2010年高考数学第一轮复习资料 第十章 圆锥曲线

★知识网络★

第1讲 椭圆

★知识梳理★

1. 椭圆定义：

（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.

当时, 的轨迹为椭圆 ;          ; 

当时, 的轨迹不存在; 

当时, 的轨迹为 以为端点的线段

（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

2.椭圆的方程与几何性质:

3.点与椭圆的位置关系:

当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上;

4.直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离

★重难点突破★

重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用

难点:椭圆的几何元素与参数的转换

重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系

1.要有用定义的意识

问题1已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。

[解析]的周长为，=8

2.求标准方程要注意焦点的定位

问题2椭圆的离心率为，则            

[解析]当焦点在轴上时，；

  当焦点在轴上时，

综上或3

★热点考点题型探析★

考点1  椭圆定义及标准方程  

题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

A．4a    B．2(a－c)    C．2(a+c)    D．以上答案均有可能

 [解析]按小球的运行路径分三种情况:

(1),此时小球经过的路程为2(a－c);

(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);

(3)此时小球经过的路程为4a,故选D

【名师指引】考虑小球的运行路径要全面

【新题导练】

1. （2007·佛山南海）短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为    （    ）

    A.3                 B.6                 C.12              D.24

[解析]C.  长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12

2. (广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（    ） 

A． 5          B． 7          C ．13          D． 15 

[解析]B.  两圆心C、D恰为椭圆的焦点，的最小值为10-1-2=7

题型2 求椭圆的标准方程 

[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.

【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来

[解析]设椭圆的方程为或，

则，

解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.

【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．

［警示］易漏焦点在y轴上的情况．

【新题导练】

3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

[解析](0,1).  椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1.

又k>0，∴04.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状

[解析]当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，

当时，方程表示圆心在原点的圆，

当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆

5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.

[解析] ，所求方程为+=1或+=1.

考点2 椭圆的几何性质 

题型1:求椭圆的离心率（或范围）

[例3 ] 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率           ． 

【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率

[解析] ，

，

【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定

（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）

（3）“焦点三角形”应给予足够关注

【新题导练】

6. (执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为

      .        .        .         . 

[解析]选

7. （江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考）已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为            

[解析]由，椭圆的离心率为

8. (山东济宁2007—2008学年度高三第一阶段质量检测)

我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（  ）

A．不变           B. 变小             C. 变大          D.无法确定

[解析] ，选A

题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

[例4 ] 已知实数满足,求的最大值与最小值

【解题思路】 把看作的函数

 [解析] 由得,

当时,取得最小值,当时,取得最大值6

【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错

【新题导练】

9.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=         

[解析] 由知点共线,因椭圆关于原点对称,

10.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点

则________________

［解析］由椭圆的对称性知： ．

考点3 椭圆的最值问题

题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值

[例5 ]椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．

【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数

 [解析]在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为：

【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”

【新题导练】

11.椭圆的内接矩形的面积的最大值为               

[解析]设内接矩形的一个顶点为，

矩形的面积

12. 是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值

[解析] 

当时，取得最大值，

当时，取得最小值

13. （2007·惠州）已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，

是原点，则四边形的面积的最大值是_________．

[解析] 设，则

考点4 椭圆的综合应用

题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题

[例6 ] 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；

（2）求m的取值范围．

【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式

[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设

由条件知且，又有，解得 

故椭圆的离心率为，其标准方程为： 

（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）

x1＋x2＝， x1x2＝　 

∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴

消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　  

m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）    

【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能

【新题导练】

14. (2007·广州四校联考)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是                                  （   ）

  A.              B. 

C.                D. 

[解析] ，选A.

15. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。

   （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

   （2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。

解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）

由题设可得

∴动点P的轨迹方程为，

则

∴曲线E方程为

（2）直线MN的方程为

由

∴方程有两个不等的实数根

∵∠MBN是钝角

即

解得：

又M、B、N三点不共线

综上所述，k的取值范围是

★～～抢分频道★

基础巩固训练

1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为(      )                                                           

  A      B    C    D  

[解析] B .    

2. （广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为

A、0　　B、1　　C、2　　D、3

[解析] A .  ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0， 

3. (广东广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 

A．    B．   C．   D．

[解析] D.  ,,两式相减得：，

4.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率                ．

[解析]

5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________.

 [解析]       [三角形三边的比是]

6. (2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=      ．

[解析]

综合提高训练

7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程

[解析]直线l的方程为：

　　由已知　①    

由　得：    

　　∴，即　②    

由①②得：

　　故椭圆E方程为

8. (广东省汕头市金山中学2008－2009学年高三第一次月考)

已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

   （1）求椭圆的标准方程；

   （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。

[解析]（1）∵点是线段的中点  

∴是△的中位线

又∴             

∴   

∴椭圆的标准方程为=1             

  （2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点

∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2     

在△ABC中，由正弦定理，    

∴＝             

9.  (海珠区2009届高三综合测试二)已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.

(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.

设椭圆的标准方程是.

.

椭圆的标准方程是

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.

设M,N两点的坐标分别为

联立方程: 

消去整理得, 

有

若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,

所以,,

即

所以,

即

得

所以直线的方程为,或.

所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. 

参考例题：

1、 (惠州市2009届高三第二次调研考试)  从椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.

⑴、求该椭圆的离心率.

⑵、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.

[解析] ⑴、 ，∥，△∽△,

， 

又，, 

而.     

 ⑵、为准线方程，, 

由． 所求椭圆方程为．

2、设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，若，证明：的面积只与椭圆的短轴长有关

 [解析]由 得，，命题得证

第2讲 双曲线 

★知识梳理★

1. 双曲线的定义

（1）第一定义：当时, 的轨迹为双曲线; 

当时, 的轨迹不存在; 

当时, 的轨迹为以为端点的两条射线

（2）双曲线的第二义:                                                           ;

（双曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

解析：平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线

2. 双曲线的标准方程与几何性质

与双曲线共轭的双曲线为

等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.； 

★重难点突破★

重点:了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研究双曲线的几何性质

难点: 双曲线的几何元素与参数之间的转换

重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数的关系

1.注意定义中“陷阱”

问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为         

点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支

的轨迹是双曲线的右支.其方程为

2.注意焦点的位置

问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为            

点拨：当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，

★热点考点题型探析★

考点1  双曲线的定义及标准方程

题型1：运用双曲线的定义

[例1 ] (2004·广东) 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．

[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，

依题意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.

【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”

【新题导练】

1. （吉林春市2008年高中毕业班第一次调研）设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为        （    ）

    A．            B．12                C．            D．24

解析：  ①

又②

由①、②解得

直角三角形，

故选B。

2. (2008广州二模文)如图2所示，为双曲线的左

焦点，双曲线上的点与关于轴对称，

则的值是（ ）

A．9     B．16   C．18        D．27 

 [解析] ，选C

3. (广州市越秀区2009 届高三摸底测试) P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）

（A）    （B）    （C）    （D）

［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，

由圆的切线性质知，

题型2 求双曲线的标准方程

[例2 ] 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．

【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组

[解析] 解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.

又双曲线过点（3，2），∴－=1.

又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.

故所求双曲线的方程为－=1.

解法二：设双曲线方程为－＝1，

将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.

【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.

【新题导练】

4.(广州六中2008-2009学年度高三期中考试)已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为               ； 

[解析]设双曲线方程为，

当时，化为，

当时，化为，

综上，双曲线方程为或

5. (2008年上海市高三十校联考)以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.

[解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为

6. (2008中山市一中第一次统测) 已知点，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为

A．              B．

C．（x > 0）             D．

[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B

考点2  双曲线的几何性质

题型1 求离心率或离心率的范围

[例3] 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为          ．

【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决

[解析](方法1)由定义知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．

(方法2)  ，

双曲线上存在一点P使，等价于

 (方法3)设，由焦半径公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为．

【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；

（2）点P在变化过程中，的范围变化值得探究；

（3）运用不等式知识转化为的齐次式是关键

【新题导练】

7. (山东省济南市2008年2月高三统一考试)

已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为              ． 

[解析]当时，，当时，，或

8. （2008届华南师范大学附属中学、广东省实验中学、广雅中学、深圳中学四校联考）

已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（ ）

    A．          B．2          C．或2           D．不存在

[解析]设双曲线的左准线与x轴交于点D,则，，

题型2 与渐近线有关的问题

[例4] (2007·汕头)若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （  ）

A.          　　    B.      　　        C.        　　　        D.

【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系

[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以

【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程

【新题导练】

9. 双曲线的渐近线方程是                    (   )

A.           B.           C.         D. 

[解析]选C

10. （湖南师大附中2009届第三次月考）焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是       （  ）

    A．       B．     C．       D．

[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B

★～～抢分频道★

基础巩固训练

1. 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是                                                        

（A）  （B） 

（C）  （D）

[解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A  

2. (2008深圳二模)已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的方程是    （　　）

A．   B．    C．    D．

 [解析]由 和得，选A

3. (2008揭阳一模)两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为(     ) 

A．    B．    C．     D．

[解析] ，选B

4. (2008珠海一模)设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为(  C   )

A．     B．1        C．2        D．不确定

[解析] C.  设，，

5. (2008珠海质检)已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（  ）

(A).    (B).     (C).    (D).

[解析] ，选B

6. (山东省滨州市2008年高三第一次复习质量检测)

曲线与曲线的    （  ）

    A．焦距相等        B．焦点相同         C．离心率相等       D．以上都不对

[解析] 方程的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程的曲线为焦点在y轴的双曲线，故选A

综合提高训练

7. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程

 [解析]（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，．

（2）设渐近线与直线交于A、B，则，解得即，又，

双曲线的方程为

8. (执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试节选)已知是双曲线的左，右焦点,点是双曲线右支上的一个动点,且的最小值为,双曲线的一条渐近线方程为. 求双曲线的方程;

[解析],

①.的一条渐进线方程为 ②，又 ③

由①②③得

9. （湖南省湘潭市2009届高三第一次模拟考试）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.

（Ⅰ）求双曲线C的方程

（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围

解（1）设双曲线方程为

由已知得，再由，得

故双曲线的方程为.

（2）将代入得

 由直线与双曲线交与不同的两点得

 即且.   ①   设，则

，由得，

而

.

于是，即解此不等式得    ②

由①+②得

故的取值范围为

参考例题：

已知双曲线C：的两个焦点为，点P是双曲线C上的一点，且．

（1）求双曲线的离心率；

（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点，若，求双曲线C的方程．

（1）设，则，∵，∴，

∴．

（2）由（1）知，故，从而双曲线的渐近线方程为，

依题意，可设，

由，得．  ①

由，得，解得．

∵点在双曲线上，∴，

又，上式化简得．    ②

由①②，得，从而得．故双曲线C的方程为．

第3讲 抛物线

★知识梳理★

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：

①的焦半径;的焦半径；

② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

③ AB为抛物线的焦点弦，则  ，=

3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.

★重难点突破★

重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质

难点: 与焦点有关的计算与论证

重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质

1.要有用定义的意识

问题1：抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(   )

  A.            B.             C.           D. 0

点拨：抛物线的标准方程为，准线方程为,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的纵坐标是

2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向

问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有         

点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条

3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”

问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

点拨：设为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切

★热点考点题型探析★

考点1 抛物线的定义

题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为            

【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离

[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3

【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关

【新题导练】

1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有       （　　）

A．             B． 

C．             D. 

［解析］C   由抛物线定义，即：． 

2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,

    M点坐标是                                          (     )

A.      B.        C.      D. 

[解析] 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C

考点2  抛物线的标准方程

题型:求抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3,2)            (2)焦点在直线上

【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.

[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,

      ∵过点(-3,2)      ∴

      ∴

      ∴抛物线方程为或,

前者的准线方程是后者的准线方程为

   (2)令得，令得，

     ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,

     ∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时

     ∴，此时抛物线方程.

     ∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.

【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面

【新题导练】

3. (2009届天河区普通高中毕业班综合测试（一）)若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值          

[解析]

4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

[解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.

5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程

[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或

考点3  抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证

[例3 ]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.

【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为

解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点

【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。

【新题导练】

6. 若直线经过抛物线的焦点，则实数        

[解析]-1

7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则                                                        (    )

     A.     B.     C.      D.   

[解析]C

★～～抢分频道★

基础巩固训练

1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（  ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.有且仅有一条     B.有且仅有两条      C.1条或2条      D.不存在

[解析]C     ，而通径的长为4．

2. （2007·揭阳）在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为　（　　）

A. 3                B. 4              C. 5              D. 6

[解析] B  利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为4．

3. (2008揭阳)两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为(  ) 

A．   B．   C．   D．

[解析] D. 

4. 如果，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，…，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（  ）．

A．5            B．6               C． 7            D．9 

[解析]B     根据抛物线的定义，可知（，2，……，n），成等差数列且,,=6

5、(山东省威海市 2008年普通高中毕业年级教学质量检测)

抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）

    A．       B．        C．           D．

[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设，则，

四边形ABEF的面积=

6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为             ．

[解析].  

过A 作轴于D，令，则即，解得．

综合提高训练

7. (汕头市金山中学2009届11月月考)

在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标

[解析]解法1：设抛物线上的点，

点到直线的距离，

当且仅当时取等号，故所求的点为

解法2：当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为，代入抛物线方程得，

由得，故所求的点为

8.（广东省六校2008届高三第三次联考）

已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．

（1）求的坐标；

（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？

解：（1）抛物线方程为 

故焦点的坐标为 

（2）设 

直线的方程是

9. 设抛物线（）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．

证明:因为抛物线（）的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为

    ，代人抛物线方程得

        ．

    若记，则是该方程的两个根，所以

．

因为BC∥X轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，

故直线CO的斜率为

即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

10. （广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.

（1）求椭圆方程；

（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.

解：（1）∵上的点M在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.

∴c=-4，p=8……①

∵M（-4，）在椭圆上

∴……②

∵……③

∴由①②③解得：a=5、b=3

∴椭圆为

由p=8得抛物线为

设椭圆焦点为F（4，0），

由椭圆定义得|NQ|=|NF|

∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|

=，即为所求的最小值.

参考例题：

1、(09湖南师大附中) 已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.

（1）写出抛物线C的方程；

（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；

（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

解：（1）抛物线方程为：y2=2x.                                          （4分）

（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，代入y2=2x，

得：k2x2-(k2+2)x+.

设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.

设△AOB的重心为G（x，y）则，

消去k得y2=为所求，                                            （6分）

②当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1），                         （8分）

△AOB的重心G（，0）也满足上述方程.

综合①②得，所求的轨迹方程为y2=，                              （9分）

（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，

根据圆的性质有：|MN|=2.           （11分）

当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，

设P点坐标为(x0，y0)，则y=2x0.

|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，

∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，

故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.                           （14分）

第4讲 圆锥曲线的综合问题

★知识梳理★

1.直线与圆锥曲线C的位置关系

将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2+bx+c=0.

（1）交点个数

①当 a=0或a≠0，⊿=0   时,曲线和直线只有一个交点;

②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;

③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点;

(2) 弦长公式：

2.对称问题：

曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上

3.求动点轨迹方程

①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法

②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法

③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法

★重难点突破★

重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值

难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题

重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题

1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能

①求弦长时用韦达定理设而不求

②弦中点问题用“点差法”设而不求

2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用

问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为       

点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，在结合图形，用平面几何的知识解决。，当共线时最小，最小值为

★热点考点题型探析★

考点1  直线与圆锥曲线的位置关系

题型1：交点个数问题

[例1 ] 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）                

    A．[－，]    B．[－2，2]    C．[－1，1]    D．[－4，4]

【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法

[解析] 　易知抛物线的准线与x轴的交点为Q (-2 , 0)，

于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线的方程为，

联立

其判别式为，可解得 ，应选C.

【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法

（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）

（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论

【新题导练】

1. （09越秀区摸底）已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.

(1)求曲线的方程；

(2)求m的取值范围.

[解析]（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，

代入圆的方程得曲线C的方程：

（2）∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,

∴直线的方程为.            

由  ,   得     

∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，

∴                   

解得.

∴m的取值范围是.          

题型2：与弦中点有关的问题

[例2]（08韶关调研）已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.

(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;

(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.

【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解

[解析]  (Ⅰ)设，

因为,所以化简得:

(Ⅱ) 设 

当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意

设直线的方程为 

将代入得

…………(1)   …………(2)  

(1)-(2)整理得:  

直线的方程为

即所求直线的方程为

解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,

其中点不是N,不合题意.

故设直线的方程为,将其代入化简得

由韦达定理得,

又由已知N为线段CD的中点,得,解得,

将代入(1)式中可知满足条件.

此时直线的方程为,即所求直线的方程为

【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁

【新题导练】

2.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程

[解析]设弦所在直线与椭圆交于两点，则

，两式相减得：，

化简得，

把代入得

故所求的直线方程为，即

3.已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，求此椭圆的离心率

[解析]

 设，AB的中点为,

代入椭圆方程得，,

两式相减,得.  AB的中点为在直线上，，而

题型3：与弦长有关的问题

 [例3](山东泰州市2007～2008联考)

已知直线被抛物线截得的

弦长为20，为坐标原点．

（1）求实数的值；

（2）问点位于抛物线弧上何处时，

△面积最大？

【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△

面积的最大值取得的条件

 [解析]（1）将代入得， 

        由△可知，

        另一方面，弦长AB，解得； 

（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，

则只须使得，

即，即位于（4，4）点处． 

【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围

【新题导练】

4. (山东省济南市2008年2月高三统一考试)

已知椭圆与直线相交于两点．

（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下，求弦的长度；

[解析]（1）由已知得：，∴                

所以椭圆方程为：                                        

（2），由，得            

∴                                            

∴                    

（文）已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长．

解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为．

联立得．

设，则．

所以．

故线段DE的长为．

考点2：对称问题 

题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法） 

[例4 ]已知抛物线上不存在关于直线对称的两点，求m的取值范围．

【解题思路】先考虑曲线上存在关于直线对称的两点的情形,然后求其补集

［解析］（1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点．

（2）当m≠0时，假设存在关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线 ，可设 代入得

，

在直线上，

，

代入得即     

 又恒成立，所以．

故时满足题意．

综上（1）（2），m取值范围是．

【名师指引】要抓住对称包含的三个条件：

(1)中点在对称轴上

(2)两个对称点的连线与轴垂直

(3)两点连线与曲线有两个交点(),通过该不等式求范围

【新题导练】

5. 已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.

求证：点A、B关于x轴对称；

[解析]设，，即，

，，故点A、B关于x轴对称

6若直线过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程．

[解析] ，设，则

又，两式相减得：，

化简得，

把代入得

故所求的直线方程为，即

所以直线l的方程为 ：8x-9y+25=0.

7在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.

[解析] （1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点．

（2）当k≠0时，设抛物线y2=4x上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线 ，可设 代入y2=4x得

，

在直线y=kx+3上，

，

代入得即     

 又恒成立，所以．

综合（1）（2），k的取值范围是（-1，0）

考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：求某些变量的范围或最值

 [例5]已知椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．

【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系

 [解析]由，得

由，得

此时                                

由，得，∴

即，故

由，得

∴

由得，∴

所以椭圆长轴长的取值范围为        

【名师指引】求范围和最值的方法：

几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题

代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．

【新题导练】

8. 已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。

[解析]由，设

，

，解得或

又或    

9. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标． 

[解析] 设，

因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，

将它代入得

由得即

，

将代入得

当且仅当即时取等号，此时，

所以，点M 为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为．

10直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围． 

[解析] 由

消去y得：

解得

设M（x0，y0）

则

三点共线

令上为减函数.

11已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；

（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值．

[解析]（1）最小值为

（2）最大值为10+|BC|=；最小值为10-|BC|=．

考点4  定点，定值的问题

题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量

[例6] 已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。

求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；    

【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系

证明：设知

同理    

①当，

从而有

设线段PQ的中点为，    

得线段PQ的中垂线方程为    

②当

线段PQ的中垂线是x轴，也过点

【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：

（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;

（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．

【新题导练】

12已知抛物线C的方程为y=x2-2m2x-(2m2+1) (m∈R)，则抛物线C恒过定点          

[解析](-1,0)   [令x=-1得y=0]

13 试证明双曲线－=1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.

[解析] 双曲线上任意一点为，

它到两渐近线的距离之积

考点6  曲线与方程

题型：用几种基本方法求方程

[例1]已知抛物线C： y2=4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；

【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程

［解析］由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线  x=－1 

(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),

椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,

又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,

∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),

化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1)  

[名师指引] 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化

【新题导练】

14点P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是          .

[解析]    [相关点法]

15. 过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．

[解析]右焦点（2，0），设 

得，直线l的斜率

又，两式相减得化简得，

把，代入上式得

16已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．求动点的轨迹方程； 

 [解析]（1）由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，

点P在y轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程．

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基础巩固训练

1. 已知是三角形的一个内角，且，则方程表示 

（A）焦点在x轴上的椭圆                （B）焦点在y轴上的椭圆    

（C）焦点在x 轴上的双曲线              （D）焦点在y 轴上的双曲线

[解析] B.  由知，

2. 已知点M（3，4）在一椭圆上，则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（ ）

（A）12             （B）24            （C）48          （D）与椭圆有关

[解析] C   [由椭圆的对称性可知]过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条.

[解析] 3； 垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.

3. 已知点F（，直线，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是      （    ）

    A．双曲线    B．椭圆    C．圆    D．抛物线

[解析]D.   [MB=MF]

4. 椭圆（为参数）上点到直线的最大距离是              ．

 [解析]  

5. 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是   ．

[解析]≤

6. 若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为              

[解析]  []

综合提高训练

7. 已知抛物线的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为             

[解析] 12x —23y—2=0    记住结论：

8. 已知椭圆 ，直线l到原点的距离为求证：直线l与椭圆必有两上交点

[解析] 证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：

不妨取代入曲线E的方程得：

即G（，），H（，－）有两个不同的交点，

当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：

由题意知：

由

∴直线l与椭圆E交于两点

综上，直线l必与椭圆E交于两点

9. 求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程．

［解析］解：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则：      ①         ②

①－②得：

当时，

由题意知，即        ③

③式与联立消去k，得        ④

当时，k不存在，此时，也满足④．

故弦PQ的中点M的轨迹方程为：

10 .已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若,求a的取值范围．

[解析]直线的方程为，

将    ，

得    ．

设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，

则      

又，

∴     

            ．

∵     ，

∴     ．

解得．

参考例题:

1. 过抛物线的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦，此弦满足：①弦长不超过8；②弦所在的直线与椭圆3x2 + 2y2 = 2相交，求k的取值范围．

解析：抛物线的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为

　　由　得　    2分

　　∴

　　故

由，解得k2≥1

由　得　    8分

　　由，解得k2 < 3    因此1≤k2 < 3

    ∴k的取值范围是[，－1]∪[1，]

2. (09广东实验中学)已知圆C:.

(1)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若，求直线的方程；

(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点的轨迹方程.

(3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求的最小值.

解析（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为

和，其距离为，满足题意                        ………1分

②若直线不垂直于轴，设其方程为，即 ………2分

设圆心到此直线的距离为，则，得∴，………4分

故所求直线方程为3x-4y+5=0   

综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1                           ……………5分

(2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0, 0) 

   ∵，∴  即，    ………7分

又∵，∴                     …………9分

由已知，直线m //oy轴，所以，,

∴点的轨迹方程是  ()                ………………10分

（3）设Q坐标为(x,y)， ， ………………11分

又  ()可得： 

.         ………………13分

         …………14分

3. 在直角坐标平面内，已知两点A（-2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。

（Ⅰ）证明|PA|+|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；

解：（Ⅰ）连结PB。∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P，

∴|PB|=|PQ|，又|AQ|=6，

∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=6（常数）。             

又|PA|+|PB|>|AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a=6，2c=4，

∴椭圆方程为               

4.（07·江门四校联考）如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=，椭圆F以A、B为焦点且过点D， 

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点E满足,是否存在斜率两点，且，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由．

[解析]