人教版数学九年级上册第22章《二次函数》单元测试试题及答案

一．选择题

1．下列函数是二次函数的是（　　）

A．y＝x    B．y＝    C．y＝x2    D．y＝1

2．二次函数y＝x（1﹣x）﹣2的一次项系数是（　　）

A．1    B．﹣1    C．2    D．﹣2

3．对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（　　）

A．函数图象开口朝下    B．当x＜0时，y随x的增大而减小    

C．该函数图象的对称轴在y轴左侧    D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴

4．抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（　　）

A．（0，﹣9）    B．（﹣3，0）    C．（﹣9，0）    D．（3，0）

5．将抛物线y＝x2通过一次平移可得到抛物线y＝（x﹣3）2．对这一平移过程描述正确的是（　　）

A．沿x轴向右平移3个单位长度    

B．沿x轴向左平移3个单位长度    

C．沿y轴向上平移3个单位长度    

D．沿y轴向下平移3个单位长度

6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，正确的一项是（　　）

A．a＜0    B．c＜0    C．b＞0    D．b2﹣4ac＜0

7．已知点A（﹣3，y1），B（1，y2）在二次函数y＝﹣（x+2）2+m的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　）

A．y1＜y2    B．y1＞y2    C．y1＝y2    D．不能确定

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列判断中：

①A一定不在W上；

②点B，C，D可以同时在W上；

③点C，E不可能同时在W上．

所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③    B．①②    C．①③    D．②③

9．已知抛物线L：y＝ax2﹣2ax+5（a≠0）的顶点为A，抛物线M与抛物线L关于B（2，0）成中心对称，若抛物线M经过点A，则a的值为（　　）

A．﹣2    B．    C．﹣5    D．

10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出以下结论：①b+2a＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b+c＞0．其中正确的结论有（　　）个

A．1    B．2    C．3    D．4

二．填空题

11．若函数是关于x的二次函数，则a的值为　   　．

12．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1　   　y2（选填“＞”“＜”或“＝”）．

14．扎西的爷爷用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，设与墙垂直的一边为xcm，则矩形面积s随之x变化的函数解析式为　   　．

15．如图，正方形OABC的边长为2，OA与x负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为　   　．

三．解答题

16．抛物线顶点坐标为（1，﹣4）且过（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当2≤x≤4时，求y的取值范围．

17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0）、B（4，4）．

（1）求过抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求一点P（不同于点B），使SΔPAO＝SΔABO，请直接写出点P的坐标；

（3）在位于线段OB上方的抛物线上有一动点M，其横坐标为t，求ΔOBM的面积S和t的函数关系式．

18．已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣3．

（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；

（2）若抛物线与x轴的两个交点为A，B，求线段AB的长．

（3）直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围．

19．一家经营打印耗材的门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓的进价为a元/个，售价为x元/个（a≤x≤48）．下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈：

①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；

（2）求该耗材店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的最大利润；

（3）在新冠肺炎流行期间，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照销售量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给火神山医院，支援武汉抗击新冠肺炎．若要使这个月销售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．

20．如图1所示，某公园有一斜坡形的草坪，其倾斜角为30°，该斜坡上有一棵小树AB（垂直于水平面），树高（）m．现给该草坪洒水．已知点A与喷水口点O的距离OA＝m，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水的过程中，水运行的路线是抛物线y＝﹣x2+bx，且恰好过点B，最远落在草坪的点C处

（1）求b的值；

（2）求直线OC的函数表达式；

（3）在喷水路线上是否存在一点P使△POC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标和此时的S△POC；若不存在，请说明理由．

参

一．选择题

1．解：A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；

B、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意；

C、该函数二次函数，故本选项符合题意；

D、该函数常数函数，故本选项不符合题意．

故选：C．

2．解：∵y＝x（1﹣x）﹣2＝﹣x2+x﹣2，

∴二次函数y＝x（1﹣x）﹣2的一次项系数是1．

故选：A．

3．解：二次函数y＝x2+2x+3＝（x+2）2+1，对称轴为直线x＝﹣2．

A、a＝＞0，开口向上，本选项不符合题意；

B、当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大，本选项不符合题意；

C、该函数图象的对称轴在y轴左侧，本选项符合题意；

D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴，正半轴，本选项不符合题意；

故选：C．

4．解：抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（0，﹣9）．

故选：A．

5．解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x﹣3）2的顶点坐标为（3，0），

∵点（0，0）向右平移3个单位可得到（3，0），

∴将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到抛物线y＝（x+3）2．

故选：A．

6．解：由函数图象，可得

函数开口向上，则a＞0，

对称轴在y轴右侧，则b＜0，

图象与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，

抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，

故正确的结论是B，错误的结论是A、C、D，

故选：B．

7．解：二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象的开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，

而点A（﹣3，y1）到直线x＝﹣2的距离小，点B（1，y2）到直线x＝﹣2的距离大，

所以y1＞y2．

故选：B．

8．解：由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），

①∵点A（2，0），

∴点A在对称轴上，

∵m≠0，

∴点A一定不在W上；故①正确；

②∵B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），

∴三点不在一条直线上，且B、D关于直线x＝2对称，

∴点B，C，D可以同时在W上；故②正确；

③∵E（7，0），

∴E关于对称轴的对称点为（﹣3，0），

∵C（﹣2，4），

∴三点不在一条直线上，

∴点C，E可能同时在W上，故③错误；

故正确结论的序号是①②，

故选：B．

9．解：∵抛物线L：y＝ax2﹣2ax+5＝a（x﹣1）2+5﹣a，

∴顶点A（1，5﹣a），

∵抛物线M与抛物线L关于B（2，0）成中心对称，

∴抛物线M的开口大小相同，方向相反，顶点为（3，a﹣5）

∴M的解析式是：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣5，

∵抛物线M经过点A，

∴5﹣a＝﹣4a+a﹣5，解得a＝﹣5，

故选：C．

10．解：①由图象得：0＜﹣＜1，且a＜0，

去分母得：b＜﹣2a，即b+2a＜0，本选项正确；

②∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，本选项正确；

③∵x＝﹣3时，y＜0，

∴9a﹣3b+c＜0，本选项错误；

④∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，

∴b+c＞﹣a，

∵a＜0，

∴﹣a＞0，

∴b+c＞0，本选项正确；

则所有正确的序号为①②④．

故选：C．

二．填空题（共5小题）

11．解：∵函数是关于x的二次函数，

∴|a2+1|＝2且a+1≠0，

解得a＝1，

故答案为：1．

12．解：∵x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝6，

∴抛物线的对称轴为直线x＝，且抛物线开口向下，

∵点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，且|m2﹣2﹣|＜|m2+4﹣|，

∴y1＞y2，

故答案为：＞．

13．解：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3．

∴y的取值范围是：﹣1≤y≤3．

故答案为：﹣1≤y≤3．

14．解：由题意可得，

s＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，

故答案为：s＝﹣2x2+30x

15．解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；

则∠BOA＝45°，∠BOD＝30°；

已知正方形的边长为2，则OB＝2；

Rt△OBD中，OB＝2，∠BOD＝30°，

则BD＝OB＝，OD＝OB＝；

故B（﹣，﹣），

代入抛物线的解析式中，得：（﹣）2a＝﹣，

解得a＝﹣，

故答案为：﹣．

三．解答题（共5小题）

16．解：（1）由抛物线顶点坐标为（1，﹣4）可设其解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，

将（0，﹣3）代入，得：a﹣4＝﹣3，

解得：a＝1，

则抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4．

（2）把x＝2代入得y＝﹣3；把x＝4代入得y＝5，

∵1＜2≤x≤4，

∴当2≤x≤4时，﹣3≤y≤5．

17．解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，0），

∴设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣5），

∵抛物线过点B（4，4），

∴4＝a×4×（4﹣5），

∴a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣5）＝﹣x2+5x，

（2）∵A（5，0），

∴OA＝5，

∵B（4，4），

∴S△ABO＝OA×|yB|＝×5×4＝10，

设P（m，﹣m2+5m），

∴S△PAO＝OA×|yB|＝×5×|﹣m2+5m|，

∵S△PAO＝S△ABO，

∴×5×|﹣m2+5m|＝10，

∴m＝或m＝1或m＝4（舍），

∴P（，﹣4）或（，﹣4）或（1，4）

（3）如图，过点M作MC⊥OA，交OB于C，

∵B（4，4），

∴直线OB的解析式为y＝x，

∵在位于线段OB上方的抛物线上有一动点M，其横坐标为t，

∴M（t，﹣t2+5t）

∴D（t，t）（0＜t＜4），），

∴DM＝﹣t2+5t﹣t＝﹣t2+4t，

∴S＝S△OBM＝S△MOD+S△MBD

＝（﹣t2+4t）×t+（﹣t2+4t）×（4﹣t）

＝（﹣t2+4t）（t+4﹣t）

＝2（﹣t2+4t）＝﹣2t2+8t（0＜t＜4）．

18．解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，

故顶点坐标和对称轴分别为（2，1）、x＝2；

（2）令y＝﹣x2+4x﹣3＝0，解得x＝1或3，

则AB＝3﹣1＝2；

（3）∵a＝﹣1＜0，故抛物线开口向下，

当y＜0时，自变量x的取值范围x＜1或x＞3．

19．解：（1）30×0.8﹣a＝20%a，

解得a＝20．

y＝500﹣10（x﹣30），即y＝﹣10x+800（20≤x≤48）．

（2）根据题意，得W＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000．

∵﹣10＜0，销售单价不能超过48元/个，

即当20≤x≤48时，W随x的增大而增大，

∴当x＝48时，W有最大值，最大值为60．

答：当售价为48元/个时，每月获得的利润最大，最大利润为60元．

（3）根据题意，得G＝（x﹣n）（﹣10x+800）＝﹣10x2+（800+10n）x﹣800n，对称轴．

∵a＝﹣10＜0，

∵当n≤x≤48时，该商品利润G随x的增大而增大，

∴，

解得n≥16．

∵进价是降低的，

∴n的取值范围是16≤n＜20．

20．解：（1）点B的横坐标x＝OAcos30°＝×＝1，

点B的纵坐标y＝OAsin30°+AB＝+（﹣）＝﹣，

∴B（1，）．将B点坐标代入y＝﹣x2+bx，

有﹣＝﹣×12+b，

解得：b＝；

（2）∵直线OC的倾斜角为30°，点A与喷水口点O的距离OA为米，

∴A点的纵坐标为：，横坐标为：1，设直线解析式为：y＝kx，

∴＝k，

∴OC的解析式为：y＝x①；

（3）存在，理由：

由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2+x②，

联立①②得：x＝﹣x2+x，解得x＝0或2，

∴两个函数交点坐标为：（0，0），（2，2），

∴C的坐标为（2，2）．

如图2，过点P作y轴的平行线交CO于点M，交x轴于点N，

设P（x，﹣x2+x），则点M（x，x），

过P作PH⊥OC于H，则|PH|＝PM＝×（﹣x2+x﹣x）＝﹣x2+x，

∴S△POC＝OC×PH＝×4×（﹣x2+x）＝（x﹣）2+≤，

当x＝时，S△POC最大为．

故：存在一点P（，2），此时S△POC＝．