2013年中考数学二轮专题复习(专题六 运动问题)

1.  (2012·南京一模)矩形ABCD中，AD＝8 cm，AB＝6 cm.动点E从点C开始沿边CB向点B以2 cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x(单位：s)，此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的                    (　　)

解析　此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：当x≤4时，y＝6×8－x·2x＝－2x2＋48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点是抛物线的顶点(0，48)，最下点为(4，16)，当4＜x≤6时，点E停留在点B处，故y＝48－8x，此时函数的图象为直线y＝48－8x的一部分，它的最上点为(4，16)，最下点为(6，0)．结合图象可选A.

答案　A

2．(2012·浙江温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终 点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点．连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是        (　　)

A．一直增大               B．一直减小

C．先减小后增大          D．先增大后减小

解析　如图所示，连接CM，

∵M是AB的中点，

∴S△ACM＝S△BCM＝S△ABC，

开始时，S△MPQ＝S△ACM＝S△ABC；

由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ＝S△ABC；

结束时，S△MPQ＝S△BCM＝S△ABC.

△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大．故选C.

答案　C

3.  (2012·浙江绍兴)如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA＝1，OC＝2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次(n＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为________(用含n的代数式表示)．

解析　设反比例函数解析式为y＝，则①与BC、AB平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为0.6得与AB平移后的对应边相交的交点的坐标为(2，1.4)，代入y＝，得1.4＝，所以k＝，∴反比例函数解析式为y＝.

则第n次(n＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：－＝.

②与OC，AB平移后的对应边相交时，

由k－＝0.6得k＝.

∴反比例函数解析式为y＝.

则第n次(n＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：－＝.

综上所述，第n次(n＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为或.

答案　或

4．如图，A，B，C，D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O－C－D－O路线作匀速运动，设运动时间为x(秒)，∠APB＝y(度)，右图函数图象表示y与x之间函数关系，则点M的横坐标应为                    (　　)

A．2                  B. 

C.＋1              D.＋2

解析　设⊙O半径为r，由图象知，移走了OC长(即r)，

设走CD长用x秒，则＝，

∴x＝，∴点M横坐标为.

答案　C

5. (2012·福建福州质量检查)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，DE＝4 cm.动线段DE(端点D从点B开始)沿BC边以1 cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时，EF与CA重合)，连接DF，设运动的时间为t秒(t≥0)．

(1) 直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；

(2) 在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

(3) 设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．

解　(1) BE＝(t＋4) cm，EF＝(t＋4) cm.

(2)分三种情况讨论：

① 当DF＝EF时，有∠EDF＝∠DEF＝∠B，

∴ 点B与点D重合，∴ t＝0.  

② 当DE＝EF时，∴4＝(t＋4)，

解得：t＝. 

③当DE＝DF时，

有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，

∴△DEF∽△ABC.∴＝，

即＝，

解得：t＝.  

综上所述，当t＝0、或秒时，

△DEF为等腰三角形．

(3)设P是AC的中点，连接BP，∵EF∥AC，

∴△NBE∽△PBC，∴∠NBE＝∠PBC.

∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．

如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．

∵M、N分别是DF、EF的中点，

∴MN∥DE，且ST＝MN＝DE＝2.

分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，

当t＝0时，EF＝(0＋4)＝，

TK＝EF·sin∠DEF＝××＝；

当t＝12时，EF＝AC＝10，

PL＝AC·sin C＝×10×＝3.   

∴PR＝PL－RL＝PL－TK＝3－＝.

∴S▱PQST＝ST·PR＝2×＝.

∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为cm2.

6.  (2012·广东湛江)如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t＞0)．

(1)当t＝3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；

(2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；

(3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

分析　(1)根据A、B的坐标，可得到OA＝6、OB＝8、AB＝10；当t＝3时，AN＝5，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标．然后利用待定系数法求出抛物线的解析式．

(2)△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM＝OA－OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA、t的函数关系式，利用所得函数的性质即可求出△MNA的最大面积．

(3)首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长；由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN＝NA、②MN＝MA、③NA＝MA；直接根据等量关系列方程求解即可．

解　(1)由题意，A(6，0)、B(0，8)，

则OA＝6，OB＝8，AB＝10；

当t＝3时，AN＝t＝5＝AB，

即N是线段AB的中点；∴N(3，4)．

设抛物线的解析式为：y＝ax(x－6)，则：

4＝3a(3－6)，a＝－；

∴抛物线的解析式：y＝－x(x－6)＝－x2＋x.

(2)过点N作NC⊥OA于C；

由题意，AN＝t，AM＝OA－OM＝6－t，

NC＝NA·sin∠BAO＝t·＝t；

则：S△MNA＝AM·NC＝×(6－t)×t

＝－(t－3)2＋6.

∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6.

(3)Rt△NCA中，AN＝t，

NC＝AN·sin∠BAO＝t，

AC＝AN·cos∠BAO＝t；

∴OC＝OA－AC＝6－t，∴N.

∴NM＝＝；

又：AM＝6－t，AN＝t(0＜t＜6)；

①当MN＝AN时，＝t，

即：t2－8t＋12＝0，t1＝2，t2＝6(舍去)；

②当MN＝MA时，  ＝6－t，

即： t2－12t＝0，t1＝0(舍去)，t2＝；

③当AM＝AN时，6－t＝t，即t＝；

综上，当t的值取2或或时，

△MAN是等腰三角形．

7．(2012·广东深圳)如图，在平面直角坐标系中，直线：y＝－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．

(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2.

当b＝________时，直线：y＝－2x＋b (b≥0)经过圆心M：

当b＝________时，直线：y＝－2x＋b(b≥0)与⊙M相切：

(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B(6，0)、C(6，2)．设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

分析　(1)①∵直线y＝－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)，∴2＝－2×4＋b，解得b＝10.

②如图，作点M垂直于直线y＝－2x＋b于点P，过点P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H.设直线y＝－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B.

则由△OAB∽△HMP，

得＝＝.

∴可设直线MP的解析式为y＝x＋b1.

由M(4，2)，得2＝·4＋b1，解得b1＝0.

∴直线MP的解析式为y＝x.

联立y＝－2x＋b和y＝x，

解得x＝b，y＝b.

∴P.

由PM＝2，勾股定理得，

＋＝4，

化简得4b2－20b＋80＝0.解得b＝10±2.

(2)求出直线经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可．

 解　(1)10　10±2

(2)由A(2，0)、B(6，0)、C(6，2)，根据矩形的性质，得D(2，2)．

如图，当直线经过A(2，0)时，b＝4；当直线经过D(2，2)时，b＝6；当直线经过B(6，0)时，b＝12；当直线经过C(6，2)时，b＝14.

当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0.

当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积(如图1)，

图1

在 y＝－2x＋b中，令x＝2，

得y＝－4＋b，则E(2，－4＋b)，

令y＝0，即－2x＋b＝0，解得x＝b，

则F.∴AF＝b－2，AE＝－4＋b.

∴S＝·AF·AE＝··(－4＋b)

＝b2－2b＋4.

当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积(如图2)，

图2

在y＝－2x＋b中，令y＝0，得x＝b，

则G，

令y＝2，即－2x＋b＝2，解得x＝b－1，

则H.

∴DH＝b－3，AG＝b－2.AD＝2

∴S＝·(DH＋AG)·AD＝·(b－5)·2＝b－5

当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积＝矩形ABCD的面积－△CMN的面积(如图3)．

图3

在y＝－2x＋b中，令y＝2，

即－2x＋b＝2，

解得x＝b－1，则M，

令x＝6，得y＝－12＋b，

则N(6，－12＋b)．

∴MC＝7－b，NC＝14－b.

∴S＝4×2－·MC·NC＝8－··(14－b)＝－b2＋7b－41.

当b＞14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为8.

综上所述．S与b的函数关系式为：

S＝