湖北省武汉市江岸区2020-2021学年八年级上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列几何图形中，一定是轴对称图形的是（　　）

A．三角形    B．四边形    C．平行四边形    D．圆

2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是(    )

A．2，3，6    B．3，4，5    C．5，6，11    D．7，8，18

3．过五边形的一个顶点的对角线共有（    ）条

A．1    B．2    C．3    D．4

4．课本上运用尺规作图：作一个角等于已知角，其作图的依据是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．点关于y轴对称的点的坐标为（ ）

A．    B．    C．    D．

6．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为(    )

A．50°    B．80°    C．50°或80°    D．50°或65°

7．一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为(    )

A．    B．    C．    D．

8．如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（    ）

A．36°

B．54°

C．60°

D．72°

9．已知△ABC的内角平分线相交于点O，三边的垂直平分线相交于点I，直线OI经过点A．若∠BAC＝40°，则∠ABC＝（    ）

A．40°    B．50°    C．70°    D．80°

10．如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点，DC⊥BC，作∠EAB＝∠B，DE∥BC，连接CE．若，设△BCD的面积为S，则用S表示△ACE的面积正确的是（    ）

A．    B．3S

C．4S    D．

二、填空题

11．如果一个三角形两边上的高所在的直线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是_____三角形.

12．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是       ．

13．一个三角形的两边分别2、3，则第三边上的中线a的范围是_____________

14．如图，点O是三角形内角平分线的交点，点I是三角形外角平分线的交点，则∠O与∠I的数量关系是_____________

15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则等腰三角形底角的度数是________________°．

16．如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点．若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝______（用含α的式子表示）

三、解答题

17．如图，根据图上标注的信息，求出α的大小

18．如图，已知，．求证． 

19．如图，已知△ABC，AB、AC的垂直平分线的交点D恰好落在BC边上

(1)判断△ABC的形状

(2)若点A在线段DC的垂直平分线上，求的值

20．如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上

(1) 直接写出坐标：A__________，B__________

(2) 画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应）

(3) 用无刻度的直尺，运用全等的知识作出△ABC的高线BF（保留作图痕迹）

21．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F

(1) 如图1，直接写出AB与CE的位置关系

(2) 如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK

22．如图，在△ABC中，CE为三角形的角平分线，AD⊥CE于点F交BC于点D

(1) 若∠BAC＝96°，∠B＝28°，直接写出∠BAD＝__________°

(2) 若∠ACB＝2∠B

① 求证：AB＝2CF

② 若EF＝2，CF＝5，直接写出＝__________

23．如图1，AB＝AC，EF＝EG，△ABC≌△EFG，AD⊥BC于点D，EH⊥FG于点H

(1) 直接写出AD、EH的数量关系：___________________

(2) 将△EFG沿EH剪开，让点E和点C重合

① 按图2放置△EHG，将线段CD沿EH平移至HN，连接AN、GN，求证：AN⊥GN

② 按图3放置△EHG，B、C（E）、H三点共线，连接AG交EH于点M．若BD＝1，AD＝3，求CM的长度

24．已知：如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)、B(0，b)，且|a＋2|＋(b＋2a)2＝0，点P为x轴上一动点，连接BP，在第一象限内作BC⊥AB且BC＝AB

(1) 求点A、B的坐标

(2) 如图1，连接CP．当CP⊥BC时，作CD⊥BP于点D，求线段CD的长度

(3) 如图2，在第一象限内作BQ⊥BP且BQ＝BP，连接PQ．设P(p，0)，直接写出S△PCQ＝_____

参

1．D

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的定义分析即可. 一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.

【详解】

三角形、 四边形、平行四边形不一定是轴对称图形，圆是轴对称图形，

故选D.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.

2．B

【分析】

根据两条短边之和大于最长的边可判断.

【详解】

A．2+3=6，不能组成三角形；

B．3+4＞5，可以组成三角形；

C．5+6=11，不能组成三角形；

D．7+8＜18，不能组成三角形．

故选B.

【点睛】

本题考查三角形的三边关系，熟记概念是解题的关键.

3．B

【分析】

根据多边形对角线定义可得出结果.

【详解】

五边形有5个顶点，与其中一个顶点不相邻的顶点有2个，所以有2条对角线.

【点睛】

本题考查多边形对角线的定义：不相邻的两个顶点连线为多边形对角线，掌握定义是关键.

4．A

【分析】

在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应相等的全等三角形来证，因此由作法知其判定依据是SSS，即边边边公理．

【详解】

解：在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应相等的全等三角形来证，因此由作法知其判定依据是SSS，即边边边公理．

故选：A．

【点睛】

本题考查的知识点是全等三角形的判定以及尺规作图，三角形全等的判定公理及推论：（1）“边角边”简称“SAS”；（2） “角边角”简称“ASA”；（3） “边边边”简称“SSS”；（4） “角角边”简称“AAS”．注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状．

5．A

【分析】

根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

【详解】

解：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，

∴点关于y轴对称的点为．

故选：A

【点睛】

本题考查了坐标系中的轴对称，掌握坐标系中的轴对称的特点是解题的关键.在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.

6．C

【分析】

锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，分情况讨论即可.

【详解】

若50°为顶角，则底角为，符合题意；

若50°为底角，则顶角为，故答案为C.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，底角相等，分类讨论是解题的关键.

7．B

【分析】

设这个多边形有n条边，根据内角和是它的外角和的2倍，列方程，然后解方程即可．

【详解】

解：设这个多边形有n条边．

由题意得：（n﹣2）×180°=360°×:2，

解得n=6．

故这个多边形的边数是6．

故选B

【点睛】

此题主要考查了多边形的外角和，内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：（n-2）•180°，外角和为360°．

8．B

【分析】

先求出正五边形一个的外角，再求出内角度数，然后在四边形BCDG中，利用四边形内角和求出∠G.

【详解】

∵正五边形外角和为360°，∴外角，

∴内角，

∵BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF

∴， 

在四边形BCDG中，

∴

故选B.

【点睛】

本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便.

9．C

【分析】

根据题意画出下图，易得AD是BC的中垂线，所以△ABC为等腰三角形，可求出∠ABC.

【详解】

如图所示，AD为∠A的角平分线，且经过三边垂直平分线交点I，故可知AD⊥BC，由等腰三角形三线合一性质，可知△ABC为等腰三角形，∴，故选C.

【点睛】

本题考查三角形的角平分线，三边中垂线，利用等腰三角形三线合一是解题的关键.

10．C

【分析】

延长AE，BC交于点F，易得AE=DE，由DE∥BC，D为AB的中点，可知DE为中位线，所以BF=2DE，设BC=2x，AE=DE=5x，则BF=10x，CF=BF-BC=8x，在△ABF和△ACF中，分别利用同高的两个三角形面积之比等于底边之比，可推出面积关系.

【详解】

如图所示，延长AE，BC交于点F

∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，

又∵∠EAB＝∠B，∴∠ADE=∠EAB，∴AE=DE

∵D为AB的中点，DE∥BF，∴DE为△ABF的中位线，

∴BF=2DE，

设BC=2x，AE=DE=5x，则BF=10x，CF=BF-BC=8x，

在△ABC中，∵D是AB的中点，∴S△ACD=S△BCD=S

∴S△ABC=2S，

在△ABF中，

∴

在△ACF中，E为AF的中点，

∴

故选C.

【点睛】

本题考查三角形的面积关系，根据同高的三角形面积比等于底边比，推出面积关系是关键.

11．钝角

【解析】

钝角三角形的高在三角形外部.

12．10．

【解析】

试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为10．

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．

13．0.5＜a＜2.5

【分析】

根据题意作出图形，采用中线倍长法，构造△ACD≌△EBD，得到BE=AC=2，然后在△ABE中利用三边关系找出AE的取值范围，进而得到AD的取值范围.

【详解】

解：如图所示，△ABC中，AC=2，AB=3， BC边上的中线AD=a，延长AD到E，取DE=AD，连接BE，在△ACD与△EBD中，

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=AC=2，

在△ABE中，BE=2，AB=3，则1＜AE＜5，故0.5＜AD＜2.5

即0.5＜a＜2.5

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，熟练运用中线倍长法构造全等三角形是解题的关键.

14．∠O+∠I=180°

【分析】

根据交平分线性质，可推出∠OBI=∠OCI=90°，然后在四边形OBIC中，利用内角和可得出∠O与∠I的数量关系.

【详解】

∵BO平分∠ABC，∴∠OBC=，

∵BI平分∠CBD，∴∠CBI=

∴

即∠OBI=90°

同理可得∠OCI=90°，

在四边形OBIC中，

∴∠O+∠I=180°

【点睛】

本题考查角平分线和四边形内角和，熟练掌握内角和是解题的关键.

15．65或25

【分析】

在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．

【详解】

在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°， 

当BD在△ABC内部时，如图1，

∵BD为高，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°−40°＝50°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝（180°−50°）＝65°；

当BD在△ABC外部时，如图2，

∵BD为高，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°−40°＝50°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

而∠BAD＝∠ABC＋∠ACB，

∴∠ACB＝∠BAD＝25°，

综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．

故填：65或25.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

16．

【分析】

在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，

设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.

【详解】

解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，

点I是△ABC的角平分线的交点

所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，

在△ABI和△ADI中，

∴△ABI≌△ADI（SAS）

∴DI=BI

又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC

∴DI=DC

∴∠DCI=∠DIC

设∠DCI=∠DIC=β

则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β

在△ABC中，

∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即，

∴

在△ABI中，

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.

17．

【分析】

利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，建立方程，可求出α的大小.

【详解】

如图所示标出顶点字母，

∵

∴，

解得

【点睛】

本题考查三角形的外角性质，熟练利用性质建立等式关系是解题的关键.

18．见解析

【分析】

根据∠ABD=∠DCA，∠ACB=∠DBC，求证∠ABC=∠DCB，然后利用AAS可证明△ABC≌△DCB，即可证明结论．

【详解】

证明：∵∠ABD=∠DCA，∠DBC=∠ACB

∴∠ABD+∠DBC=∠DCA+∠ACB

即∠ABC=∠DCB

在△ABC和△DCB中

∴△ABC≌△DCB（ASA）

∴AB=DC

【点睛】

本题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是求证△ABC≌△DCB．难度不大，属于基础题．

19．（1）△ABC为直角三角形；（2）

【分析】

（1）由垂直平分线的性质可得AD=BD，AD=CD，再由等腰三角形底角相等，可推出∠BAC=90°，即△ABC为直角三角形.

（2）A在DC的垂直平分线上，则AD=AC，由（1）可得AD=AC=BD=CD，可得出.

【详解】

解：（1）∵D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD

∵D点在AC的垂直平分线上，∴AD=CD，∴∠C=∠CAD

在△ABC中，

∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=180°

∴，即∠BAC=90°

∴△ABC为直角三角形.

（2）∵A在DC的垂直平分线上

∴AD=AC

由（1）可得AD=AC=BD=CD

∴

【点睛】

本题考查中垂线的性质：中垂线上的点到线段两端的距离相等，熟练使用此性质是关键.

20．（1）（-3,3），（-4，-2）；（2）如图所示见解析；（3）如图所示见解析.

【分析】

（1）根据点的位置写出坐标即可；

（2）根据轴对称找出A、B的对称点，连接对称点即可；

（3）作△ABC关于AC对称的△AMC，连接BM，与AC交于F，则BF即为AC边上的高.

【详解】

（1）A点坐标为（-3,3），B点坐标为（-4，-2）；

（2）如图所示，A关于y轴的对称点为D（3,3），B关于y轴的对称点为F（4，-2），△DEC即为所求;

（3）如图所示，BF即为所求.

【点睛】

本题考查直角坐标系，掌握坐标系内对称点的求法是关键.

21．（1）AB⊥CE；（2）见解析.

【分析】

（1）由全等可得∠ECD=∠A，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB⊥CE.

（2）延长HK于DE交于H，易得△ACD为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE，然后证明△DGH≌△DGE，所以∠H=∠E，则∠H=∠B，可得HK=BK.

【详解】

解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△CED，

∴∠ECD=∠A，∠B=∠E，BC=DE，AC=CD

∵∠B+∠A=90°

∴∠B+ECD=90°

∴∠BFC=90°，∴AB⊥CE

（2）在Rt△ACD中，AC=CD，∴∠ADC=45°，

又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45°

∵CH＝DB，∴CH+CD=DB+CD，即HD=BC，

∴DH=DE，

在△DGH和△DGE中，

∴△DGH≌△DGE（SAS）

∴∠H=∠E

又∵∠B=∠E

∴∠H=∠B，

∴HK=BK

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.

22．（1）34°；（2）①见解析，②

【分析】

（1）在△ABC中，利用内角和可算出∠ACB，再由CE⊥AD，CE平分∠ACD，根据三线合一，可知△CAD为等腰三角形，即可求出底角∠CAD，进而求出∠BAD；

（2）①过A作AH∥BC，交CE的延长线于H，易得AH=AC，再由AD⊥CE，可得AD垂直平分CH，则CH=2CF，在由CH=CE+EH=BE+EH，而AE=EH，进而可得CH=BE+AE=AB，所以AB=2CF.

②易证△AHF≌△DCF，可得AH=CD，再由△AEH∽△BEH，得出相似比，进而得到.

【详解】

解：（1）在△ABC中，

∵CE⊥AD，CE平分∠ACD

∴△CAD为等腰三角形，CA=CD

∴

∴

（2）①如图所示，过A作AH∥BC，交CE的延长线于H，

∵AH∥BC，∴∠H=∠BCE，∠B=∠BAH

又∵CH平分∠ACB，则∠ACH=∠BCH

∴∠H=∠ACH，∴AC=AH

又∵AF⊥CE，∴AD垂直平分CH，

∴CH=2CF

∵∠ACB＝2∠B，∴∠B=∠BCE，∴BE=CE

又∵∠B=∠BAH，∴∠H=∠BAH，∴AE=HE

∴CH=CE+EH=BE+AE=AB

又∵CH=2CF

∴AB=2CF

②在△AHF和△DCF中，

∴△AHF≌△DCF（ASA）

∴AH=CD

∵EF＝2，CF＝5，由①得BE=CE=CF+EF=7，AE=EH=HF-EF=5-2=3

又∵AH∥BC，∴，

∴，∴

【点睛】

本题考查角平分线，中垂线，等腰三角形，全等三角形及相似三角形，是一道综合性很强的题，难度较大，关键是作出正确的辅助线.

23．（1）AD=EH；（2）见解析；（3）CM=2.

【分析】

（1）由△ABC≌△EFG，可知面积相等，利用面积公式可得高相等；

（2）如图所示，设AN、CH交于点P，CH、NG交于点O，由CD平移到NH可知四边形CDNH为平行四边形，所以CH=DN=AD，可得出△AND为等腰三角形，再由GH=CD=NH可得出△GHN为等腰三角形，由于两个等腰三角形顶角相等，可推出底角相等，在△OPN和△OGH中，可由∠OPN=∠PND=∠NGH，可推出∠PNO=90°，则AN⊥GN；

（3由AD⊥BH，GH⊥BH，可得AD∥GH，所以，再由DH=DC+EH=1+3=4，

可求出DM=3，∴CM=3-1=2.

【详解】

解：（1）∵△ABC≌△EFG，

∴BC=FG，

∴

∴AD=EH

（2）如图所示，设AN、CH交于点P，CH、NG交于点O

CD平移到NH可得四边形CDNH为平行四边形

∴CH=DN，∠CDN=∠CHN，DN∥CH

又∵EH=AD，∴AD=DN，即△AND为等腰三角形

∵GH=CD=NH，∴△GHN为等腰三角形，

∵∠ADN=∠ADC+∠CDN=90°+∠CDN

∠NHG=∠CHG+∠CHN=90°+∠CHN

而∠CDN=∠CHN

∴∠ADN=∠NHG，

∴，

∴∠AND=∠NGH

又∵DN∥CH，∴∠AND=∠NPH，∴∠NGH=∠NPH

在△OPN和△OGH中

∠NPH=∠NGH，∠PON=∠GOH，

∴∠PNO=∠OGH=90°，

∴AN⊥GN

（3）由△ABC≌△EFG可得CD=BD=1，EH=AD=3

∵AD⊥BH，GH⊥BH

∴AD∥GH，∴，∴

又∵DH=DC+EH=1+3=4

∴DM=3，

∴CM=DM-DC=3-1=2.

【点睛】

本题考查全等三角形，平行四边形，第（2）问较难，关键是根据全等条件，找出一对等腰三角形，根据顶角相等，推出底角相等.

24．（1）A（-2,0），B（0，4）；（2）CD=2；（3）

【分析】

（1）由非负数的性质，可求出a、b的值，得到A、B的坐标；

（2）过C作CE⊥OB于E，与PB交于F，易证△AOB≌△BEC，可得OA=BE=2，即E为OB中点，所以EF为△BOP的中位线，F为Rt△BCP斜边BP上的中点，所以，所以∠BCF=∠CBD=∠ABO，再证△AOB≌△CDB即可得CD=OA.

（3）过B作BG⊥CQ于点G，延长QC与x轴交于H，通过证△ABP≌△CBQ，△BOP≌△BGQ可推出OBGH为矩形，以CQ为底，PH为高求面积.

【详解】

解：（1）∵|a＋2|＋(b＋2a)2＝0

∴a+2=0，b+2a=0，解得a=-2，b=4，

∴A（-2,0），B（0，4）

（2）如图所示，过C作CE⊥OB于E，与PB交于F，

∵BC⊥AB，∴∠ABO+∠EBC=90°，

在Rt△BCE中，∠EBC+∠BCE=90°，

∴∠ABO=∠BCE

在△AOB和△BEC中，

∴△AOB≌△BEC（AAS）

∴BE=AO=2，又∵OB=4，∴E为OB的中点，

∵EC∥OP，∴EF为△BOP的中位线，则F为BP的中点，

在Rt△BCP中，CF为斜边上的中线，

∴

∴∠BCE=∠CBD=∠ABO

在△AOB和△CDB中

∴△AOB≌△CDB（AAS）

∴CD=AO=2

（3）如下图所示，过B作BG⊥CQ于点G，延长QC与x轴交于H，

∵∠ABP+∠PBC=90°，∠PBC+CBQ=90°，

∴∠ABP=∠CBQ

在△ABP与△CBQ中，

∴△ABP≌△CBQ（SAS）

∴∠BPO=∠BQG，CQ=AP=2+p，

在△BOP和△BGQ中，

∴△BOP≌△BGQ（AAS）

∴∠OBP=∠GBQ，BG=BO=4

又∵∠GBQ+∠PBG=90°

∴∠OBP+∠PBG=90°，即∠OBG=90°，

在四边形OBGH中，∠OBG=∠BOG=∠BGH=90°，

∴∠OHG=90°，∴PH是△PCQ中CQ边上的高，

PH=OH-OP=4-p

∴

【点睛】

本题考查全等三角形的综合运用，难度较大，作出正确辅助线构造全等三角形是解题的关键.