2023年浙江省杭州市中考数学真题(解析版)

数学

考生须知：

1．本试卷满分120分，考试时间100分钟．

2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．

3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．

4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．

5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．

参考公式：

二次函数()20y ax bx c a ++≠图象的顶点坐标公式：24,24b ac b a a −− ．

试题卷

一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）

1. 杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）

A. 48.810×

B. 48.0810×

C. 58.810×

D. 58.0810×

【答案】B

【解析】

【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．

【详解】4808008.0810=×．

故选：B ．

【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1<10a ≤，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．

2. 22(2)2−+=（ ）

A. 0

B. 2

C. 4

D. 8

【答案】D

【解析】 【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解．

【详解】解：22(2)2448−+=+=，

故选：D �

【点睛】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键．

3. 分解因式：241a −=（ ）

A. ()()2121a a −+

B. ()()22a a −+

C. ()()41a a −+

D. ()()411a a −+ 【答案】A

【解析】

【分析】利用平方差公式分解即可．

【详解】()()()2241212121a a a a −=

−=+−． 故选：A ．

【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．

4. 如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ．若60AOB ∠=°，则AB BC

=（ ）

A. 1

2 B. C. D. 【答案】D

【解析】

【分析】根据矩形性质得出1122

OA OC AC OB OD BD AC BD =====，，推出OA OB =则有等边三角形AOB ，即60BAO ∠=°，然后运用余切函数即可解答．

【详解】解：�四边形ABCD 是矩形，

�1122

OA OC AC OB OD BD AC BD =====，， �OA OB =，

�60AOB ∠=°，

�AOB 是等边三角形，

�60BAO ∠=°，

∴906030ACB ∠=°−°=°，

∵tan tan 30AB ACB BC ∠=

=°=，故D 正确． 故选：D ．

【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出60BAO ∠=°是解答本题的关键．

5. 在直角坐标系中，把点(),2A m 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B ．若点B 的横坐标和纵坐标相等，则m =（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5 【答案】C

【解析】

【分析】先根据平移方式确定点B 的坐标，再根据点B 的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．

【详解】解： 点(),2A m 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B ， ∴()1,23B m ++，即()1,5B m +，

点B 的横坐标和纵坐标相等，

∴15m +=，

∴4m =，

故选C ．

【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．

6. 如图，在O 中，半径,OA OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若19ABC ∠=°，则BAC ∠=（ ）

A. 23°

B. 24°

C. 25°

D. 26°

【答案】D

【解析】 【分析】根据,OA OB 互相垂直可得 ADB 所对的圆心角为270°，根据圆周角定理可得12701352

ACB ∠=×°=°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，

半径,OA OB 互相垂直，

∴90AOB ∠=°，

∴ ADB 所对的圆心角为270°，

∴ ADB 所对的圆周角12701352

ACB ∠=

×°=°， 又 19ABC ∠=°， ∴18026BAC ACB ABC ∠=°−∠−∠=°，

故选D ．

【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

7. 已知数轴上的点,A B 分别表示数,a b ，其中10a −<<，01b <<．若a b c ×=，数c 在数轴上用点C 表示，则点,,A B C 在数轴上的位置可能是（ ）

A. B.

C.

D.

【答案】B

【解析】 分析】先由10a −<<，01b <<，a b c ×=，根据不等式性质得出0a c <<，再分别判定即可．

【详解】解：∵10a −<<，01b <<，

∴0a ab <<

∵a b c ×=

∴0a c <<

A 、01b c <<<，故此选项不符合题意；

B 、0a c <<，故此选项符合题意；

C 、1c >，故此选项不符合题意；

D 、1c <−，故此选项不符合题意；

故选：B ．

【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由10a −<<，01b <<，a b c ×=得出0a c <<是解题的关键．

8. 设二次函数()()(0,,y a x m x m k a m k =−−−>是实数)，则（ ）

A. 当2k =时，函数y 的最小值为a −

B. 当2k =时，函数y 的最小值为2a −

C. 当4k =时，函数y 的最小值为a −

D. 当4k =时，函数y 的最小值为2a −

【答案】A

【解析】 【分析】令0y =，则()()0a x m x m k =−−−，解得：1x m =，2

x m k =+，从而求得抛物线对称轴为直线222

m m k m k x +++=，再分别求出当2k =或4k =时函数y 的最小值即可求解． 【详解】解：令0y =，则()()0a x m x m k =−−−，

解得：1x m =，2

x m k =+， ∴抛物线对称轴为直线222

m m k m k x +++= 当2k =时， 抛物线对称轴为直线1x m =+，

【

把1x m =+代入()()2y a x m x m =−−−，得y a =−，

∵0a >

∴当1x m =+，2k =时，y 有最小值，最小值为a −．

故A 正确，B 错误；

当4k =时， 抛物线对称轴为直线2x m =+，

把2x m =+代入()()4y a x m x m =−−−，得4y a =−，

∵0a >

∴当2x m =+，4k =时，y 有最小值，最小值为4a −，

故C 、D 错误，

故选：A ．

【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键． 9. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向

上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有．．

出现数字6的是（ ） A. 中位数是3，众数是2

B. 平均数是3，中位数是2

C. 平均数是3，方差是2

D. 平均数是3，众数是2

【答案】C

【解析】

【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．

【详解】解：当中位数是3，众数是2�，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A 选项不合题意；

当平均数是3，中位数是2�，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B 选项不合题意；

当平均数是3，方差是2�，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差()()()()()2222211323333363 2.825s =×−+−+−+−+−=>

， 因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C 选项符合题意；

当平均数是3，众数是2��5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2�4，6，故D 选项不合题意；

故选：C ．

【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．

10. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（,,,DAE ABF BCG CDH △△△△）和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正

方形ABCD 中，ABF BAF ∠>∠，连接BE ．设,BAF BEF αβ∠=

∠=，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为21:,tan tan n αβ=，则n =（ ）

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

【答案】C

【解析】 【分析】设BF AE a ==，EF b =，首先根据2tan tan αβ=得到22222a ab b +=，然后表示出正方形ABCD 的面积为223AB b =，正方形EFGH 的面积为22EF b =，最后利用正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1:n 求解即可．

【详解】设BF AE a ==，EF b =，

�2tan tan αβ=，90AFB ∠=°， �2BF BF AF EF = ，即2

a a a

b b = + ， �22a a a b b

=+，整理得22a ab b +=， �22222a ab b +=，

�90AFB ∠=°，

�()2

2222222223AB AF BF a b a a ab b b =+=++=++=， �正方形ABCD 的面积为223AB b =，

�正方形EFGH 面积为22EF b =，

�正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1:n ， �2213b b n

=， �解得3n =．

的

故选：C ．

【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）

11. 计算

:

=

______

【答案】

【解析】

12. 如图，点,D E 分别在ABC 的边,AB AC 上，且DE BC ∥，点F 在线段BC 的延长线上．若28ADE ∠=°，118ACF °∠=，则A ∠=_________．

【答案】90°##90度

【解析】

【分析】首先根据平行线的性质得到28B ADE ∠=∠=°，然后根据三角形外角的性质求解即可．

【详解】�DE BC ∥，28ADE ∠=°，

�28B ADE ∠=∠=°，

�118ACF °∠=，

�11820A ACF B ∠=∠−∠=°−°=°．

故答案为：90°．

【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 13. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n 个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为

25，则n =_________． 【答案】9

【解析】

【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．

【详解】解： 从中任意摸出一个球是红球的概率为25

，

【

∴6265

n =+， 去分母，得()65

26n ×=+， 解得9n =，

经检验9n =是所列分式方程的根，

∴9n =，

故答案为：9．

【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．

14. 如图，六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，设正六边形ABCDEF 的面积为1S ，ACE △的面积为2S ，则12

S S =_________．

【答案】2

【解析】

【分析】连接,,OA OC OE ，首先证明出ACE △是O 的内接正三角形，然后证明出

()ASA BAC OAC ≌ ，得到BAC AFE

CDE S S S == ，OAC OAE OCE S S S == ，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接,,OA OC OE ，

�六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，

�AC AE CE ==，

�ACE △是O 的内接正三角形，

�120B ∠=°，AB BC =，

�()1180302

BAC BCA B ∠=∠=

°−∠=°， �60CAE ∠=°， �30OAC OAE ∠=∠=°，

�30BAC OAC ∠=∠=°，

同理可得，30BCA OCA ∠=∠=°，

又�AC AC =，

�()ASA BAC OAC ≌ ，

�BAC OAC S S = ，

由圆和正六边形的性质可得，BAC AFE

CDE S S S == ， 由圆和正三角形的性质可得，OAC OAE

OCE S S S == ， ∵()2122BAC AFE CDE OAC OAE OCE OAC OAE OCE S S S S S S S S S S S =+++++=++= ， �12

2S S =． 故答案为：2．

【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

15. 在“ “探索一次函数y kx b =

+的系数,k b 与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：()()()0,2,2,3,3,1A B C ．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数

表达式111222333,,y k x b y k x b y k x b =

+=+=+．分别计算11k b +，2233,k b k b ++的值，其中最大的值等于_________．

【答案】5

【解析】

【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出11k b +，2233,k b k b ++进行比较即可解答．

【详解】解：设111y k x b =

+过()()0,2,2,3A B ，则有： 111232b k b = =+ ，解得：11122

k b = = ，则1115222k b +=+=； 同理：22275k b +=−+=，3315233

k b +=−+= 则分别计算11k b +，2233,k b k b ++的最大值为值22275k b +=

−+=． 故答案为5．

【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．

16. 如图，在ABC 中，,90AB

AC A =∠<°，点,,D E F 分别在边AB ，,BC CA 上，连接,,DE EF FD ，已知点B 和点F 关于直线DE 对称．设

BC k AB =，若AD DF =，则CF FA

=_________（结果用含k 的代数式表示）． 【答案】222k k

− 【解析】

【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE AC ∥，再证BDE BAC ∽△△，推出12

EC

k AB =⋅，通过证明ABC ECF ∽，推出212CF k AB =⋅，即可求出CF FA 的值． 【详解】解： 点B 和点F 关于直线DE 对称，

∴DB DF =，

AD DF =，

∴AD DB =．

AD DF =，

∴A DFA ∠=∠， 点B 和点F 关于直线DE 对称， ∴BDE FDE ∠=∠， 又 BDE FDE BDF A DFA ∠+∠=∠=∠+∠， ∴FDE DFA ∠=∠， ∴DE AC ∥， ∴C DEB ∠=∠，DEF EFC ∠=∠， 点B 和点F 关于直线DE 对称， ∴DEB DEF ∠=∠， ∴C EFC ∠=∠， AB AC =，

∴C B ∠=∠，

在ABC 和ECF △中， B C

ACB EFC ∠=∠ ∠=∠ ， ∴ABC ECF ∽． 在ABC 中，DE AC ∥， ∴BDE A ∠=∠，BED C ∠=∠， ∴BDE BAC ∽△△， ∴1

2BE BD

BC BA ==， ∴1

2EC BC =， BC k AB =，

∴BC k AB =⋅，1

2EC k AB =⋅，

ABC ECF ∽． ∴AB

BC EC CF =， ∴12AB k AB

CF k AB ⋅=

⋅， 解得21

2CF k AB =⋅，

∴222

212122

k AB CF CF CF k FA AC CF AB CF k AB k AB ⋅====−−−−⋅． 故答案为：2

22k k

−． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明ABC ECF ∽．

三、解答题：（本大题有7个小题，共66分）

17. 设一元二次方程20x bx c ++=．在下面的四组条件中选择其中一组．．,b c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．

①

2,1b c ==；②3,1b c ==；③3,1b c ==−；④2,2b c ==． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．

【答案】

选②，1x =

2x =

1x =

，2x =【解析】

【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．

【详解】解：20x bx c ++=中1a =， ①2,1b c ==时，22424110b ac ∆=−=−××=，方程有两个相等的实数根；

②

3,1b c ==时，224341150b ac ∆=−=−××=>，方程有两个不相等的实数根； ③3,1b c ==−时，()22

43411130b ac ∆=−=−××−=>，方程有两个不相等的实数根； ④

2,2b c ==时，224241240b ac ∆=−=−××=−<，方程没有实数根； 因此可选择②或③．

选择②

3,1b c ==时， 2310x x ++=，

224341150b ac ∆=−=−××=>，

x ，

1x =

2x =

选择③3,1b c ==−时，

2310x x +−=，

()2243411130b ac ∆=−=−××−=>，

x ，

1x =2x = 【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．

18. 某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A ，B ，C ，D 四类（A 表示仅学生参与；B 表示家长和学生一起参与；C 表示仅家长参与；D 表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．

（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？

（2）补全条形统计图．

（3）已知该校共有1000名学生，估计B 类的学生人数．

【答案】（1）200名

（2）见解析 （3）600名

【解析】

【分析】（1）由A 类别人数及其所占百分比可得总人数；

（2）先求出B 类学生人数为：200601010120−−−=(名)，再补画长形图即可；

（3）用该校学生总数1000乘以B 类的学生所占百分比即可求解．

【小问1详解】

解：6030%200÷=(名)，

答：这次抽样调查中，共调查了200名学生；

【小问2详解】

解：B 类学生人数为：200601010120−−−=(名)，

补全条形统计图如图所示：

【小问3详解】 解：1201000100%600200

××=(名)， 答：估计B 类的学生人数600名．

【点睛】本题考查样本容量，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，从条形统计图与扇形统计图获取到有用信息是解题的关键．

19. 如图，平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点,E F 在对角线BD 上，且BE EF FD ==，连接,AE EC ，,CF FA ．

（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．

（2）若ABE 的面积等于2，求CFO △的面积．

【答案】（1）见解析 （2）1

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA OC =，OB OD =，结合BE FD =可得OE OF =，即可证明四边形AECF 是平行四边形；

（2）根据等底等高的三角形面积相等可得2AEF ABE

S S == ，再根据平行四边形的性质可得11121222

CFO CEF AEF S S S ===×= ． 【小问1详解】

证明： 四边形ABCD 是平行四边形，

∴OA OC =，OB OD =，

BE FD =，

∴OB BE OD FD −=−，

∴OE OF =，

又 OA OC =，

∴四边形AECF 是平行四边形．

【小问2详解】

解： 2ABE S = ，BE EF =，

∴2AEF ABE

S S == ， 四边形AECF 是平行四边形， ∴11121222

CFO CEF AEF S S S ===×= ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 20. 在直角坐标系中，已知120k k ≠，设函数11k y x

=与函数()2225y k x =−+的图象交于点A 和点B ．已知点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是4−．

（1）求12,k k 的值．

（2）过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，在第二象限交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，在第四象限交于点D ．求证：直线CD 经过原点．

【答案】（1）110k =，22k =

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）首先将点A 的横坐标代入()2225y k x =−+求出点A 的坐标，然后代入11k y x

=求出110k =，然后将点B 的纵坐标代入110y x =求出5,42B −−

，然后代入()2225y k x =−+即可求出22k =； （2）首先根据题意画出图形，然后求出点C 和点D 的坐标，然后利用待定系数法求出CD 所在直线的表达式，进而求解即可．

【小问1详解】

�点A 的横坐标是2，

�将2x =代入()22255y k x =−+=

�()2,5A ，

�将()2,5A 代入11k

y x =得，110k =， �110y x =，

�点B 的纵坐标是4−，

�将4y =−代入110y x =得，5

2x =−， �5

,42B

−− ，

�将5

,42B −− 代入()2225y k x =−+得，25

4252k −=−−+ ，

�解得22k =，

�()222521y x x −++；

【小问2详解】

如图所示，

由题意可得，5,52C −

，()2,4D −， �设CD 所在直线的表达式为y kx b =

+， �55224k b k b −+= +=

− ，解得20k b =− = ， �2y x =−，

�当0x =时，0y =，

�直线CD 经过原点．

【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题关键是熟练掌握以上知识点．

21. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 在边AD 上（不与点A ，D 重合），射线BE 与射线CD 交于点F ．

（1）若13

ED =，求DF 的长． （2）求证：1AE CF ⋅=．

（3）以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段BE 于点G ．若EG ED =，求ED 的长．

【答案】（1）12

（2）见解析 （3）14

的

【解析】

【分析】（1）证明AEB DEF △∽△，利用相似三角形的对应边成比例求解；

（2）证明AEB CBF ∽，利用相似三角形的对应边成比例证明；

（3）设EG ED x ==，则1AE x =−，1BE x =+，在Rt ABE △中，利用勾股定理求解．

【小问1详解】

解：由题知，1AB BC CD DA ====， 若1

3ED =，则2

3AE AD ED =−=．

四边形ABCD 是正方形，

∴90A FDE ∠=∠=°，

又 AEB FED ∠=∠，

∴AEB DEF △∽△， ∴AB

AE

DF ED =， 即21313

DF =， ∴1

2DF =．

【小问2详解】

证明： 四边形ABCD 是正方形，

∴90A C ∠=∠=°，AB CD ∥，

∴ABE F ∠=∠，

∴ABE CFB ∽， ∴AB

AE

CF BC =，

∴111AE CF AB BC ⋅=⋅=×=．

【小问3详解】

解：设EG ED x ==，

则1AE AD AE x =−=−，1BE BG GE BC GE x =+=+=+．

在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，

即2221(1)(1)x x +−=+， 解得14

x =． ∴14

ED =． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．

22. 设二次函数21y ax bx ++，（0a ≠，b 是实数）．已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示： x … 1− 0 1 2 3 …

y … m 1

n 1 p …

（1）若4m =，求二次函数的表达式；

（2）写出一个符合条件的x 的取值范围，使得y 随x 的增大而减小．

（3）若在m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，求a 的取值范围．

【答案】（1）221y x x =−+

（2）当0a >时，则1x <时，y 随x 的增大而减小；当a<0时，则1x >时，y 随x 的增大而减小 （3）13

a ≤−

【解析】

【分析】（1）用待定系数法求解即可．

（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线1x =；再根据抛物线的增减性求解即可．

（3）先把()2,1代入21y ax bx ++，得2b a =−，从而得221y ax ax =−+，再求出31m a =+，1n a =−+，31p a =+，从而得m p =，然后m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，得10310a a −+>

+≤

，求解即可． 【小问1详解】

解：把()1,4−，()2,1代入21y ax bx ++，得 144211a b a b −+= ++=

，解得：12a b = =− ，

∴221y x x =−+．

【小问2详解】

解：∵()0,1，()2,1在21y ax bx ++图象上， ∴抛物线的对称轴为直线0212

x +=， ∴当0a >时，则1x <时，y 随x 的增大而减小，

当a<0时，则1x >时，y 随x 的增大而减小．

【小问3详解】

解：把()2,1代入21y ax bx ++，得

1421a b =++，

∴2b a =−

∴22121y ax bx ax ax =++=−+

把()1,m −代入221y ax ax =−+得，2131m a a a =++=+，

把()1,n 代入221y ax ax =−+得，211n a a a =−+=−+，

把()3,p 代入221y ax ax =−+得，96131p a a a =−+=+，

∴m p =，

∵m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，

∴10310

a a −+> +≤ ，解得：13a ≤−． 【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．

23. 如图，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接,,AC AD BC ，作CF AD ⊥于点F ，交线段OB 于点G （不与点,O B 重合），连接OF ．

（1）若1BE =，求GE 的长．

（2）求证：2BC BG BO =⋅．

（3）若FO FG =，猜想CAD ∠的度数，并证明你的结论．

【答案】（1）1 （2）见解析

（3）45CAD ∠=°，证明见解析

【解析】

【分析】（1）由垂径定理可得90AED ∠=°，结合CF AD ⊥可得DAE FCD ∠=∠，根据圆周角定理可得

DAE BCD ∠=∠，进而可得BCD FCD ∠=∠，通过证明BCE GCE ≌可得1GE BE ==；

（2）证明ACB △CEB ∽，根据对应边成比例可得2BC BA BE =⋅，再根据2AB BO =，12

BE BG =，可证2BC BG BO =⋅；

（3）设DAE CAE α∠=∠=，FOG FGO β∠=

∠=，可证90αβ=°−，903OCF α∠=°−，通过SAS 证明COF AOF ≌，进而可得OCF OAF ∠=∠，即903αα°−=，则245CAD α∠==°．

【小问1详解】

解： 直径AB 垂直弦CD ，

∴90AED ∠=°，

∴90DAE D ∠+∠=°，

CF AD ⊥，

∴90FCD D ∠+∠=°，

∴DAE FCD ∠=∠，

由圆周角定理得DAE BCD ∠=∠，

∴BCD FCD ∠=∠，

在BCE 和GCE 中，

BCE GCE

CE CE BEC GEC

∠=∠ = ∠=∠ ，

∴BCE GCE ≌()ASA ，

∴1GE BE ==；

【小问2详解】

证明： AB 是O 的直径，

∴90ACB ∠=°，

在ACB △和CEB 中，

90ACB CEB ABC CBE ∠=∠=°

∠=∠ ，

∴ACB △CEB ∽， ∴BC BA

BE BC =，

∴2BC BA BE =⋅，

由（1）知GE BE =， ∴1

2BE BG =，

又 2AB BO =， ∴21

22BC BA BE BO BG BG BO =⋅=⋅=⋅；

【小问3详解】

解：45CAD ∠=°，证明如下：

如图，连接OC ，

FO FG =，

∴FOG FGO ∠=∠，

直径AB 垂直弦CD ，

∴CE DE =，90AED AEC ∠=∠=°，

又 AE AE =，

∴ACE △ADE ≌()SAS ，

∴DAE CAE ∠=∠，

设DAE CAE α∠=∠=

，FOG FGO β∠=∠=， 则FCD BCD DAE α∠=∠=∠=，

OA OC =，

∴OCA OAC α∠=∠=，

又 90ACB ∠=

°， ∴903OCF ACB OCA FCD BCD α∠=∠−∠−∠−∠=°−，

CGE OGF β∠=∠=，GCE α∠=，90CGE GCE ∠+∠=°

∴90βα+=°，

∴90αβ=°−，

2COG OAC OCA ααα∠=∠+∠=+=，

∴()2290180COF COG GOF αββββ∠=∠+∠=+=°−+=°−，

∴COF AOF ∠=∠，

COF 和AOF 中，

CO AO COF AOF OF OF = ∠=

∠ =

∴()SAS COF AOF ≌，

∴OCF OAF ∠=∠，

即903αα°−=，

∴22.5α=°，

∴245CAD α∠==°．

【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．

在