天津市南开区2015届高三一模数学(理)试题WORD版含答案

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天津市南开区2015届高三一模数学（理）试题

第 Ⅰ 卷  

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）i是虚数单位，复数=（   ）．

（A）–i                   （B）i　 

（C）––i           （D）–+i

（2）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x–2y的最小值是（   ）．

（A）0             （B）–6       

（C）–8             （D）–12

（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉(A∩B)， 条件q：x∉(A∪B)，则p是q的（   ）．

（A）充分不必要条件                   （B）充要条件 

（C）必要不充分条件                 （D）既不充分也不必要条件

（4）已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双曲线的方程为（   ）．

     （A）4x2–12y2=1             （B）4x2–y2=1

（C）12x2–4y2=1             （D）x2–4y2=1

（5）函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是（   ）．

（A）(0，–2]                    （B）[–2，+∞)        

（C）(–∞，–2]                    （D）[2，+∞)

（6）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三

视图，则此棱锥的体积为（   ）．

（A）                    （B）

（C）                 （D）

（7）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=（   ）．

（A）                   （B）          

（C）                  （D）或

（8）已知函数f(x)=|mx|–|x–n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f(x)＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（   ）．         

（A）3＜m＜6                    （B）1＜m＜3 

（C）0＜m＜1                    （D）–1＜m＜0

第 Ⅱ 卷

（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为          ．

（10）已知a＞0，(x–)6的二项展开式中，常数项等于60，则(x–)6的展开式中各项系数和为          （用数字作答）．

（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=          ．

（12）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（ϕ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cosθ–sinθ=0，则圆C截直线l所得弦长为           ． 

（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD的长为       ．

（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且=λ，=λ ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则•=         ．

 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得 分	评卷人	（15）（本小题满分13分）

设函数f(x)=cos(2x+)+2cos2x，x∈R．

  （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；

  （Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值．

得 分	评卷人	（16）（本小题满分13分）

将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．

（Ⅰ）求编号为1， 2的小球同时放到A盒的概率；

（Ⅱ）设随机变量ξ为放入A盒的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．

分	评卷人	（17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，

PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线

PA与平面EAC所成角的正弦值．

得 分	评卷人	（18）（本小题满分13分）

已知椭圆C：（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．

分	评卷人	（19）（本小题满分14分）

设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1•Sn，n∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=bn•log3an，求数列{cn}的前n项和Tn；

（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．

分	评卷人	（20）（本小题满分14分）

已知函数f(x)=，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0．

其中e =2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）如果当x≠0时，f(2x)＜，求实数k的取值范围．

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）

                    数学试卷（理工类）参                 2015.04

一、选择题：

题 号	（1）	（2）	（3）	（4）	（5）	（6）	（7）	（8）
答 案	A	C	C	D	B	A	B	B

二、填空题：

   （9）60；          （10）1；        （11）2500；

   （12）2；       （13）2；    （14）0

三、解答题：（其他正确解法请比照给分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=cos(2(x–)+)+1=cos(2x–)+1．  …………10分             

因为0≤x≤，                  

所以–≤2x–≤，                            

所以–≤cos(2x–)≤1，                              …………12分

因此≤cos(2x–)+1≤2，即f(x)的取值范围为[，2]． …………13分

（16）解：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P， 

P==．                              …………4分

（Ⅱ）ξ=1，2，                                ………… 5分 

P(ξ=1)==，

P(ξ=2)==，

ξ	1	2
P

所以ξ的分布列为



…………11分

ξ的数学期望E(ξ)=1×+2×=．                 …………13分

（17）解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=．

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．

∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．          …………5分

（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，–2，0)．

设P(0，0，2a)（a＞0），则E(1，–1，a)，=(2，2，0)，＝(0，0，2a)，=(1，–1，a)．

取m=(1，–1，0)，则m·=m·=0，m为面PAC的法向量．

设n=(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·=n·=0，

即，取x=a，y=–a，z=–2，则n=(a，–a，–2)，

依题意，|cos|===，则a=2．   …………10分

于是n=(2，–2，–2)，=(2，2，–4)．

设直线PA与平面EAC所成角为θ，

则sinθ=|cos<，n>|==，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．               …………13分

（18）解：（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=ab，

∴椭圆C的离心率e==．                    …………3分

（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2，∴椭圆方程为． …………5分

联立方程组

化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，

由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞

由韦达定理得：xM+xN= …①，xMxN= …②   …………7分

设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，

MB方程为：y=x–2，……③

NA方程为：y=x+2，……④                        …………9分

由③④解得：y=                     …………11分

===1

即yG=1，

∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．                …………13分

（19）解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为an=3n–1．                              ………… 2分

∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．                          ………… 3分

∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，

∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为bn=2n–1．                             …………5分

（Ⅱ）cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，               ………… 6分

Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1          ……①

2Tn=     0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ……②

①–②得：–Tn=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n

                  =2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n

∴Tn=(n–2)2n+2．                                   ………… 10分

（Ⅲ）===≤

++…+

＜++…+=

=(1–)＜．                                 …………14分

（20）解：（Ⅰ）f'(x)=，                           ………1分

由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0，

知1+(e–1)2 f(1)–e=0，即f(1)==，

f'(1)===–．                 ………3分

解得a=b=1．                                               ………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=，

所以f(2x)＜⇔＜⇔–＜0

⇔[xex–(e2x–1)]＜0．                   ………7分

令函数g(x)=xex–(e2x–1)（x∈R），

则g'(x)=ex+xex–(1–k)e2x=ex(1+x–(1–k)ex)．                     ………8分

（ⅰ）设k≤0，当x≠0时，g'(x)＜0，∴g(x)在R单调递减．而g(0)=0，

故当x∈(–∞，0)时，g(x)＞0，可得g(x)＜0；

当x∈(0，+∞)时，g(x)＜0，可得g(x)＜0，

从而x≠0时，f(2x)＜．

（ⅱ）设k≥1，存在x0＜0，当x∈(x0，+∞)时，g'(x)＞0，g(x)在(x0，+∞)单调递增．