D．

2．2015年11月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则（     ）

A．    B．  C．   D．

3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两个样本的下列数字特征相同的是（ ）

A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差

4．要完成下列两项调查：①从某社区户高收入家庭、户中等收入家庭、户低收入家庭

中选出户，调查社会购买能力的某项指标；② 从某中学的名艺术特长生中选出名调查学习负担

情况．宜采用的方法依次为（   ）

A．①简单随机抽样调查，②系统抽样    

B．①分层抽样，②简单随机抽样

C．①系统抽样，②分层抽样            

D．①② 都用分层抽样

5．下列判断中不正确的是（   ）

A．为变量间的相关系数，值越大，线性相关程度越高

B．在平面直角坐标系中，可以用散点图发现变量之间的变化规律

C．线性回归方程代表了观测值、之间的关系

D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程

6．已知随机变量服从二项分布，则等于（   ）

A．       B．         C．         D．

7．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为（   ）

A．           B．            C．            D．

8．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为（   ）

A．                        C．            D．

9．学校举办运动会时，高一（1）班有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛的人数是（    ）．

A．3           B．4            C．5          D．6

10．某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（   ）

A．23           B．33         C．43          D．53

11．某公司招聘来名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（   ）

A．种           B．种           C．种           D．种

12．（2015•聊城二模）利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的户数为（  ）

A．46         B．48        C．50         D．52

13．某校1000名学生中，O型血有450人，A型血有200人，B型血有200人，AB型血有150人，为了研究血型与血弱的关系，从中抽取容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型血，A型血，B型血，AB型血的人要分别抽取的人数为（    ）

A．16、10、10、4                B．18、8、8、6  

C．18、10、10、2                D．15、8、8、9

14．已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本标准差为（  ）

A．1     B．          C．       D．2

15．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为            （用分数作答）．

16．某人从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，则该组数据的方差             ．

17．(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．

18．2015-2016学年高一某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的人数为              ．

19．若不等式组表示的区域Ω，不等式表示的区域为Γ，在Ω中任取一点P，则点P落在区域Γ中的概率为   ______  ．

20．在的展开式中含的项的系数是            ．

21．一渔民从池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带有标记的鱼完全混合于鱼群，十天后再从池塘捞出50条，发现其中带有标记的鱼由2条，据此可以估计该池塘约有         条鱼．

22．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，记其质量指标为k，当时，产品为一级品；当时，产品为二等品；当时，产品为三级品．现用两种配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）

A配方的频率分布表

B配方的频率分布表

（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；

（2）若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足如下关系：

（其中），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？

23．吉安市教育局组织中学生篮球比赛，共有实力相当的A，B，C，D四支代表队参加比赛，比赛规则如下：第一轮：抽签分成两组，每组两队进行一场比赛，胜者进入第二轮；第二轮：两队进行决赛，胜者得冠军．

（1）求比赛中A、B两队在第一轮相遇的概率；

（2）求整个比赛中A、B两队没有相遇的概率．

24．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的人中至少有一个同学的成绩在的概率．

25．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；

（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．

26．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司名员工中的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有人，其余每天使用微信在一小时以上．若将员工年龄分成青年（年龄小于岁）和中年（年龄不小于岁）两个阶段，使用微信的人中是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人．

（Ⅰ）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出列联表；

（Ⅲ）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取人，从这人中任选人，求事件 “选出的人均是青年人”的概率．

附：

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，则该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率．

28．（2015秋•沈阳校级月考）已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．

（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

参

1．A

【解析】

试题分析：从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，，共3种方法，选三个，，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是．四个以上的和都大于8，因此共有方法数为5．

A中的系数是，B中的系数大于，C中的系数大于8（的系数就是8），D中的系数大于（有四个括号里取，其余取1时系数为）．因此只有A是正确的，故选A．

考点：二项展开式的系数．

2．A

【解析】

试题分析：设两个腊肉馅的粽子为，三个豆沙馅的粽子为，则事件A含有的基本事件有“”四个事件，而事件有“”三个事件，因此．故选A．

考点：条件概率．

3．D

【解析】

试题分析：由题A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．

则B样本数据为84，86，86，88，88，88，90，90，90，90

众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．

中位数分别为86，88，不相等，C错

A样本方差，标准差

B样本方差标准差D正确.故选D．

考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．

4．B

【解析】

试题分析：社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区各个家庭收入差别明显，①采用分层抽样，而从某中学的5名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②采用随机抽样法．

考点：抽样方法．

5．D

【解析】

试题分析：A项正确，为变量间的相关系数，值越大，线性相关程度越高，相反则线性相关程度越低；B项正确，因为变量都是围绕着某一中心变化，所以可以用散点图发现变量之间的变化规律；C项中，因为变量始终在线性回归方程附近，所以线性回归方程表示的就是观测值、之间的关系；D项中，回归直线方程指在一组具有相关关系的变量的数据间，一条最好地反映与之间的关系直线，所以并不是任何一组观测值都能得到又代表意义的回归直线方程.

考点：变量的相关性以及回归直线方程.

6．D

【解析】

试题分析：由二项分布概念可知得，则=，故正确选项为D.

考点：二项分布.

7．B

【解析】

试题分析：设中间一个长方形的面积为，则其他个小长方形面积和为，则所以，所以中间一组的频数为，故选B．

考点:1．频率分布直方图；2．总体估计．

8．B

【解析】

试题分析：设中间一个长方形的面积为，则其他个小长方形面积和为，则所以，所以中间一组的频数为，故选B．

考点:1．频率分布直方图；2．总体估计．

9．A

【解析】

试题分析：只参加游泳比赛的人数：15-3-3=9（人）；

同时参加田径和球类比赛的人数：8+14-（28-9）=3（人）．

考点：排列、组合及简单计数问题

10．B

【解析】

试题分析：抽样间隔为，由系统抽样的特点，可得所抽编号成等差数列，由等差数列性质知

，故选B．

考点：1、分层抽样；2、等差数列的性质.

11．B

【解析】

试题分析：由题意，有①甲部门2个电脑编程人员，有3种可能，翻译可能2种，剩下1人有3种可能，故共有18种分配方案；②甲部门1个电脑编程人员，有3种可能，翻译可能2种，剩下2人有3种可能，故共有18种分配方案，由分类计数原理得不同分配方案共有18＋18＝36种，故选B．

考点：计数原理．

12．D

【解析】

试题分析：根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可．

解：这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的频率为

1﹣（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）×50=0.52

∴用电量落在区间[150，250]内的户数为

100×0.52=52．

故选：D．

考点：频率分布直方图．

13．B

【解析】

试题分析：分层抽样为按比例抽样，则O型血抽取人数为；A型血抽取人数为；B型血抽取的人数为；AB型血抽取人数为．故本题答案选B．

考点：分层抽样

14．B

【解析】

试题分析：因为，所以＝，故选B．

考点：标准差．

15．

【解析】

试题分析：有放回地抽取2次，共有种抽法，数字均为奇数的抽法有种，其概率为．

考点：古典概型．

16．2

【解析】

试题分析：平均数为8，则．

考点：方差．

17．2

【解析】

试题分析：∵，∴当，即时，．

考点：二项展开式通项的应用．

18．10

【解析】

试题分析：如图：

设两门都得优的人数是x，则依题意得

（20-x）+（15-x）+x+20=45，

整理，得：-x+55=45，

解得 x=10，

即两门都得优的人数是10人

考点：集合

19．

【解析】

试题分析：如图所示，分别作出不等式组表示的区域Ω，不等式表示的区域Γ，由几何概型可知所求概率为．

考点：简单的线性规划 几何概型

20．-55

【解析】

试题分析：的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为．

考点：二项式定理及其应用．

21．750

【解析】

试题分析：设该池塘约有条鱼．则，解得．

考点：统计．

22．（1）；（2）投资A．

【解析】

试题分析：（1）B配方中二级品有25个，抽一个产品，抽中二级品的概率为，没有抽中二级品的概率为，因此抽3个，一个二级品都没抽中的概率是，从而至少有一个二级品的概率为；（2）分别列出各个配方的分布列，计算它们的期望，比较其期望的大小可得．

试题解析：（1）P（抽中二级品），P（没抽中二级品），．

（2）A的分布列为：

B的分布列为：

∵，

∴，

∴较大，投资A．

考点：条件概率，随机变量分布列，数学期望．

23．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）第一轮分组情况一共有（AB，CD），（AC，BD），（AD，BC）三种，由此能求出比赛中A、B两队在第一轮相遇的概率．（2）用列举法表示出所在比赛对阵情况，由此能求出整个比赛中A、B两队没有相遇的概率．

试题解析：（1）第一轮：AB AC AD CD BD BC ，∴；

（2）

考点：古典概型及其概率计算公式．

24．（Ⅰ），；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图易知组的频数，由频率分布直方图可求组的频率，由频率公式可求样本容量，进而求得组的频率，从而求得，（Ⅱ）在第一问基础上，可求组的人数，这样分别用字母表示出，两组的元素，一一列举出从中任取两两人的所有可能组合，得解．

试题解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别为，分数在[90，100）有2人，分别为，共7人，从中任意抽取2个人共有如下21种不同方法 ：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中至少有一个同学的成绩在有11种，

所以至少有一个同学的成绩在的概率为．

考点：茎叶图，频率分布直方图及古典概型中的概率问题．

【方法点晴】本题把茎叶图和频率分布直方图结合起来考查统计问题，很有创意．茎叶图给出了的频数，频率分布直方图给出了样本中的频率，二者一联系，便得到样本容量，其他量的求解就容易多了；求解“至少”“至多”这类问题的概率，可直接求解，也可以间接求解，本题第二问是“从分以上的人中任取两人”只有两种情况，，所以直接求解即可．

25．（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，数学期望．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）给出了样本的频率分布直方图，由各组频率和为和后两组的频率可求得前三组的频率和，再结合前三组的频率比可求得第二小组的频率，再由频率公式可得样本容量；（Ⅱ）由第一问易知在总体中任选人其体重超过公斤的概率，把问题转化为一个二项分布问题，由其概率公式可求得其随机变量取各值的概率得到其分布列和数学期望．

试题解析：（Ⅰ）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为,由条件可得:解得 ，又因为，故

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：一个报考学生体重超过60公斤的概率为，所以X服从二项分布,

随机变量X的分布列为：

考点：频率分布直方图，二项分布及其数学期望．

【易错点晴】在频率分布直方图中各组的频率是各个小矩形的面积表示，不要误认为矩形的高就是频率，同时所有矩形的面积和为，这是求解各组频率的关键，频率的求解公式是，其中是频数，是样本容量；二项分布中的概率公式是，公式中的和位置不能颠倒，否则求得的概率就是错的，最后求解数学期望是可直接用二项分布的期望公式，来简化运算，提高解题速度和准确率．

26．（I）180人；（II）有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”；（III）．

【解析】

试题分析：（I）由已知可得的列联表；（II）将列联表中数据代入公式可得，与临界值比较，即得出结论；（III）利用列举法确定基本事件，即可求出事件A“选出的人均是青年人”的概率．

试题解析：（Ⅰ）由已知可得，该公司员工中使用微信的共：人

经常使用微信的有人，其中青年人：人

所以可列下面列联表：

由于,所以有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．

（Ⅲ）从“经常使用微信”的人中抽取6人中，青年人有人，中年人有2人

设4名青年人编号分别1,2,3,4，2名中年人编号分别为5,6，

则“从这6人中任选2人”的基本事件为：

（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）

（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）共15个   

其中事件A“选出的2人均是青年人”的基本事件为：（1,2）（1,3）（1,4）（2,3）

（2,4）（3,4）共6个．故．

考点：性检验的应用；分层抽样的方法．

【方法点晴】本题主要考查了性检验的应用、古典概型及其概率的计算公式的应用，着重考查了学生的计算能力和审题能力，属于中档性试题，解答本题的关键是根据题意给出的数据，列出的列联表，利用性检验的公式，准确计算的数值，再与临界值比较，即可判断出两个变量事件的相关性，其中准确、认真计算是解答本题的一个难点和易错点．

27．（1）;（2）．

【解析】

试题分析：（1）在两个箱子中各摸出1个球为相互事件概率应用乘法．摸到都是红球或只有一个红球为为互斥事件,概率应用加法．（2）由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为．三次都是一等奖的概率为,根据对立事件概率和为1可得所求概率．

试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ ｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，与相互，与互斥，与互斥，且，，，

∵，，∴，

，

故所求概率为；

（2）顾客抽奖3次重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，

∴该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率为

考点：1相互同时发生事件概率;2互斥事件概率．

28．（1）103680

（2）576

【解析】

试题分析：（1）本题是一个分别计数问题，先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C42•A22种测法，

再排除余下4件的测试位置有A44种，根据分步计数原理得到结果．

（2）恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，表示第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，利用组合数写出结果．

解：（1）由题意知本题是一个分别计数问题，

先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，

再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，

有C42•A22=A42种测法，再排余下4件的测试位置有A44种测法．

∴共有不同排法A•A42•A44=103680种．

（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．

∴共有不同测试方法A41•（C61•C33）A44=576种．

考点：排列、组合的实际应用．