北京市通州区2012届高三上学期理科数学期末摸底考试及答案

数学（理科）试卷

2012年1月

本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷2至4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 （选择题 共40分）

一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．

1．已知集合{} |10A x x =-<，{} |1,2B x x x =<->或，那么A B 等于 A ．{}

1x x <-

B ．{}

1x x <

C ．{}|1,2x x x <->或

D ．{} |1,2x x x <>或 2．复数

11i

i

-+等于 A ．1- B ．i - C ．1 D ．i

3．已知向量()1,2=-a ，(),4m =b ，且//a b ，那么2-a b 等于 A ．()4,0 B ．()0,4 C ．()4,8-

D ．()4,8-

4．已知右图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于

A ．30

B ．20

C ．15

D ．10

5．已知,a b ∈R ，那么“112

2

log log a b >”是 “33a

b

<”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．如右图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点

C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B

两点的距离为（其中2 1.414=⋅⋅⋅，3 1.732=⋅⋅⋅，精确到0.1） A ．70.7m

B ．78.7m

C ．86.6m

D ．90.6m

7．过圆()()2

2

125x y -++=上一点()3,1M -的切线方程是 A ．270x y --= B ．250x y +-= C

．

210x y +-=

D ．250x y --=

8．当()3,4x ∈时，不等式()()2

log 230a x x -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝

⎦ B ．1,12

⎡⎫⎪⎢⎣⎭

C ．(]1,2

D ．[)2,+∞

第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应的位置上.

9．在二项式6

1x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式中，含4

x 的项的系数是___________.

10．已知x ，y 满足不等式组 3,

1,30,x y x y x +⎧⎪

--⎨⎪-⎩

≥≥≤ 那么2z x y =+的最小值是___________.

11．如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，

4PA =，圆O 的半径是23，

那么__________.PB =

12．已知数列{n a } 是公差为正数的等差数列，且121a a +=，2310a a ⋅=，那么数列{n a }

的前5项的和5__________.S = 13．下面四个命题：

①已知函数(),0,

,0,

x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；

②一组数据18，21，19，a ，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；

③已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集

{}1x x <-；

④在极坐标系中，圆4cos ρθ=-的圆心的直角坐标是()2,0-. 其中正确的是___________________.

14．直线l 与椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>交于不同的两点M ，N ，过点M ，N 作x 轴

的垂线，垂足恰好是椭圆的两个焦点，已知椭圆的离心率是

2

2

，直线l 的斜率存在且不为0，那么直线l 的斜率是___________.

三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数()()2

sin 22cos 1f x x x =π-+-.

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间3,

44ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值. 16．（本小题共13分）如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABEF ，四边形ABEF

是梯形，90EFA FAB ∠=∠=︒，EF FA ==

1

12

AD AB =

=，点M 是DF 的中点. （Ⅰ）求证：//BF 平面AMC ； （Ⅱ）求二面角B AC E --的余弦值.

17．（本小题共13分）有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定

每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）. （Ⅰ）甲选手的演出序号是1的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅲ）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数X 的分布列与期望.

18．（本小题共13分）已知函数x ax x f ln )(=，在点))(,(e f e 处的切线与直线40

x y -=平行.

（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；

（Ⅱ）求函数()f x 在[](),20m m m +>上的最小值.

19．（本小题共14分）已知数列{}n a 中，1a a =，22a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，

且()123n n S n a a =+，n N *

∈.

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅲ）若()()12

21,

8

2,n n n n b n a a

++=⎧⎪

=⎨⎪⋅⎩≥ n T 是数列{}n b 的前n 项和， 且2

222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *

∈都成立，求实数m 取值范围.

20．（本小题共14分）已知抛物线()2

:0C x ay a =>，斜率为k 的直线l 经过抛物线的

焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且抛物线上一点(22,)(1)M m m >到点F 的距离是3.

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）若k > 0，且3AF FB =

，求k 的值.

（Ⅲ）过A ，B 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q ，求证：

0AB FQ =

.

(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)

摸底考试参

2012、1 一、选择题

1． D 2． B 3．C 4． D 5． A 6．A 7．B 8． B

二、填空题

9． 6 10．3 11．2 12．25 13．②，④ 14．2

2

± 三、解答题

15． 解：（Ⅰ）因为()()2

sin 22cos 1f x x x π=-+-，

所以()sin 2cos2f x x x =+2sin 24x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭. …………………………..

3分 所以2.2

π

ωπ== ………………………….. 5分

又因为1sin 214x π⎛⎫

-≤+≤ ⎪⎝

⎭

， 所以()22f x -≤≤

.

所以函数()f x 的最小正周期是π；最大值是2. ………………………….. 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 2sin 24x π⎛

⎫=

+ ⎪⎝

⎭.

因为34

4

x π

π

≤≤

， 所

以

372444

x πππ≤+≤. ………………………….. 9分

所以当3244

x π

π

+

=

，即4x π=时，函数()f x 有最大值是1；

当3242

x ππ

+=，即58x π=时，函数()f x 有最小值是2-.

所以函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤

⎢⎥⎣

⎦上的最大值是1，最小值是2-. ………………………. 13分

16． （Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点G ，∴点G 是BD 的中点. ∵点M 是DF 的中点，

∴MG 是BDF ∆的中位线. ∴//.BF MG ∵MG ⊂平面AMC ，BF ⊄平面AMC ， ∴

//

BF 平面

A

. ………………………….. 5分

（Ⅱ）解：以A 为原点，以AF ，AB ，AD 分别为x ， y ，z 轴建立空间直角坐标系. ……………….. 4分

∴()0,0,0A ，()0,2,1C ，()1,1,0E ，()1,0,0F ，

∴()0,2,1AC = ，()1,1,0AE = ，()1,0,0AF =

. 设平面ACE 的法向量(),,n x y z =

， ∴0n AC ⋅= ，0n AE ⋅=

.

∴ 20,

0.y z x y +=⎧⎨

+=⎩

令1x =，则1y =-，2z =.

∴()1,1,2n =-

.

又AF

是平面ACB 的法向量，

∴cos ,n AF n AF n AF

⋅=⋅

16.661=

=⨯ 如图所示，二面角B AC E --为锐角.

∴二面角B AC E --的余弦值是6

.6

………………………….. 13分

17．解：（Ⅰ）设A 表示“甲选手的演出序号是1”， 所以()1

.7

P A =

所以甲选手的演出序号是1的概率为1.7

………………………….. 3分

（Ⅱ）设B 表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，

B 表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”.

所以()()

2327611.7

A P

B P B A =-=-=

所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为6.7

……………………….. 6分

（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， ……………………….. 7分

所以()2712207P X A ==

=，()27105121P X A ===，()2

784

221

P X A ===， ()276137P X A ==

=，()2742421P X A ===，()2

721521

P X A ===. ……………………….. 10分

所以X 的分布列为

X 0 1 2 3 4 5

P

2

7 521 421 17 221 121

………………….. 12分 所以2541210123457212172121EX =⨯

+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.3

= …………………..

13分

18．解：（Ⅰ）因为函数x ax x f ln )(=，

所以定义域为()0,+∞，()'()ln 1f x a x =+. ………………………..

2分

因为在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行，

所以'()4f e =，即()ln 14a e +=. ………………………..

4分 所以 2.a =

所以()2ln .f x x x = ……………………….. 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）()'()2ln 1f x x =+，令'()0f x =，得1

x e

=

. 当1(0,)x e

∈时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,)e

上单调递减；

当),1(+∞∈e x 时，0)('>x f ，所以函数),1

()(+∞e x f 在上单调递增.

所以①若()1,2m m e ∈+时，函数()f x 的最小值是12

()f e e =-；

②若1

2m m e

≤<+时，函数()[,2]f x m m +在上单调递增，所以函数()f x 的最小值

是()2ln .f m m m = ………………….. 13分

19．解：（Ⅰ）因为()123n n S n a a =+，11S a a ==，

所以0.a = …………………….. 3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 2n n na S =

， 所以()111.2

n n n a S +++=

所以()1111.2

2

n n n n n n a na a S S ++++=-=

-

所以()11.n n n a na +-=

所以当2n ≥时，

1.1

n n a n

a n +=- 所以

11n n a n a n +=-112n n a n a n --=

-，⋅⋅⋅，322

1a a =， 所以

1

2

.n a n a += 所以()21n a n =-，2n ≥. 因为10a a ==满足上式，

所以()21n a n =-，

n N *

∈. ………………………….. 6分

（Ⅲ）当2n ≥时，()()821

12.22111n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭

…………………………..

7分

又12b =， 所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+

111

1222231n n ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

………………………….. 9分

1

12221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭

311n n +=

+ 所以31

.1

n n T n +=

+ ……………………….. 10分

因为2

222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *

∈都成立， 即()()2

31214121

n n m n n ++⋅

<⋅+++对一切n N *∈都成立.

所以2331

..

122122

n m n n n n

>

=++++. ……………………….. 12分

因为1

2n n

+≥，当且仅当1n n =，即1n =时等号成立.

所以1

24n n ++≥.

所以11

1

42n n ≤++

所以3

.8

m > ……………………..

14分

20．解：（Ⅰ）因为点()

22,M m 在抛物线()2

:0C x ay a =>上，

所以8am =.

因为点()

22,M m 到抛物线的焦点F 的距离是3，

所以点()2

2,M m 到抛物线的准线4

a

y =-的距离是3.

所以 3.4a

m +

= 所以8 3.4

a

a +=

所以4a =，或8.a = ……………………….. 3分 因为1m >，

所以4a =. .. 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2

4.x y =

因为直线l 经过点()0,1T ，3AF FB =

所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率是k . 所以直线l 的方程是1y kx =+，即10kx y -+=.

所以联立方程组2

10,

4,

kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 消去y ，得2

440.x kx --= ………………………..

5分

所以221,241616

22 1.2k k x k k ±+==±+

因为3AF FB =

，且0k >

所以()

222213212.k k k k ++=⋅+- …………………….. 7分

所以212.k k += 所以2

1.3

k =

所以3

3

k =

（舍负） 所以k 的值是3

.3

………………….. 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程组2

10,

4,

kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 得2

440.x kx --=

设()11,A x y ，()22,B x y ，

所以()()()21212121,,.AB x x y y x x k x x =--=--

……………………..

9分

由2

4x y =，所以21.4

y x =

所以1

.2

y x '=

所以切线QA 的方程是()1111

2y y x x x -=-， 切线QB 的方程是()2221

.2

y y x x x -=- …………………………..

11分

所以点Q 的坐标是()2,1k -，

所以()2,2.FQ k =-

所以0.AB FQ ⋅=

…………………………..