高中数学 直线的倾斜角与斜率教案 新人教A版必修2

主讲人：抚宁二中 王雅玲

课型：新授课

课时：1课时

教学目标：

1、知识与技能

（1）正确理解直线倾斜角和斜率的概念。

（2）理解直线倾斜角的唯一性。

（3）理解直线斜率的存在性。

（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

2、过程与方法

引导学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切值即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法。

3、情感、态度与价值观

（1）通过引入直线倾斜角的概念，揭示学习直线倾斜角与斜率的关系，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。

（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生理解数形结合思想的重要性，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生的严谨的科学态度和求简的数学精神。

教学重点：直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。

教学难点：斜率公式的推导。

教学方式：启发式教学、分小组讨论式教学

教学手段：多媒体应用

引入：

初中我们学过平面几何，前面一、二章学习了立体几何,它们都是直接依据几何图形中的点、线、面的关系研究几何图形的性质。

今天我们将学习用代数的方法来研究几何图形的性质。即借助直角坐标系，通过坐标的运算来研究图形的几何性质，这就是本章将开始学习的--------“解析几何”基本的思想方法。

知识回顾:

我们学过一次函数:y=x+1,它的图像是什么？ 如何在平面直角坐标系内确定它的位置?

问题1:过一点能不能确定一条直线的位置?经过一点可以作出无数条直线！ 确定直线位置的要素除了点之外, 还有直线的方向,也就是直线的倾斜程度.

1.直线的倾斜角

直线L 与x 轴相交时,取x 轴为基准，x 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角α.

注意： (1)直线向上方向；

(2)x 轴的正方向。

y 1 x o -1

. y x o x y o l α

练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )

直线倾斜角的范围

由此我们得到直线倾斜角α的范围为：[)00180

,0∈α

规定：当直线和x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0°

想一想:你认为下列说法对吗？

1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。对

2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。错

问题2：生活中也有一些反映倾斜程度的量，你知道有哪些量可以用来表示某一斜坡的倾斜程度吗？

类似的，能否引进一个来刻画直线的倾斜程度的量？

类比坡度，引进一个刻画直线倾斜程度的量——直线的斜率 （直线倾斜角的正切值）

2、直线的斜率

定义：我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用k 表示，即：

特别的：倾斜角是90 °的直线没有斜率，我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度。

我来考考你：

如何描述这二者的关系呢？

当α∈[0°,90°)时,斜率越大,倾斜角越大;当α∈(90°,180°)时,斜率越大,倾斜角越大.

a y x o A y x o a B a y x o C y

x a o D p o y x l αp o y x l αy p o x l αp o y x

l =升高量坡度（比）前进量（即为坡角的正切值）

)()

00tan ,0,9090,180k αα⎡=∈︒︒⎣

想一想：

我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。

问题3：

如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？

探究新知：由两点确定的直线的斜率

锐角 能不能构造一个直角三角形去求？ 如图，当α为锐角时，

钝角 如图，当α为钝角时，

想一想?

当P 1P 2的位置对调时， K 值又如何呢?

3、直线的斜率公式：

对公式的深入理解:

1、当直线平行于x 轴，或与x 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

答：成立，因为分子为0，分母不为0，K=0

2、当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

答：斜率不存在, 因为分母为0。

应用与实践:

例: 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C （0，-1）,求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

思考: 过A 点的直线L 与线段BC 有交点,求L 的斜率k 的变化范

围

x y o α),(12y x Q α1x 2x 1y 2y α

tan =k 212112,,y y x x Q P P <<∠=且α中

在Q P P Rt 12∆Q P QP Q P P k 1212tan tan =∠==α1212x x y y --=0>x y o ),(111y x P ),(222y x P ),(12y x Q θ2x 1x 1y 2y 2121,,180y y x x <>-=且θα θθαtan )180tan(tan -=-= 中在12QP P Rt ∆Q P Q P 12tan =θ2112x x y y --=12122112tan x x y y x x y y k --=---==∴α0,(111y x P ),(222y x P ααy o x (4) ),(21y x Q ),(111y x P

),(222y x P θα综上所述，我们得到经过两点 ),,(111y x P )(21x x ≠),(222y x P 的直线斜率公式： )(21211212x x y y k x x y y k --=--=或O x y A(3，2) C

（0，-

1）

B(-4，1),

练习：

2、求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角；

（1）C （18，8），D （4，-4） （2）

三、小结： 1、直线的倾斜角定义及其范围

2、直线的斜率定义

3、斜率k 与倾斜角α之间的关系

4、斜率公式

巩固与测试:

1. 判断正误：

①因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。 （ ）

②因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在 （ ） ③直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )

作业:

P习题3.1 A 组：1，2 B 组：5

)

3,1(),0,0(-Q P 锐角）

（,76

=CD K 钝角）

（,3-=PQ K )

,(),,3);

,(),,2);

,(),,1,,3a c a Q c b b P c a D b a C c b B c a A c b a ++（）（（）（（）（直线的倾斜角：

经过下列两点是两两不等的实数，求、已知2．(填空题)已知A (x ，-2)，B (3，0)，且21=AB k ，则x = ______．

3．(填空题)已知三点A (-2，3)，B (3，-4m)，C ( 21

，m )

在同一条直线上，则实数m ＝_________．