北师大新版八年级上册《第1章勾股定理》单元测试卷3含答案解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是(     )

A．5cm2    B．3cm2    C．4cm2    D．6cm2

2．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为(     )

A．2    B．3    C．4    D．5

3．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是(     )

A．等边三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形    D．锐角三角形

4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为(     )

A．3    B．6    C．8    D．5

5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(     )

A．∠A+∠B=∠C    B．∠A：∠B：∠C=1：2：3

C．a2=c2﹣b2    D．a：b：c=3：4：6

6．若直角三角形的三边长为6，8，m，则m2的值为(     )

A．10    B．100    C．28    D．100或28

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是(     )

A．    B．    C．9    D．6

8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是(     )

A．1OOπ﹣24    B．1OOπ﹣48    C．25π﹣24    D．25π﹣48

9．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为，则正方形⑤的面积为(     )

A．2    B．4    C．8    D．16

10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(     )

A．90    B．100    C．110    D．121

二、填空题（每小题4分，共20分）

11．如图字母B所代表的正方形的面积是：__________．

12．等腰△ABC的腰长AB为10cm，底边BC为16cm，则底边上的高为__________．

13．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距__________ km．

14．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是__________．

15．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为__________cm．

三、解答题（共50分）

16．如图所示，∠B=∠OAF=90°，BO=3cm，AB=4cm，AF=12cm，求图中半圆的面积．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，求BC的长．

18．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

19．如图，一艘货轮在B处向正东方向航行，船速为25n mile/h，此时，一艘快艇在B的正南方向120n mile的A处，以65n mile/h的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？

20．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．

（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；

（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积．

21．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；

（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

北师大新版八年级数学上册《第1章 勾股定理》单元测试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是(     )

A．5cm2    B．3cm2    C．4cm2    D．6cm2

【考点】几何体的表面积；勾股定理． 

【分析】根据勾股定理先求出斜边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．

【解答】解：∵=5厘米，

∴带阴影的矩形面积=5×1=5平方厘米．

故选A．

【点评】本题考查了勾股定理和长方形的面积公式．

2．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为(     )

A．2    B．3    C．4    D．5

【考点】算术平方根． 

【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．

【解答】解：由勾股定理，得AC=，

乘方，得（）2=2，

故选：A．

【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．

3．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是(     )

A．等边三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形    D．锐角三角形

【考点】勾股定理的逆定理． 

【分析】对等式进行整理，再判断其形状．

【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，

故选：C．

【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．

4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为(     )

A．3    B．6    C．8    D．5

【考点】勾股定理． 

【分析】根据两边的比值设出未知数列出方程组解之即可．

【解答】解：设两直角边分别为3x，4x．

由勾股定理得（3x）2+（4x）2=100．

解得x=2．则3x=3×2=6，4x=4×2=8．

∴直角三角形的两直角边的长分别为6，8．

较短直角边的长为6．

故选：B．

【点评】本题考查了勾股定理的应用．勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．

5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(     )

A．∠A+∠B=∠C    B．∠A：∠B：∠C=1：2：3

C．a2=c2﹣b2    D．a：b：c=3：4：6

【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 

【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．

【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；

B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；

C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．

故选D．

【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

6．若直角三角形的三边长为6，8，m，则m2的值为(     )

A．10    B．100    C．28    D．100或28

【考点】勾股定理． 

【专题】分类讨论．

【分析】分情况考虑：当8是直角边时，根据勾股定理求得m2=62+82；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得m2=82﹣62．

【解答】解：①当边长为8的边是直角边时，m2=62+82=100；

②当边长为8的边是斜边时，m2=82﹣62=28；

综上所述，则m2的值为100或28．

故选：D．

【点评】本题利用了勾股定理求解，解答本题的关键是注意要分边长为8的边是否为斜边来讨论．

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是(     )

A．    B．    C．9    D．6

【考点】勾股定理． 

【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：设点C到斜边AB的距离是h，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，

∴AB==15，

∴h==．

故选A．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是(     )

A．1OOπ﹣24    B．1OOπ﹣48    C．25π﹣24    D．25π﹣48

【考点】勾股定理． 

【专题】计算题．

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，进而可得出以AC为直径的圆的面积，再根据S阴影=S圆﹣S△ABC即可得出结论．

【解答】解：∵Rt△ABC中∠B=90°，AB=8，BC=6，

∴AC===10，

∴AC为直径的圆的半径为5，

∴S阴影=S圆﹣S△ABC=25π﹣×6×8=25π﹣24．

故选C．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

9．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为，则正方形⑤的面积为(     )

A．2    B．4    C．8    D．16

【考点】勾股定理． 

【专题】规律型．

【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果．

【解答】解：第一个正方形的面积是；

第二个正方形的面积是32；

第三个正方形的面积是16；

…

第n个正方形的面积是，

∴正方形⑤的面积是4．

故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积．

10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(     )

A．90    B．100    C．110    D．121

【考点】勾股定理的证明． 

【专题】常规题型；压轴题．

【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

所以四边形AOLP是正方形，

边长AO=AB+AC=3+4=7，

所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，

因此矩形KLMJ的面积为10×11=110．

故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．

二、填空题（每小题4分，共20分）

11．如图字母B所代表的正方形的面积是：144．

【考点】勾股定理． 

【分析】在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．

【解答】解：如图，根据勾股定理我们可以得出：

a2+b2=c2

a2=25，c2=169

b2=169﹣25=144

因此B的面积是144．

故答案为：144．

【点评】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．

12．等腰△ABC的腰长AB为10cm，底边BC为16cm，则底边上的高为6cm．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 

【专题】计算题．

【分析】根据题意画出图形，利用三线合一得到BD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出AD的长．

【解答】解：如图所示，∵AB=AC=10cm，AD⊥BC，

∴BD=CD=BC=8cm，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD==6cm．

故答案为：6cm

【点评】此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

13．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距17 km．

【考点】勾股定理的应用． 

【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的半小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．

【解答】解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．

在Rt△ABC中，AC=16×0.5km=8km，

BC=30×0.5km=15km．

则AB=km=17km

故答案为 17．

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定△ABC为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB是解题的关键．

14．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是12≤a≤13．

【考点】勾股定理的应用． 

【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．

【解答】解：如图，

当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，

此时a就是圆柱形的高，

即a=12；

当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，

即线段AB的长，

在Rt△ABO中，AB=

=

=13，

∴此时a=13，

所以12≤a≤13．

故答案为：12≤a≤13．

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．

15．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．

【考点】平面展开-最短路径问题． 

【专题】几何图形问题；压轴题．

【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

【解答】解：

∵PA=2×（4+2）=12，QA=5

∴PQ=13．

故答案为：13．

【点评】本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形．

三、解答题（共50分）

16．如图所示，∠B=∠OAF=90°，BO=3cm，AB=4cm，AF=12cm，求图中半圆的面积．

【考点】勾股定理． 

【分析】首先，在直角△ABO中，利用勾股定理求得AO=5cm；然后在直角△AFO中，由勾股定理求得斜边FO的长度；最后根据圆形的面积公式进行解答．

【解答】解：如图，∵在直角△ABO中，∠B=90°，BO=3cm，AB=4cm，

∴AO==5cm．

则在直角△AFO中，由勾股定理得到：FO==13cm，

∴图中半圆的面积=π×（）2=π×=（cm2）．

答：图中半圆的面积是cm2．

【点评】本题考查了勾股定理和圆的面积的计算．注意，勾股定理应用于直角三角形中．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，求BC的长．

【考点】勾股定理；三角形的面积． 

【分析】利用面积法求得斜边AB的长度，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理来求线段BC的长度．

【解答】解：如图，∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，

∴AB•ED=60，即AB×12=60，

解得AB=10．

又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，

∴BC===6．

答：线段BC的长度是6．

【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积．注意，勾股定理应用于直角三角形中．

18．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理． 

【专题】应用题．

【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．

【解答】解：连接AC，则在Rt△ADC中，

AC2=CD2+AD2=122+92=225，

∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，

AC2+BC2=152+362=1521，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．

答：这块地的面积是216平方米．

【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单．

19．如图，一艘货轮在B处向正东方向航行，船速为25n mile/h，此时，一艘快艇在B的正南方向120n mile的A处，以65n mile/h的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？

【考点】勾股定理的应用． 

【分析】先设快艇最快需要x小时，根据勾股定理列出方程，求出方程的解即可．

【解答】解：设快艇最快需要x小时，由题意得，

（25x）2+1202=（65x）2

解得：x=2或x=﹣2（舍去）．

答：快艇最快需要2小时．

【点评】本题考查了一元二次方程及勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，根据勾股定理列出方程．

20．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．

（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；

（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积．

【考点】翻折变换（折叠问题）． 

【分析】（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD∥BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，等腰三角形即可证明；

（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．

【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形．

由折叠可知，∠CBD=∠EBD，

∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠EDB，

∴∠EBD=∠EDB，

∴BE=DE，

即△BDE是等腰三角形；

（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

所以S△BDE=DE×AB=×5×4=10．

【点评】本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大．

21．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；

（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 

【分析】（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题；

（2）连接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S四边形AEDF=S△ABC，再根据△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF，即可解题．

【解答】（1）证明：延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，

∵DE=DG，DF⊥DE，

∴DF垂直平分DE，

∴EF=FG，

∵D是BC中点，

∴BD=CD，

在△BDE和△CDG中，

，

∴△BDE≌△CDG（SAS），

∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，

∵∠ACB+∠DBE=90°，

∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，

∵CG2+CF2=FG2，

∴BE2+CF2=EF2；

（2）解：连接AD，

∵AB=AC，D是BC中点，

∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，

∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，

∴S四边形AEDF=S△ABC，

∴S△AEF=×5×12=30，

∴△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF=．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．