九年级数学湘教版上学期期末复习(1)

一. 教学内容：

 期末复习（一）

【教学目标】

  1. 使学生熟练掌握解一元二次方程的四种方法，并会根据具体方程的特点，选择适当的方法。

  2. 通过复习提高学生运用建立一元二次方程模型解决实际问题的能力。

  3. 通过复习使学生理解和掌握有关的几何概念和命题，进一步培养学生的推理论证能力和逻辑推理能力。

  4. 使学生理解线段的比，成比例的线段的概念，并掌握比例的性质，了解黄金分割。

  5. 掌握相似三角形的判定方法和有关性质，并会运用这些定理解决一些简单的证明和计算问题。

【教学重点】

  1. 解一元二次方程的四种算法。

  2. 理解证明的必要性，了解定义、命题的概念，并会判断真假命题。

  3. 掌握比例的基本性质以及相似三角形的性质与判定。

【教学难点】

  1. 一元二次方程的应用。

  2. 熟练掌握证明的逻辑推理过程。

  3. 线段成比例问题的证明及计算，位似图形的概念及性质。

【主要知识点】

（一）一元二次方程

（二）命题与证明

  1. 本章是在前面对几何结论已经有了一定的直观认识的基础上编排的，要求学生理解定义、命题、公理、定理的含义，为后面的证明奠定基础。

  2. 本章的主要内容包括证明的基础知识，与平行线有关的证明，垂直平分线，与角平分线有关的证明等。

（三）图形的相似

【典型例题】

  例1. 判断方程x2―mx（2x―m＋1）＝x是不是一元二次方程，如果是，指出它的二次项系数，一次项系数及常数项各是什么？

解：先把原方程化为一般形式得：

其中二次项系数为1―2m，一次项系数为m2―m―1，常数项是0

变式练习：

  例2. 用适当的方法解下列方程

解：（1）

（2）

（3）

（4）

  例3. 

（1）有一根为0

（2）有两个互为相反数的实数根

分析：

∴只需x1x2＝0就能保证方程有一个根为0

解：（1）若使方程有一根为0，则x1x2＝0

  例4. 某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商场可以自行定价，若每件售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价部门规定每件商品的加价不超过进价20%，商场计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？

分析：单件利润  数量  总利润

 ―2―10x       400

解：设商品售价为x元

  例5. 已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF

（1）求证：ΔBCE≌ΔDCF

（2）若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数。

证明：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCD＝90°

∴∠DCF＝90°  ∴∠BCD＝∠DCF

（2）∵ΔBCE≌ΔDCF

∴∠EBC＝∠CDF＝30°

又∠BCD＝90°，∴∠BEC＝60°

又∠DCF＝90°，CE＝CF

∴∠CEF＝45°

∴∠BEF＝105°

  例6. 如图，铁路道口栏的短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降时，长臂的端点随之升高，此时ΔABO与ΔDCO相似，试问当短臂端点下降0.4m时，长臂端点升高多少米？

分析：将实际问题转化为数学模型。

解：如图，∵ΔABO~ΔDCO

又BO＝1，CO＝16，AB＝0.4

∴CD＝6.4（m）

∴长臂端点升高6.4米。

  例7. 如图，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E为AC的中点，ED交AB的延长线于F，求证：

分析：直接证两个三角形相似不能解决问题，须找代换比转换。

证明：∵RtΔABC中，∠BAC＝90°

∴∠ABC＋∠C＝90°

又AD⊥BC于D

∴∠ABC＋∠BAD＝90°

∴∠C＝∠BAD

又E为AC的中点，∴AE＝DE＝CE

∴∠C＝∠CDE＝∠FDB

∴∠BAD＝∠FDB

又∠F＝∠F，∴ΔFAD~ΔFDB

又∠B＝∠B，∠BAC＝∠BDA＝90°

∴ΔABC~ΔDBA

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一、填空题

  1. 把方程化成一般形式为______________________

  2. “对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”的逆命题是_____________________，这个逆命题是___________命题（填“真”或“假”）

  3. 若方程有两个相等的实数根，则m＝___________

  4. 已知：，则___________

  5. 已知等腰三角形的周长为8，边长为整数，则腰长为___________

  6. 若，则___________，___________

  7. 某商店第四季度营业额共计36.4万元，已知10月营业额为10万元，则后两个月的平均增长率为___________

  8. 如图在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，BD＝5，BC＝4，则点D到AB的距离为___________

  9. 已知：一元二次方程的一个根为1，且满足，则c＝___________

  10. 如图，已知AB//DC，∠BAD＝∠DBC，AB＝4，BD＝5，则ΔBAD与ΔDBC的面积比为___________

  11. 如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折，得到矩形EADF与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的长与宽的比是___________

  12. 已知，并且对应边的比是2:3，若ΔABC的周长为10cm，则的周长为___________

二、选择题

  1. 下列命题中，假命题是（ ）

A. 平行四边形的对角线互相平分

B. 三个内角对应相等的两个三角形全等

C. 等腰梯形的对角线相等

D. 是一元二次方程

  2. 若x0是一元二次方程（）的根，记，，则Δ与M的关系是（ ）

 ΔM  Δ=M  不能确定

  3. 已知线段，C是AB上一点，且，那么AC的长为（ ）

           D. 4

  4. 如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（ ）

 米  3米  3.2米  米

  5. 已知可以合并为一个二次根式，则（ ）

    4   或3      D. 16

  6. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为（ ）

 °   °     °或67.5°

  7. 下列各图中，不是位似图形的是（ ）

  8. 一斜坡长为70m，它的高为5m，将重物从斜坡下起点推到斜坡上20m处停下，停下地点的高度为（ ）

三、解答题

  1. 已知方程的两根互为相反数，求方程的两根。

  2. 如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转使得点A与CB的延长线上的点E重合。

（1）三角尺旋转了多少度？

（2）连结CD，试判断ΔCBD的形状。

（3）求∠BDC的度数。

  3. 在A市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图），若设花园BC边长为x(m)，花园面积为

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）满足条件的花园面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由。

  4. 如图，EG//AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只写出一种情况）

①AB＝AC ②DE＝DF ③BE＝CF

已知：EG//AF  ＝________  ＝______

求证：

证明：

  5. 如图，D是ΔABC中AB边上一点，AD：AC：BD＝1：2：3

（1）求证：

（2）若∠BDC＝105°，求∠ACB的度数。

  6. 我们知道当的根

设x1，x2是方程的两个根，则_________，_________

当时，（填“＝”或“”）

当时，（填“＝”或“”）反之也成立。

根据上述结论解答下列问题：

已知四边形ABCD中，AB//CD，且AB、CD的长是关于x的方程的两个根

当和时，确定四边形ABCD的形状。

【试题答案】

一、填空题

  1. 

  2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分，真

  3.            5. 3

  6. ，14          8. 3

  9.          

  12. 15

二、选择题

  1. B           4. B

  5. D           8. C

三、解答题

  1. 解：依题意

解得

当k＝5时，方程为无解

当时，方程为

解得

  2. 解：（1）150°

（2）CB＝DB ∴ΔCBD是等腰三角形

（3）∠BDC＝15°

  3. 解：（1）

（2）当y＝200时，即

∴此花园的面积不能达到

  4. 已知：AB＝AC，DE＝DF

求证：BE＝CF

证明：∵EG//AF

∴∠GED＝∠F，∠BGF＝∠BCA

∵AB＝AC

∴∠B＝∠BCA

∴∠B＝∠BGE

∴BE＝EG

在ΔDEG和ΔDFC中

  5. 解：（1）

（2）

  6. 解：

当时，方程为

又AB//CD

∴四边形ABCD是平行四边形

当时，

∴方程有两个不等实根

即

又AB//CD

∴四边形ABCD是梯形