2012年二附中选拔

        年级            姓名             成绩               

一试    考试时间（80分钟），满分120分

一、填空题(本题共8道小题每小题8分,满分分)

1 、求方程的实数解_________                     ____

2、已知定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，且当时，若直  

   线与曲线恰有三个交点，则实数的取值范围为____             ____________．

3、长方体中，，，则异面直线与间的距离为

4、扔6次股子，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则=                         .

5、设非零复数满足，，，

则                            。

6、十个元素组成的集合．的所有非空子集记为

，每一非空子集中所有元素的乘积记为.则                          

7、设A={(x，y)| 0≤x≤2，0≤y≤2}，B={(x，y)| x≤10，y≥2，y≤x－4}是直角坐标平面xOy上的点集. 则所成图形的面积是                           

8、如图,已知⊙C的圆心C在抛物线x2=2py上(p>0)

  运动,且⊙C过定点A(0,p),点M,N为⊙C 与x轴的

  交点.如果.则函数f(x)=的值域是

                                       ______________;

二、解答题

9、设是实数，证明：方程有4个实根的充要条件是     

       .

10、数列定义如下：且

       证明：对一切正整数是完全平方数.

11、设是大于1的整数. 求的最小值. 其中  

       表示正整数的最小公倍数.

        年级            姓名             成绩               

二试

一、设的三边长边上的高为.

       求证： 

二、设求证：

三、设是正整数，是的正约数个数，是的所有正约数的和.求最大的实  

       数使得对所有整数都有

四、求所有的正整数，使得存在个集合满足

  （1）；（2）；（3）

2010年二附中数赛选拔考试

一试

考试时间（80分钟），满分120分

一、填空题(本题共8道小题每小题8分,满分分)

1 、求方程的实数解_________                     ____

2、已知定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，且当时，，若直线与曲线恰有三个交点，则实数的取值范围为________________．

答案：．

由已知得，从而是周期为2的函数，

当时，，其图象为椭圆的上半部分，

当时，，

联立方程，利用解得，

再结合函数的图象及周期性容易得出答案．

3、长方体中，，，则异面直线与间的距离为                      

答案： 

    设与的距离为，则与面的距离也是，

由条件知，

到的距离为， 

， 

4、扔6次股子，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则=                         .

答案：1

   当时，概率为；

   当时，，概率为；

   当时，，概率为；

   当时，，概率为；

   当时，，概率为；

   当时，概率为；

故，

则，从而

5、设非零复数满足，，，

则      。

答案：4000

解析：  

则且，又，

设，则且

∴，

利用棣莫弗定理可知

6、十个元素组成的集合．的所有非空子集记为，每一非空子集中所有元素的乘积记为.则  -1                        

7、设A={(x，y)| 0≤x≤2，0≤y≤2}，B={(x，y)| x≤10，y≥2，y≤x－4}是直角坐标平面xOy上的点集. 则所成图形的面积是            7        

8、如图,已知⊙C的圆心C在抛物线x2=2py上(p>0)

运动,且⊙C过定点A(0,p),点M,N为⊙C 与x轴的

交点.如果.则函数f(x)=的值域是______________;

解:设C(x0,y0),不妨设x0≥0,则⊙C的方程是(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2,取

y=0得:(x-x0)2+y02=x02+(y0-p)2,因x02=2py0,所以(x-x0)2=p2,xM=x0-p,xN=x0+p,

,

因x0≥0,所以,x2≤1,当x0>0时,

,

所以,≤x≤1,因f(x)=在区间上是减函数,所以,

2≤f(x)≤.即函数f(x)的值域为[2,].

二、解答题

9、设是实数，证明：方程有4个实根的充要条件是     

       .

10、数列定义如下：且

       证明：对一切正整数是完全平方数.

11、设是大于1的整数. 求的最小值. 其中  

       表示正整数的最小公倍数.

答案

A题1.

证明：显然不是方程的根.

若方程有正根，则满足； ①

若方程有负根，则满足； ②

易知：若原方程有4个实根，则①有两不同正实根，②有两不同负实根.

故.   ③

且有

，即

结合得可知①有两个不同正实根当且仅当同理

可知②有两个不同负实根当且仅当.

综上，当且仅当时，①有两个不同正实根，②有两个不同负实根，从而原命题得证.

A题2：

证：由题设得：24

两式相减得： 

A题3：

解：不妨设

二试

一、设的三边长边上的高为.

       求证： 

二、设求证：

三、设是正整数，是的正约数个数，是的所有正约数的和.求最大的实  

       数使得对所有整数都有

四、求所有的正整数，使得存在个集合满足

      （1）

      （2）

      （3）

B题1：

证：（1）当

（2）

由托勒密（Ptolemy）定理

B题2：

证明：因为

同理.

于是只需证明：

不妨设则

从而由切比雪夫不等式即得

即

B题3

解：设是互不相同的素数，是正整数,则

下证对所有得素数整数都有

当时上式等号成立. 令记则

当时，是严格递增的，又

从而可知是严格递增的(当时)，于是

令，则

故，综上所述，的最大值为

4、解：不妨设，记,为i在中出现的次数，，则

若，不妨设, , , , , ,如果有，.

由（2）知，所以剩下的4n个元素两两不同，从而有4n+1个不

于是同的元素，与（3）矛盾！所以，不妨设，，且与

的公共元素均不相同，故，这与（1）矛盾！综上知.同理可知，. 而，所以，从而.

另一方面，可以构造如下21个符合满足题意：

综上所述，.