2018-2019学年山东省青岛市李沧区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．一元二次方程x2﹣x=0的根为（　　）

A．x=1 B．x=0 C．x1=0，x2=1 D．x1=1，x2=﹣1

2．下列命题，其中是真命题的为（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形    

B．对角线互相垂直的四边形是菱形    

C．对角线相等的四边形是矩形    

D．一组邻边相等的矩形是正方形

3．已知x=2是一元二次方程x2﹣mx﹣10=0的一个根，则m等于（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3

4．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（　　）

A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm

5．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为74米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）

A．100×80﹣100x﹣80x=74    

B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=74    

C．（100﹣x）（80﹣x）=74    

D．100x+80x=356

7．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC与E，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AEF，若AB=2，∠B=45°，则△AEF与菱形ABCD重叠部分（阴影部分）的面积为（　　）

A．2 B．2﹣ C．4﹣2 D．2﹣2

8．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG=（BC﹣AD），其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）

9．已知3x=5y，则=　   　．

10．已知一个菱形的周长是20，两条对角线的长的比是4：3，则这个菱形的面积是　   　．

11．现有50张大小、质地及背面图案均相同的《三国演义》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后，原样放回，洗匀后再抽，通过多次试验后，发现抽到绘有“诸葛亮”这个人物卡片的频率约为0.3，估计这些卡片中绘有“诸葛亮”这个人物的卡片张数约为　   　张．

12．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为　   　．

13．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角为　   　度．

14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　   　．

15．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3和C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点

B2018的纵坐标是　   　．

三、作图题（本题满分4分用圆规、直尺作图、不写作法、但要保留作图痕迹）

16．（4分）已知：线段a，b，求作一菱形，使其两对角线长分别等于a，b．

四、解答题（本题满分71分，共有8道小题）

17．（16分）（1）x2﹣2x﹣2=0（用配方法解）

（2）3x2+1=4x

（3）2（x﹣3）2=x2﹣9

（4）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有实数根，求m的取值范围．

18．（5分）振华贸易公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是324万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本是多少？

19．（6分）2018年9月，第24届山东省运动会在青岛举行，有20名志愿者参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．

（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；

（2）若该分会场的某项工程只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．

20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长．

21．（8分）利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价毎降低2元，平均每天可多售出4件．

（1）若降价6元，则平均每天销售数量为　   　件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．

（1）求证：CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；

（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．

23．（10分）几何模型：

条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）

模型应用：

（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小时，点P的横坐标是　   　，此时PA+PB=　   　．

（2）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，则PB+PE的最小值是　   　．

（3）如图4，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为　   　．

（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是　   　．

24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）当t为何值，DF=DA？

（2）当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．

（4）请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．

2018-2019学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．一元二次方程x2﹣x=0的根为（　　）

A．x=1 B．x=0 C．x1=0，x2=1 D．x1=1，x2=﹣1

【分析】方程左边含有公因式x，可先提取公因式，然后再分解因式求解．

【解答】解：原方程可化为：x（x﹣1）=0，

x=0或x﹣1=0；

解得x1=0，x2=1；故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

2．下列命题，其中是真命题的为（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形    

B．对角线互相垂直的四边形是菱形    

C．对角线相等的四边形是矩形    

D．一组邻边相等的矩形是正方形

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；

B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；

C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；

D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．

3．已知x=2是一元二次方程x2﹣mx﹣10=0的一个根，则m等于（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3

【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．

【解答】解：将x=2代入x2﹣mx﹣10=0，

∴4﹣2m﹣10=0

∴m=﹣3

故选：C．

【点评】本题考查一元二次方程的解定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．

4．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（　　）

A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm

【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．

【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，

∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，

∴△AOB∽△COD，

∴==，

∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．

故选：B．

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了数形转化思想的应用．

5．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论．

【解答】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种． 

所以可配成紫色的概率是，

故选：B．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

6．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为74米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）

A．100×80﹣100x﹣80x=74    

B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=74    

C．（100﹣x）（80﹣x）=74    

D．100x+80x=356

【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．

【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有

（100﹣x）（80﹣x）=74，

故选：C．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．

7．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC与E，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AEF，若AB=2，∠B=45°，则△AEF与菱形ABCD重叠部分（阴影部分）的面积为（　　）

A．2 B．2﹣ C．4﹣2 D．2﹣2

【分析】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，可求得AE的长，求得△ABF、△AEF、△CGF的面积，计算即可．

【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，

∴AE=，

由折叠的性质可知，△ABF为等腰直角三角形，

∴S△ABF=AB•AF=2，S△ABE=1，

∴CF=BF﹣BC=2﹣2，

∵AB∥CD，

∴∠GCF=∠B=45°，

又由折叠的性质知，∠F=∠B=45°，

∴CG=GF=2﹣．

∴S△CGF=GC•GF=3﹣2，

∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（3﹣2）=2﹣2，

故选：D．

【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．

8．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG=（BC﹣AD），其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．

【解答】解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，

∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，

∵AB=CD，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四边形EFGH是菱形，

∴①EG⊥FH，正确；

②四边形EFGH是菱形，正确；

③HF平分∠EHG，正确；

④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，

∴连接CD，延长EG到CD上一点N，

∴EN=BC，GN=AD，

∴EG=（BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误．

综上所述，①②③共3个正确．

故选：C．

【点评】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．

二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）

9．已知3x=5y，则=　　．

【分析】根据两外项的积等于两内项的积，可得答案．

【解答】解：∵3x=5y，

∴=，

故答案为：．

【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：外项的积等于内项的积．

10．已知一个菱形的周长是20，两条对角线的长的比是4：3，则这个菱形的面积是　24　．

【分析】由菱形ABCD的周长是20，AC：BD=4：3，即可得AD=5，AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OD，则可得OA：OD=4：3，然后设OA=4x，OD=3x，由勾股定理即可求得AD的长，继而求得两条对角线的长，由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得答案．

【解答】解：如图，菱形ABCD的周长是20，AC：BD=4：3，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OD，

∴OA：OD=4：3，

设OA=4x，OD=3x，

在Rt△AOD中，AD==5x=5，

∴x=1，

∴OA=4，OD=3，

∴AC=8，BD=6，

∴∴S菱形ABCD=AC•BD=×8×6=24．

故答案为：24．

【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

11．现有50张大小、质地及背面图案均相同的《三国演义》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后，原样放回，洗匀后再抽，通过多次试验后，发现抽到绘有“诸葛亮”这个人物卡片的频率约为0.3，估计这些卡片中绘有“诸葛亮”这个人物的卡片张数约为　15　张．

【分析】利用频率估计概率得到抽到绘有诸葛亮这个人物卡片的概率为0.3，则根据概率公式可计算出这些卡片中绘有诸葛亮这个人物的卡片张数，于是可估计出这些卡片中绘有诸葛亮这个人物的卡片张数．

【解答】解：因为通过多次试验后，发现抽到绘有诸葛亮这个人物卡片的频率约为0.3，

所以估计抽到绘有诸葛亮这个人物卡片的概率为0.3，

则这些卡片中绘有诸葛亮这个人物的卡片张数=0.3×50=15（张）．

所以估计这些卡片中绘有诸葛亮这个人物的卡片张数约为15张．

故答案为：15．

【点评】本题考查了用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

12．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为　16　．

【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．

【解答】解：解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7，

∵3＜第三边的边长＜9，

∴第三边的边长为7．

∴这个三角形的周长是3+6+7=16．

故答案为：16．

【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

13．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角为　45　度．

【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．

【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，

而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，

所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．

故答案为：45．

【点评】本题考查了剪纸的问题，同时考查了菱形和正方形的判定及性质，以及学生的动手操作能力．

14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　x（x﹣1）=21　．

【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．

【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：

x（x﹣1）=21，

故答案为： x（x﹣1）=21．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．

15．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3和C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点

B2018的纵坐标是　22017　．

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点B1、B2、B3、…的坐标，根据点坐标的变化找出点Bn的坐标，依此即可得出结论．

【解答】解：当x=0时，y=x+1=1，

∴点A1的坐标为（0，1）．

∵A1B1C1O为正方形，

∴点C1的坐标为（1，0），点B1的坐标为（1，1）．

同理，可得：B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8），

∴点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），

∴点B2018的坐标为（22018﹣1，22017）．

故答案为：22017．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）”是解题的关键．

三、作图题（本题满分4分用圆规、直尺作图、不写作法、但要保留作图痕迹）

16．（4分）已知：线段a，b，求作一菱形，使其两对角线长分别等于a，b．

【分析】根据菱形的对角线相互垂直平分，先画两条垂直平分的线段，得到菱形的4个顶点，再顺次连接即可．

【解答】解：如图，

（1）先画线段AC=a，

（2）作AC的中垂线，与AC的交点为O，以交点O为圆心， b为半径画弧交B、D的两点．

（3）顺次连接ABCD，就是所求作的菱形．

【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是利用菱形的对角线相互垂直平分进行尺规作图．

四、解答题（本题满分71分，共有8道小题）

17．（16分）（1）x2﹣2x﹣2=0（用配方法解）

（2）3x2+1=4x

（3）2（x﹣3）2=x2﹣9

（4）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有实数根，求m的取值范围．

【分析】（1）运用配方法，首先移常数项，再方程两边加一次项系数一半的平方，配方即可，再开平方求出方程的解．

（2）移项后利用十字相乘法求解可得；

（3）利用因式分解法求解可得；

（4）根据方程有实数根，得到根的判别式大于或等于0，求出m的范围即可．

【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣2=0，

∴x2﹣2x=2，

∴x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，

则x﹣1=±，

∴x=1±，

即x1=1+，x2=1﹣；

（2）∵3x2+1=4x，

∴3x2﹣4x+1=0，

则（3x﹣1）（x﹣1）=0，

∴3x﹣1=0或x﹣1=0，

解得：x1=，x2=1；

（3）∵2（x﹣3）2=（x+3）（x﹣3），

∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，

则（x﹣3）（x﹣9）=0，

∴x﹣3=0或x﹣9=0，

解得：x1=3，x2=9；

（4）∵关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有实数根，

∴△=9﹣4×2×（﹣m）≥0，

解得：m≥﹣．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法熟练掌握一元二次方程的几种解法是解决问题的关键．

18．（5分）振华贸易公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是324万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本是多少？

【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．

【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，

根据题意得：400（1﹣x）2=324，

解得：x1=0.01=1%，x2=1.90（不合题意，舍去）．

答：每个月生产成本的下降率为1%．

（2）324×（1﹣1%）=320.76（万元）．

答：预测4月份该公司的生产成本为320.76万元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．

19．（6分）2018年9月，第24届山东省运动会在青岛举行，有20名志愿者参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．

（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；

（2）若该分会场的某项工程只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．

【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；

（2）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可．

【解答】解：（1）∵共20名志愿者，女生12人，

∴选到女生的概率是： =；

（2）不公平，

根据题意画图如下：

∵共有12种情况，和为偶数的情况有4种，

∴牌面数字之和为偶数的概率是=，

∴甲参加的概率是，乙参加的概率是，

∴这个游戏不公平．

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长．

【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB=6，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，得出AC=BD=12，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC=90°，由勾股定理求出BC即可．

【解答】解：∵△ABO是等边三角形，

∴OA=OB=AB=6，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∴OA=OC=OB=OD，

∴AC=BD=12，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

由勾股定理得：BC=．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．

21．（8分）利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价毎降低2元，平均每天可多售出4件．

（1）若降价6元，则平均每天销售数量为　32　件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；

（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．

【解答】解：（1）若降价6元，则平均每天销售数量为20+4×3=32件．

故答案为：32；

（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．

根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200，

整理，得x2﹣30x+200=0，

解得：x1=10，x2=20．

∵要求每件盈利不少于25元，

∴x2=20应舍去，

解得：x=10．

答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．

22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．

（1）求证：CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；

（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．

【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；

（2）先证出BD=CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=BD，即可得出四边形BECD是菱形；

（3）当△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．

【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE=AD；

（2）四边形BECD是菱形，理由如下：

∵D为AB中点，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠ACB=90°，D为AB中点，

∴CD=AB=BD，

∴四边形BECD是菱形；

（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形；理由如下：

∵∠ACB=90°，

当△ABC是等腰直角三角形，

∵D为AB的中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∴四边形BECD是正方形；

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

23．（10分）几何模型：

条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）

模型应用：

（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小时，点P的横坐标是　1　，此时PA+PB=　2　．

（2）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，则PB+PE的最小值是　　．

（3）如图4，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为　2　．

（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是　4　．

【分析】（1）取点A关于x轴对称的点A′，连接A′B，交x轴于P，作BH⊥x轴于H，求出OP，得到点P的横坐标，根据勾股定理求出A′B，得到答案；

（2）根据正方形的性质求出AE，根据勾股定理计算即可；

（3）由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．

（4）作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，根据菱形的性质、勾股定理计算．

【解答】解：（1）取点A关于x轴对称的点A′，连接A′B，交x轴于P，作BH⊥x轴于H，

则此时PA+PB的值最小，

∵OA′=OA=1，BH=1，BH∥OA′，

∴OP=PH=1，

∴点P的横坐标是1，

PA+PB=A′B==2，

故答案为：1；2；

（2）∵B与D关于直线AC对称，

∴PB+PE的最小值是DE的长，

∵正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，

∴AE=1，

在Rt△ADE中，DE===，

则PB+PE的最小值是；

故答案为：；

（3）如图4，设BE与AC交于点P'，连接BD．

∵点B与D关于AC对称，

∴P'D=P'B，

∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小．

∵正方形ABCD的面积为12，

∴AB=2，

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=2，

故答案为：2．

（4）如图5，作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，

∵四边形ABCD是菱形，

∵AB=AD=CD=BC=8，

∵∠B=60°

∴∠ADC=∠B=60°，

∴△ADC是等边三角形，

∵AG是中线，

∴∠GAD=∠GAC

∴点H关于AG的对称点F在AD上，此时EF+ED最小=DH．

在RT△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=8，∠CDH=∠ADC=30°，

∴CH=DC=4，DH==4，

∴EF+DE的最小值=DH=4，

故答案为：4．

【点评】本题主要考查四边形的综合问题，考查的是轴对称﹣最短路径问题、正方形的性质、菱形的性质，掌握轴对称﹣最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．

24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）当t为何值，DF=DA？

（2）当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．

（4）请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据DF=AD，列方程可得结论；

（2）分两种情况，①当∠AED=90°时，②当∠ADE=90°时，根据直角三角形30°角的性质列方程可得结论；

（3）如图1，先根据中垂线的性质得：AF=CF，所以∠BAF=30°，由此得BC=3BF，根据BC=30，可得CF的长，从而得CD的长，列关于t的方程可得结论；

（4）如图2，根据S△DEF=DF•BF表示三角形的面积，并根据列方程解出即可．

【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠B=90°，

∴∠C=30°，

在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，

∴DF=2t

∵AC=60，

∴AD=60﹣2t，

∵DF=DA，

∴2t=60﹣2t，

t=15，

∴当t为15秒时，DF=DA；

（2）当△ADE为直角三角形时，有两种情况：

①当∠AED=90°时，则DE∥BC，

∴∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE，

∴60﹣4t=2t，t=10，

②当∠ADE=90°时，∠AED=30°，

∴AE=2AD，

∴2t=2（60﹣4t），t=12，

综上，当t=10秒或12秒时，△ADE为直角三角形；

（3）如图1，连接AF，

∵FG是AC的中垂线，

∴AF=CF，

∴∠C=∠FAC=30°，

∴∠BAF=30°，

∴AF=2BF=2CF，

∴BC=3BF，

Rt△ABC中，AC=60，

∴AB=30，BC=30，

∴CF=20，

Rt△CDF中，∠C=30°，

∴DF=20，CD=40，

∴4t=40，t=10；

（4）如图2，由（3）知：BC=30，

Rt△CDF中，CD=4t，∠C=30°，

∴DF=2t，CF=2t，

由题意，S△DEF=DF•BF=•2t•（30﹣2t）=﹣+30t，

当时，﹣ +30t=×，

解得t=，

∵0＜t≤15，

∴△DEF的面积是△ABC面积的时，t为秒．

【点评】本题考查了几何动点问题，还考查了直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．