大学物理简明教程习题解答第9章 2010.9

9-1 杨氏双缝干涉实验中，两缝中心距离为0.60mm ，紧靠双缝的凸透镜的焦距为2.50m ，屏幕置于焦平面上。

（1）用单色光垂直照射双缝，测得屏上条纹的间距为2.30mm 。求入射光的波长。 （2）当用波长为480nm 和600nm 的两种光垂直照射时，问它们的第三级明条纹相距多远。

解 （1）杨氏双缝干涉的条纹间距λd D

x =Δ， 故入射光的波长

nm 550m 1050.5Δ7=⨯==

-x D

d

λ （2）当光线垂直照射时，明纹中心位置 ,2,1,0=±

=k k d

D x λ

1λ和2λ两种光的第三级明纹相距

mm 1.50m 1050.1)(33123

3=⨯=-='--λλd

D

x x

9-2 在杨氏双缝干涉实验中，若用折射率分别为1.5和1.7的二块透明薄膜覆盖双缝（膜厚相同），则观察到第7级明纹移到了屏幕的中心位置，即原来零级明纹的位置。已知入射光的波长为500nm ，求透明薄膜的厚度。

解 当厚度为e ，折射率为1n 和2n 的薄膜分别覆盖双缝后，两束相干光到达屏幕上任一位置的光程差为

λδ7)()(121122+-=+--+-=r r e n e r e n e r

对于屏幕中心位置有12r r =，

两束相干光到达屏幕中心位置的光程差为 λδ7)(12=-=e n n 故薄膜厚度

nm 5.17m 1075.1751

2=⨯=-=

-n n e λ

9-3 一束波长为600nm 的光波与一束波长未知的光波同时照射到双缝上（缝间距未知）。观察到波长已知的光波在屏上的第四级干涉明纹，恰与波长未知光波的第五级干涉暗纹重合。求未知的波长。

解 屏上明暗纹重合处同时满足双缝干涉的明纹条件11λδk =和暗纹条件2

)12(2

2λδ-=k

式中，41=k ，52=k ，故

2

)

152(42

1λλ-⨯=

题9-2图

解得

nm 5339

81

2==

λλ

9-4 楔形玻璃片夹角θ=1.0×10-4 rad ，在单色光垂直照射下观察反射光的干涉，测得相邻条纹的间距为0.20cm 。已知玻璃折射率为1.50，试求入射光的波长。 解 相邻明纹（或暗纹）对应的薄膜厚度差为 n

e e l k k 2sin Δ1λ

θ=-=⋅+

解得

nm 600Δ2sin Δ2=⋅=⋅=θθλl n l n

9-5 在半导体元件生产中，为测定硅（Si ）片上二氧化硅（SiO 2）薄膜的厚度，将该膜削成劈尖形。已知SiO 2折射率为1.46，Si 的折射率为3.42。用波长λ=546.1nm 的绿光照明，观察到SiO 2劈尖薄膜上出现

7条暗纹，且第7条在斜坡的起点P ，问SiO 2薄膜厚度是多少？ 解 光线在SiO 2劈尖薄膜上、下表面反射时均存在半波损失，因此两反射光线光程差ne 2=δ， 其暗纹条件为

,2,1,02

)

12(2=+==k k ne λ

δ

第7条暗纹对应的6=k ，解得 m 1022.146

.14134)12(6-⨯=⨯=

+=λ

λ

n

k e

9-6 波长为624nm 的光波垂直入射到一个张在竖直环上的肥皂膜（n =1.33）上，求使反射光干涉加强的薄膜的最薄处的厚度。

解 光在空气与肥皂膜界面上反射时有半波损失，在肥皂膜与空气界面上反射时无半波损失，因此两反射光线的光程差 2

2λ

δ+=ne

反射光干涉加强的条件是 ,3,2,12

2==+=k k ne λλ

δ

要使膜厚最薄，k 应取1，则肥皂膜厚度最小值nm 1174)2(21==-=n

n e λλλ

9-7 用干涉计量术测量细丝直径是将待测细丝放在两块光学平的玻璃板一端，两板间形成劈尖状空气薄膜。已知玻璃板长度L =28.88mm 。现用波长λ=5.3nm 的单色光垂直照射，用读数显微镜测得31条明纹间的距离是4.443mm 。求细丝直径d

。

解 已知31条明纹的间距=l Δ 4.443mm 31条明纹对应的薄膜厚度差

λλ

15230Δ30=⋅

=-=+n

e e e k k

根据几何关系有 L

d =θtan ，l e

ΔΔsin =θ

因θ很小，故θθtan sin ≈，于 是有

L

d

l e =ΔΔ

题9-5图

题9-7图

解得细丝直径

mm 10746.5Δ15ΔΔ2-⨯===

l

L

l e L d λ

9-8 利用劈尖空气薄层所形成的等厚干涉条纹，可以

检测精密加工工件表面的质量。将标准平面A 放在待测平面B 上，如图9.8所示，形成劈尖薄膜。用单色光垂直照射，在显微镜下观察到干涉条纹如图所示。试说明工件表面缺陷情况，并证明凹凸纹深度h 和条

纹的偏离距离b （题9.8图）有关系式2

λ

⋅=l b h ，式中l 为相邻明纹（或暗纹）的间距。

解 同一条等厚干涉的条纹对应相同的空气薄膜厚度。按题图，越靠左的条纹对应的薄膜厚度越薄，所以当条纹凸向左侧时，意味着与凸纹对应的位置的膜层厚度比原先（无缺陷时）该位置的膜层厚度厚了，即工件表面出现凹槽。

已知相邻明纹（或暗纹）的间距为l ，对应的薄膜厚度差2

Δλ

=e 。若条纹左偏距离为b ，则

对应的凹槽深度为h 。

存在比例关系 b h

l e =Δ 证得

2

λ

⋅=

l b h

9-9 将一滴油（n 2=1.20）放在平玻璃片（n 1=1.52）上，以波长λ=600nm 的黄光垂直照射，如图所示。求从边缘向中心数，第5个亮环处油层的厚度。

解 （1）入射光线在油膜上、下两个表面反射时均存在半波损失， 两反射光线的光程差 e n 22=δ，

其明纹公式

,2,1,022

==k k e n ，λ

边缘处e =0，是明环，因此从边缘向中心数，第5个明环对应的k =4，

故 )m (100.1262-⨯==n k e λ

9-10 如图所示，一半径1.0m 的凸透镜（n 1=1.50）放在由火石玻璃（n 3=1.75）和冕牌玻璃（n 4=1.50）拼接的玻璃平板上。在透镜和玻璃平面间充以折射率n 2=1.65的二硫化碳液体。当用波长5nm 的钠黄光垂直照射时，（1）试定性画出干涉图样；（2）求出中心点除外，向外数第10个暗环对应的膜厚。

解 （1）干涉条纹是一组同心圆环（如右图），内疏外密，明暗相间且左右相反，中心处左侧为暗斑，右侧为亮斑。

（2）在透镜左半边，入射光线在液膜上表面反射时存在半波损失，在下表面反射时不存在半波损失。

题9-8图

题9-9图

题9-10图（1）

题9-10图（2）

两反射光线的光程差 2

22λ

δ+=e n ，

其暗纹公式 ,2,1,0 2

)12(222=+=+

k k e n λ

λ 在中心点e =0处为暗斑，向外第10个暗环的k =10，

对应的膜厚 m 1078.121062

10-⨯==n e λ

左

在透镜右半边，入射光在液体膜上、下表面反射时均存在半波损失， 两反射光线的光程差 e n 22=δ，

其暗纹公式 ,2,1,0 2

)12(22=+=k k e n λ

在中心点e =0处为亮斑，故第10个暗环的k =9，

对应的膜厚 m 1070.141962

10-⨯==n e λ

右

9-11 如图所示，在折射率为1.50的平晶玻璃上刻有截面为等腰三角形的浅槽，内装肥皂液，折射率为1.33。当用波长为600nm 的黄光垂直照射时，从反射光中观察到液面上共有15条暗纹。

（1）试定性描述条纹的形状；（2）求液体最深处的厚度。 解 （1）干涉条纹是明暗相间等间距的平行直条纹。 （2）入射光线在液膜上、下表面反射时均存在半波损失， 暗纹条件为

,2,1,02

)

12(2=+==k k ne λ

δ

由于共有15条暗条纹，正液体最深处必为暗条纹，对应的k =7，

其厚度 m 1069.14)12(6max -⨯=+=n

k e λ

9-12 在牛顿环实验中，透镜的曲率半径为5.0m ，而透镜的直径为2.0cm 。假设入射光波长λ=5nm ，试问：（1）可以观察到多少个环形干涉亮纹？（2）如果把整个装置浸没在液体中（n =1.33），又能观察到多少个干涉条纹？ 解 （1）牛顿环亮环半径为 ,2,1)2

1(=-=k R k r λ

亮环的最高级次

345.342

1max 2max

==+≤k R r k ，λ 所以可以观察到34个环形干涉亮纹。 （2）如果把整个装置浸没在液体中，波长变为n

λ 亮环的最高级次

457.452

1max 2max

==+≤k R nr k ，λ 此时可以观察到45个环形干涉亮纹。

9-13 一牛顿环实验装置，平凸透镜的曲率半径为120cm ，波长为653nm 的红光垂直入射。请计算第三级明圆环的直径。

题9-11图

解 第三级亮环半径为 m 1040.1)2

1

3(3-⨯=-=λR r

直径为

m 1080.223-⨯==r d

9-14 在照相机镜头表面镀一层折射率为1.38的增透膜，使太阳光的中心波长550nm 的透射光增强。已知镜头玻璃的折射率为1.52，问膜的厚度最薄是多少？

解 入射光在增透膜上、下表面反射时均有半波损失，两反射光线的光程差ne 2=δ。为使透射增强，必须使反射光满足干涉极小的条件 ,2,1,02

)12(2=+=k k ne λ

当0=k 时膜层最薄，解得 nm 6.99m 1096.948min =⨯==

-n

e λ

9-15 在玻璃（n =1.50）表面镀一层折射率n =1.29的透明介质膜，为使波长λ=600nm 的入射光反射最小，试计算膜层的最小厚度。

解 入射光在介质膜上、下表面反射时均有半波损失。 两反射光线的光程差 ne 2=δ， 反射光干涉极小的条件是

,2,1,02

)12(2=+=k k ne λ

0=k 时薄膜最薄，解得

nm 116m 1016.147min =⨯==-n

e λ

9-16 平板玻璃上有一层厚度均匀的肥皂膜。在阳光垂直照射下，在波长700nm 处有一干涉极大，而在600nm 处有一干涉极小，而且在这两极大和极小间没有出现其他的极值情况。已知肥皂液折射率为1.33，玻璃折射率为1.50，求此膜的厚度。

解 入射光在肥皂膜上、下表面反射时均有半波损失，两反射光线的光程差ne 2=δ。由于在已知的两个极大和极小间没有其他的极值情况，因此两者k 值相同， 对λ1干涉极大，有 12λk ne = 对λ2干涉极小，有 2)12(22

λ+=k ne

解得条纹级次 3)600700(2600

)(2212

=-⨯=

-=λλλk

所以肥皂膜的厚度

nm 79033

.12700

321=⨯⨯==n k e λ

9-17 迈克耳孙干涉仪可用来测定单色光的波长。当将一个反射镜平移距离∆e =0.3220mm 时，测得干涉条纹移过1024条，试求该单色光的波长。

解 对反射镜平移距离∆e 前后两光路的光程差进行比较，变化量为λδN e ==Δ2Δ 解得波长

nm 9.628m 102.6Δ27=⨯==

-N

e

λ

9-18 用波长λ=500nm 的平行光垂直入射单缝，若第一级暗纹的衍射角为30︒，求单缝的缝

宽。

解 单缝衍射的暗纹公式为

,3,2,1sin =±=k k a ，λθ

按题意，k =1时有λ=︒30sin a ，

解得单缝缝宽 nm 1000230sin ==︒

=

λλ

a

9-19 波长λ=632.8nm 的单色平行光垂直入射缝宽为0.20mm 的单缝。紧靠缝后放置焦距为60cm 的会聚透镜，观察屏置于焦平面上。试求屏上明纹的宽度。 解 第一级暗纹的衍射角1θ满足 λθ=1s i n a 第一级暗纹在屏上的坐标位置为 11t a n θf x =

单缝衍射明条纹宽度等于两个第一级暗条纹中心的距离。因为θ很小，11tan sin θθ≈， 所以明条纹宽度为

mm 3.82sin 2tan 2Δ1110==≈==a

f

f f x x λ

θθ

9-20 用波长λ=5.3nm 的钠黄光作单缝夫琅禾费衍射实验的光源。使用焦距为100cm 的透镜，测得第一级暗纹离中心的距离为1.0mm 。求单缝的宽度。 解 第一级暗纹离中心的距离1x 与衍射角1θ的关系为11tan θf x = 根据暗纹公式λθ=1sin a ，因为衍射角非常小，因此有11tan sin θϑ≈ 得到缝宽

mm 0.5tan sin 1

11==≈=

x f a λθλ

θλ

9-21 在单缝夫琅禾费衍射实验装置中，单缝宽度为0.50mm ，透镜焦距为50cm 。若用平行白光垂直照射单缝，在观察屏上离中心1.5mm 处出现明条纹，试问此明纹呈现什么颜色？

解 单缝衍射的明纹公式为 ,3,2,12)12(sin =+±=k k a ，λθ。又因为f x

=≈θθtan sin ，

故 f

k ax

)12(2+=

λ

当1=k 时， nm 1000=λ 红外线 看不见 当2=k 时， nm 600=λ 黄色 可见 当3=k 时， nm 6.428=λ 紫色 可见 当4=k 时， nm 3.333=λ

紫外线 看不见

所以明纹呈现紫、黄色。

9-22 为使望远镜能分辨角间距为3.00⨯10–7rad 的两颗星，其物镜的直径至少应多大？（可见光中心波长为550nm ） 解 最小分辨角D

λ

θ22

.1min =，故直径 m 24.222

.1min

==θλD

9-23 用人眼观察远方的卡车车前灯。已知两车前灯的间距为1.50m ，一般环境下人眼瞳孔

直径为3.0mm ，视觉最敏感的波长为550nm ，问人眼刚能分辨两车灯时卡车离人有多远？ 解 已知两车前灯的间距为=x ∆ 1.50m ，瞳孔直径mm 03.=D 。设刚能分辨两车灯时卡车与人相距l 。则有θl x ≈Δ。 根据最小分辨角D

λ

θ22

1min .=，有 θθ=min

故人眼刚能分辨两车灯时车离人距离 m 107.622.1Δ3⨯==

λ

x

D l 9-24 在理想情况下，试估计在火星上两物体的线距离为多大时刚好被地球上的观察者所分辨：（1）用肉眼；（2）用5.08m 孔径的望远镜。已知地球至火星的距离为8.0⨯107km ，人眼瞳孔的直径为3.0mm ，光的波长为500nm 。

解 （1）已知地球至火星的距离km 100.87⨯=l ，人眼瞳孔直径mm 0.3=D 。设火星上两物体的线距离为x Δ。则有θl x ≈Δ。 由最小分辨角D

λ

θ22

.1min =，按题意有 θθ=m i n

故用肉眼观察火星上两物体的最小分辨距离 km 1063.122.1Δ4⨯==D

l x λ

（2）已知望远镜的孔径mm 08.5=D

用望远镜观察火星上两物体的最小分辨距离 km 61.922.1Δ==D

l x λ

9-25 在X 射线衍射实验中，一束波长为0.0850nm 的射线在掠射角21.5︒方向上出现第二级谱线。试求该晶体的晶格常数。 解 X 射线衍射的布喇格公式

,3,2,1sin 2=±=k k d λ

θ

第二级谱线对应k =2，解得晶格常数 nm 232.01.522sin 2n 2=︒

==

λ

θλsi k d

9-26 一束X 射线含有0.095nm 到0.13nm 范围内的各种波长，以掠射角θ=45︒入射到晶体上。已知晶格常数nm 275.0=d 。试问晶体对哪些波长的X 射线产生强反射？

解 由布喇格公式λθk d ±=sin 2 得 ,3,2,1sin 2==k k d θ

λ

当1=k 时， nm 3.0=λ 在范围外 当2=k 时， nm 194.0=λ 在范围外 当3=k 时， nm 130.0=λ 在范围内 当4=k 时， nm 097.0=λ 在范围内 当5=k 时， nm 078.0=λ 在范围外

所以晶体只对nm 130.0=λ和nm 097.0=λ的X 射线出现强反射。

9-27 若用波长600nm 的单色光垂直照射衍射光栅，观测到第五级明纹的衍射角θ=18︒，则该光栅在每毫米上有多少条刻线？

解 根据光栅方程 λ

θk d ±=sin

方程中取5=k ，θ=18︒，解得光栅常数 m 1071.9sin 6-⨯==

θ

k λ

d 该光栅在每毫米上的刻线数 103m

1071.9m

101Δ63

=⨯⨯==

--d L N 条

9-28 一衍射光栅在每毫米上有200条刻线。波长500nm 的单色光垂直入射到光栅上。试

问该光栅给出的明纹的最高级次是多少？ 解 光栅常数 m 1000.5200m

101Δ63--⨯=⨯==N L d

根据光栅方程

,2,1,0sin =±=k k d λ

θ

因衍射角θ必须小于 90，则最高级次 1090sin max =︒

<

λ

d k

10±=k 时的明条纹的衍射角 90±=θ，该级衍射光到不了屏上，故最高级次为9k =。

9-29 一束平行单色光垂直照射平面透射光栅，测得第一级明条纹出现在13.5︒方向。已知该光栅每厘米有5000条刻线，试求：（1）入射光的波长；（2）第二级明纹出现在何方？ 解 （1）光栅常数

m 10000.25000m

101Δ62--⨯=⨯==N L d

根据光栅方程 λθk d ±=sin

当1=k 时︒=5.13θ，得入射光的波长 nm 4675.13sin sin =︒==d d θλ

（2）当k =2时

467.02sin 2==d

λ

θ

第二级明纹到屏中心的角距离 ︒==8.27467.0arcsin 2θ

9-30 为了测定一个给定的光栅的光栅常数，用氦氖激光器的红光（λ=632.8nm ）垂直照射光栅，已知第一级明纹出现在38︒的方向，试问：（1）这个光栅的光栅常数是多少？（2）若用此光栅对某单色光进行同样的实验，测得第一级明纹出现在27︒方向，问这单色光的波长为多少？对该单色光至少可看到第几级明条纹？

解 （1）已知第一级明纹的衍射角 38=θ，根据光栅方程λθk d ±=sin ， 解得光栅常数

m 10028.138sin sin 6-⨯=︒

==

λ

θλk d （2）已知对某波长为λ'的单色光，第一级明纹的衍射角为 27， 根据光栅方程λθk d ±=sin ，可得

m 10667.427sin sin 7-⨯=︒=='d d θλ

在光栅方程中令︒=90θ，其最高级次

2.290sin sin max ='

︒

='<λλθd d k

k 为整数，故谱线的最高级次为2。

9-31 汞灯发出波长为546nm 的绿色平行光垂直照射透射光栅。已知光栅每毫米有500条

刻线，光栅常数和缝宽之比d :a =2:1。求谱线的最高级次，以及在屏上呈现的全部衍射谱线。 解 光栅常数

m 102500

m

101Δ63--⨯=⨯==N L d

在光栅方程中令︒=90θ，其最高级次

7.390sin sin max =︒

=

<

λ

λ

θ

d d k

k 为整数，故谱线的最高级次为3。

由于d :a =2:1，±2，±4，±6……等级次的主极大缺级， 屏上呈现的全部衍射谱线为0、±1、±3，共5条。

9-32 波长600nm 的单色光垂直入射到一光栅上，相邻的两明条纹分别出现在20.0sin =ϕ与30.0sin =ϕ处，第四级缺级。试问：

（1）光栅上相邻两缝的间距有多大？（2）光栅上狭缝可能的最小宽度等于多少？（3）按上述选定的a 、d 值，试列举光屏上实际呈现的全部级数。 解 （1）由光栅方程对相邻明纹分别有

λϕk d =1sin ， λk d =20.0 ①

λϕ)1(sin 2+=k d ，λ)1(30.0+=k d ② ①、②两式相除解得

2=k

代回方程①，得到光栅常数

m 100.620

.02sin 61-⨯===λ

ϕλk d

（2）因为第四级缺级，有

⎩

⎨⎧='=λθλ

θ4sin sin d k a

k '只能取整数，所以1='k 时a 最小，即m 105.146-⨯==

d

a （3）在光栅方程中当︒=90θ时，有，

1090sin max ='

︒

<

λd k 因为10±=k 的衍射光实际上不可见，故最高级次为9。

考虑到±4，±8缺级，故实际在屏上呈现的条纹级数为k =0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9，共15条谱线。

9-33 光强为I 0的一束自然光，垂直入射到两片叠合在一起的偏振片上，两偏振片的偏振化方向间的夹角为60︒，求透射光的强度。

解 自然光通过第一片偏振片后强度为I 0的一半，即012

1

I I =

，且为线偏振光。 根据马吕斯定律 α21cos I I = 通过第二片偏振片的透射光强度 8

60cos 2020I

I I =︒=

9-34 两块偏振化方向互相垂直的偏振片P 1和P 2之间放置另一偏振片P ，其偏振化方向与P 1的偏振化方向成30︒角。若以光强为I 0的自然光垂直入射P 1，求透过偏振片P 2的光强（设偏振片都是理想的）。

解 自然光通过P 1后变为线偏振光，光强为 2

1I I =

， 根据马吕斯定律： α21cos I I = 通过P 的光强 002128

3

43230cos I I I I =⋅=

︒= 通过P 2的光强

0022332

3

4183)3090(cos I I I I =⋅=︒-︒=

9-35 一束自然光入射到折射率为1.72的火石玻璃上，设反射光为线偏振光，则光在火石玻璃中的折射角为多大？

解 由布儒斯特定律 120tan n n

i =

解得入射角 ︒===8.591

72.1tan arctan

120n n i 此时折射角

︒=-︒=2.30900i r

9-36 利用布儒斯特定律可以测定不透明介质的折射率。今测得釉质的布儒斯特角i 0=58︒，试求它的折射率。

解 由布儒斯特定律 120tan n n

i =

空气的折射率11=n ，则该釉质折射率 60.158tan tan 02=︒==i n