2021年广州市中考数学试卷(含答案)word版

一、选择题（共10小题；共50分）

1. 如图，数轴上两点 ， 表示的数互为相反数，则点  表示的数是  

 A.  B.  C.  D. 无法确定

2. 如图，将正方形  中的阴影三角形绕点  顺时针旋转  后，得到图形为  

 A.  B. 

 C.  D. 

3. 某  人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁），，，，，．这组数据的众数，平均数分别为 

 A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 下列运算正确的是 

 A.  B. 

 C.  D. （）

5. 关于  的一元二次方程  有两个不相等的实数根，则  的取值范围是 

 A.  B.  C.  D. 

6. 如图， 是  的内切圆，则点  是  的  

 A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点

 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点

7. 计算 ，结果是 

 A.  B.  C.  D. 

8. 如图，， 分别是平行四边形  的边 ， 上的点，，，将四边形  沿  翻折，得到 ， 交  于点 ，则  的周长为  

 A.  B.  C.  D. 

9. 如图，在  中， 是直径， 是弦，，垂足为 ，连接 ，，，则下列说法中正确的是  

 A.  B. 

 C.  D. 

10. ，函数  与  在同一直角坐标系中的大致图象可能是 

 A.  B. 

 C.  D. 

二、填空题（共6小题；共30分）

11. 如图，四边形  中，，，则                  ．

12. 分解因式：                 ．

13. 当                    时，二次函数  有最小值                ．

14. 如图， 中，，，，则                  ．

15. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为  的扇形，若圆锥的底面圆半径是 ，则圆锥的母线                  ．

16. 如图，平面直角坐标系中  是原点，平行四边形  的顶点 ， 的坐标分别是 ，，点 ， 把线段  三等分，延长 ， 分别交 ， 于点 ，，连接 ，则下列结论：①  是  的中点；②  与  相似；③四边形  的面积是 ；④ ；其中正确的结论是                ．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（共9小题；共117分）

17. 解方程组：

18. 如图，点 ， 在  上，，，．求证：．

19. 某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班  名学生进行调查，按做义工的时间 （单位：小时），将学生分成五类：A类 ，B类 ，C类 ，D类 ，E类 ．绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：

（1）E 类学生有                  人，补全条形统计图；

（2）D 类学生人数占被调查总人数的                 ；

（3）从该班做义工时间在  的学生中任选  人，求这  人做义工时间都在  中的概率．

20. 如图，在  中，，，．

（1）利用尺规作线段  的垂直平分线 ，垂足为 ，交  于点 ：（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若  的周长为 ，先化简 ，再求  的值．

21. 甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路  公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的  倍，甲队比乙队多筑路  天．

（1）求乙队筑路的总公里数；

（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为 ，求乙队平均每天筑路多少公里．

22. 将直线  向下平移  个单位长度，得到直线 ，若反比例函数  的图象与直线  相交于点 ，且点  的纵坐标是 ．

（1）求  和  的值；

（2）结合图象求不等式  的解集．

23. 已知抛物线 ，直线 ， 的对称轴与  交于点 ，点  与  的顶点  的距离是 ．

（1）求  的解析式；

（2）若  随着  的增大而增大，且  与  都经过  轴上的同一点，求  的解析式．

24. 如图，矩形  的对角线 ， 相交于点 ， 关于  的对称图形为 ．

（1）求证：四边形  是菱形；

（2）连接 ，若 ，．

 ①求  的值；

 ②若点  为线段  上一动点（不与点  重合），连接 ，一动点  从点  出发，以  的速度沿线段  匀速运动到点 ，再以  的速度沿线段  匀速运动到点 ，到达点  后停止运动，当点  沿上述路线运动到点  所需要的时间最短时，求  的长和点  走完全程所需的时间．

25. 如图， 是  的直径，，，连接 ．

（1）求证：；

（2）若直线  为  的切线， 是切点，在直线  上取一点 ，使 ， 所在的直线与  所在的直线相交于点 ，连接 ．

 ①试探究  与  之间的数量关系，并证明你的结论；

 ②  是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

答案

第一部分

1.  B 2.  A 3.  C 4.  D 5.  A

6.  B 7.  A 8.  C 9.  D 10.  D

第二部分

11.  

12.  

13.  ；

14.  

15.  

16.  ①③

第三部分

17.  

 得：

将  代入  得

 方程组的解是 

18.  因为 ，

所以，，

 即 ，

在  和  中，

所以，．

19. （1） E 类：（人），统计如图所示

      （2） 

      （3） 设  人分别为 ，，，，，

画树状图：

所以这  人做义工时间都在  中的概率为 ．

20. （1） 如下图所示：

      （2） ，

 ，

 ，

 ，

 ，

所以 ．

21. （1） 乙队筑路的总公里数：（公里）．

      （2） 设甲队每天筑路  公里，乙队每天筑路  公里．

根据题意得：

解得：

经检验  是原方程的解且符合题意．

乙队每天筑路：（公里），

答：乙队平均每天筑路  公里．

22. （1）    由  向下平移一个单位长度而得，

   ，

    点纵坐标为  且在  上，

    点坐标为 ，

    点在反比例函数上，

   ．

      （2）  与  的图象如图所示，

由图可知当  时， 或 ．

23. （1）    的对称轴与  的交点为 ，

    的对称轴为直线 ，

   ，

  顶点坐标为 ，

   ，

   ，

   ，，

    或 ．

      （2） ①当  时，

  与  轴交点为 ，，

    随  的增大而增大，

   ，

（ⅰ）当  经过点 ， 时，

则有  得  

   （舍去），

（ⅱ）当  经过点 ， 时，

则有  得  

   ．

②当  时，

令 ，则 ，得 ，，

    与  轴交于点 ，，

（ⅰ）当  经过点 ， 时，

则有  得  

   （舍去），

（ⅱ）当  经过点 ， 时，

则有  得  

   ，

综上， 的解析式为： 或 ．

24. （1） 因为四边形  为矩形，

所以 ，

因为  与  交于点 ，且  与  关于  对称，

所以 ，，，

所以 ，

所以四边形  是菱形．

      （2） ①连接 ，使直线  分别交  于点 ，交  于点 ，

因为  关于  的对称图形为 ，

所以 ，

因为 ，，

所以 ，，

因为四边形  是菱形，

所以 ，．

又矩形  中，．

所以  为  的中位线，

所以 ，

因为 ，，

所以 ，

所以 ，

又 ，

所以 ，，

所以 ，

因为 ，

所以 ，

所以 ．

②过点  作  交  于点 ，

因为由①可知：，

所以点  以  的速度从  到  所需时间等同于以  的速度从  运动到  所需时间．

即：，

所以  由  运动到  所需的时间就是  的值．

因为如图，当  运动到 ，

即  时，所用时间最短，

所以 ，

在  中，

设 ，则 ，

 ，

所以 ，

解得： 或 （舍去），

所以 ，

所以当点  点沿题述路线运动到点  所需时间最短时， 的长为 ，点  走完全程所需要的时间为 ．

25. （1） 如图 ，连接 ，

    是  的直径，

   ．

   ，

   ，

   ．

      （2） ① ．

如图  所示，作  于 ，连接 ，

由（）可知  为等腰直角三角形．

又  是  的中点，

   ，，

    为等腰直角三角形，

   ，

    为  的切线，

   ，又 ，

  四边形  为矩形，

   ，．

   ，

   ，

   ，

   ．

   ，

   ．

   ，

   ，

   ，

   ．

   ．

当  为钝角时，如图  所示，

同理 ，得 ，

易得 ，．

   ，

 ，

   ，

   ．

②如图 ，当  在  左侧时，过点  作  交  于点 ，

由（）①知，，

   ．

又 ，

   ，

   ，

   ．

  中，，

   ，

   ．

当  在  右侧时，如图 ，过  作  于 ，

由（）①知，，

   ，

   ．

   ，

   ，

   ．

   ，

   ，

  在  中，

 ，

   ．