单调性与最大(小)值 习题(含答案)

一、单选题

1．下列函数中，在内单调递增的是　　

A． ． ． ． 

2．设函数是奇函数的导函数，，当时，则使得成立的的取值范围是　　

A．  ．  ．  ． 

3．关于函数有如下命题：

①；

②函数图像关于原点中心对称；

③函数是定义域与值域相同；

④函数图像经过第二、四象限.  其中正确命题的个数是（）

A． 4 ． 3 ． 2 ． 1

4．已知函数是定义在R上的偶函数，对任意都有，当，且时，，给出如下命题：

①；      

②直线是函数的图象的一条对称轴；

③函数在上为增函数；

④函数在上有四个零点.

其中所有正确命题的序号为（   ）

A． ①② ． ②④ ． ①②③ ． ①②④

5．函数的图象大致为（   ）

A．  ．  ．  D． 

6．设函数，则满足的x的取值范围是（    ）

A．  ．  ．  ． 

7．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式

的解集是(   )

A．  ． 

C．  ． 

8．下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是(   )

A． ． ． ． 

9．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ）

A．  ．  ．  ． 

10．已知在区间上是增函数，则的范围是（   ）．

A． ． ． ． 

二、填空题

11．函数在上的零点有__________个.

12．若对恒成立，且存在，使得成立，则的取值范围为__________．

13．已知函数，则不等式的解集为_________.

14．已知函数的最大值为，则的值为________________．

15．已知函数，则不等式的解集为__________．

三、解答题

16．已知函数 (0＜a≠1)为增函数．

（1）求实数a的取值范围；

（2）当a＝4时，是否存在正实数m，n(m＜n)，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[，]？如果存在，求出所有的m，n，如果不存在，请说明理由．

17．已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，证明：（其中是自然对数的底数，）．

18．已知函数

若，求的单调区间；

是否存在实数a，使的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

19．已知函数.

（1）时，求在上的单调区间；

（2）且，均恒成立，求实数的取值范围.

20．已知函数．

（1）令，判断g(x)的单调性；

（2）当x＞1时，，求a的取值范围．

参

1．D

【解析】

【分析】

对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．

【详解】

根据题意，依次分析选项：

对于A，函数为一次函数，在内单调递减，不符合题意．

对于B，函数为反比例函数，在内单调递减，不符合题意．

对于C，函数为幂函数，在内单调递减，不符合题意．

对于D，函数为二次函数，在内单调递增，符合题意．

故选D．

【点睛】

本题考查函数的单调性，解题的关键是熟记一些常见函数的性质，属于基础题．

2．A

【解析】

【分析】

构造函数，利用的导数判断函数的单调性与奇偶性，再画出函数的大致图象，结合图形求出不等式的解集．

【详解】

解：设，则的导数为：

，

当时总有成立，

即当时，恒小于0，

当时，函数为减函数，

又，

函数为定义域上的偶函数，

又，

函数的大致图象如图所示：

数形结合可得，不等式等价于，

即或，

解得或．

成立的x的取值范围是．

故选：A．

【点睛】

本小题主要考查利用构造函数法，以及函数导数求解不等式.在解题过程中，首先根据题意构造出与题目本身相对应的函数.如本题中的函数，在不同的题目中，构造的函数是不相同的.构造函数之后，利用导数，研究所构造函数的单调性，再结合所求不等式来解.

3．A

【解析】

【分析】

研究函数的奇偶性、单调性、图形即可做出判定

【详解】

函数

恒成立

故定义域为，则值域为，故③正确

，

，

，图象关于原点中心对称，故②正确

，

可知单调递减

单调递减

故，故①正确

当时，

，

，在第四象限，故④正确

综上所述，正确命题的个数是4

故选

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性、单调性及图形，看似复杂的复合函数，在求解过程中一定要能够看透题目的本质，然后求解。

4．D

【解析】

【分析】

根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定

【详解】

①令，则由，函数是定义在上的偶函数，

可得：，故，故①正确

②由可得：，故函数是周期等于6的周期函数

是偶函数，轴是对称轴，故直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确

③当，且时，，

故在上为增函数

是偶函数，故在上为减函数

函数是周期等于6的周期函数

故在上为减函数，故③错误

④函数是周期等于6的周期函数

故函数在上有四个零点，故④正确

综上所述，则正确命题的序号为①②④

故选

【点睛】

本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解。

5．A

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性排除选项，再利用单调性（或特殊点）判断即可．

【详解】

函数是偶函数，排除选项B，C；

当x＞0时，，

∴在上单调递增，排除D

故选：A

【点睛】

函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6．B

【解析】

【分析】

由分段函数的解析式以及指数函数的单调性可得在上单调递増，原不等式等价于,解不等式即可得到所求解集.

【详解】

函数,

可得在上单调递増，

化为，

解得,

的解集为，故选B.

【点睛】

本题考査函数的单调性的判断和运用,属于中档题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．

7．B

【解析】

【分析】

先根据函数的奇偶性以及函数在区间上的单调性，判断函数在区间上的单调性，再把不等式变形为两个不等式组，根据函数的单调性分情况解两个不等式组，所得解集求并集后即可得到结论．

【详解】

∵函数f(x)为奇函数且在(−∞,0)上单调递减，

∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减，

∴不等式(x−1)f(x−1)>0可变形为①或②，

又函数f(x)为奇函数且f(2)=0，

∴f(−2)=−f(2)=0，

∴不等式组①即为，所以，解得1不等式组②即为，所以，解得−1∴原不等式的解集为{x|−1故选B．

【点睛】

本题考查函数单调性、奇偶性在解不等式中的应用，解题的关键是根据题意得到函数在定义域上的性质，然后再通过分类讨论将不等式转化为不等式组求解，具有综合性，同时也考查分析问题、解决问题的能力．

8．A

【解析】

【分析】

根据函数增减性与奇偶性进行判断选择.

【详解】

是R上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，

是R上增函数，无奇偶性,

在和上增函数，为奇函数，图象又关于原点对称，

在上为增函数，无奇偶性,

选A.

【点睛】

本题考查函数增减性与奇偶性,考查基本分析判断能力,属基础题.

9．C

【解析】

【分析】

根据分段函数单调性列不等式,解得结果.

【详解】

又题意得，选C.

【点睛】

本题考查分段函数单调性应用,考查基本分析求解能力,属基础题.

10．D

【解析】

【分析】

二次函数在区间上是增函数，其对称轴为1或是在1的左侧.

【详解】

已知在区间上是增函数，

则函数对称轴，解得；

故选D

【点睛】

本题考查利用二次函数的单调性求解参数的范围，是基础题型，解题的关键是准确确定二次函数的单调增区间，再根据集合间的关系求解参数的范围.

11．5

【解析】

【分析】

令可得在上递减，在上递增，令，其中,可得在上递减，且，因为, 在上有两个零点,而在上的图象与函数的图象有3个交点，从而可得结果.

【详解】

由得，.

令则.  在上单减，

在上单增.  

令，其中,

则，

在上单减，且，所以存在唯一的，使得,因此函数在上单增，在上单减,又因为,所以在上有两个零点,而在上的图象与函数的图象有3个交点. 函数在上的零点有5个，故正确答案是5.

【点睛】

本题主要考查函数的零点以及导数在研究函数性质的应用，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.

12．

【解析】

【分析】

利用方程思想得到，利用单调性明确函数的最大值即可.

【详解】

，

以代入得，

消去得，

若，则单调递增，，

则.

故答案为：

【点睛】

本题考查了方程思想求函数的解析式，考查了不等式能成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题.

13．

【解析】

【分析】

先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数在（0，+∞）上的单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式.

【详解】

由题得f(-x)= ,

所以函数f(x)是奇函数.

设x＞0，则，

所以上恒成立，所以函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，

因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以函数f(x)是R上的增函数，

所以,

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性的判定，考查函数的单调性的判定，考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

14．

【解析】

【分析】

配方，

分析对称轴与区间的关系，求最大值，列方程求解．

【详解】

, 取得最大值，

．

【点睛】

本题考查二次函数在指定区间上的最值问题，常常讨论对称轴与区间的关系．

15．

【解析】

求导可得，所以在R上单调递减，且，所以当x<0,  ,当x>0时，。所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，且函数f(x)为偶函数。变形为，只需，解得，填

【点睛】解复杂函数型不等式，可以先考虑函数的性质，如奇偶性、单调性等，可以利用函数性质解不等式。

16．：（1）或（2）存在满足条件的m，n，且m=2,n=4.

【解析】

【分析】

（1）根据题意得到恒成立，又，进而得到参数值;(2)根据题意得到函数表达式为，在上单调递增,∴，进而得到m、n是方程的两个根，求出m,n的值.

【详解】

（1）由得：又，所以或

（2）当a=4时，,∵在上单调递增,∴

∴m、n是方程的两个根.解得：m=2,n=4

∴存在满足条件的m，n，且m=2,n=4.

【点睛】

这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.

17．(1) 在上单调递减，在上也单调递减；(2)见解析.

【解析】

【分析】

（1）求导后分析导数的分子的正负，构造，利用导数可分析的正负，即可得到函数单调区间（2）因故，因此只需证明，先证明时的情况，构造可证明，再证明时的情况,证明即可.

【详解】

（1）定义域， 

令，则，所以在，

故时，，也即，因此，在上单调递减，在上也单调递减； 

（2）因故，因此只需证明（记为）

①先证明时的情况：

此时，令令，

故在，故在，于是在，

因此，时，即

②下面证明时的情况：

令，故在，

于是时，令，故在故时，即即，证毕；

【点睛】

本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，属于难题.解决不等式的证明问题，主要是构造合适的函数，利用导数研究其单调性，求其最值，分析函数的正负，得到所研究的不等式.

18．（I）单调增区间为，单调减区间为；（II）存在实数，使的最小值为0.

【解析】

【分析】

根据代入函数表达式，解出，再代入原函数得，求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数的单调区间；先假设存在实数a，使的最小值为0，根据函数表达式可得真数恒成立，且真数t的最小值恰好是1，再结合二次函数的性质，可列出式子：，由此解出，从而得到存在a的值，使的最小值为0．

【详解】

且，

可得函数

真数为

函数定义域为

令

可得：当时，t为关于x的增函数；

当时，t为关于x的减函数．

底数为

函数的单调增区间为，单调减区间为

设存在实数a，使的最小值为0，

由于底数为，可得真数恒成立，

且真数t的最小值恰好是1，

即a为正数，且当时，t值为1．

因此存在实数，使的最小值为0．

【点睛】

本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．

19．（1）的单调增区间是，单调减区间是；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求出，令在内求得的范围，可得函数增区间，令在内求得的范围，可得函数的减区间；（2）时，,即；时，,即, 设,分两种情况研究函数的单调性，并求出的最值，从而可得实数的取值范围.

【详解】

（1）时，，设，

当时，，则在上是单调递减函数，

即则在上是单调递减函数，

∵∴时，；时， 

∴在上的单调增区间是，单调减区间是；

(2) 时，,即，

时，,即

设

则

时，，∵，∴在上单调递增

∴时，；时，，∴符合题意;

时，，时，，∴在上单调递减，

∴当时，，与时，矛盾；舍

时，设为和0中的最大值，当时，，

∴在上单调递减，∴当时，，与时，矛盾； 综上，.

【点睛】

本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.

20．（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）讨论的范围，分别利用导数以及函数的单调性，结合单调性判断函数是否有最大值，当函数有最大值时，令其最大值小于零即可求得的范围.

【详解】

（1）由，则，

所以（x＞0）．

①当a≤0时，，为的减函数；

②当a＞0时，

若，即时，，为的减函数；

若，即时，由有两根得

在上，为减函数；在上，为增函数；

在上，为减函数． 

综上：当时，为的减函数；

当时，在上，为减函数；在上，为增函数；在上，为减函数． 

（2）由（1）知，对a讨论如下，

①当a≤0时，，则为（1，＋∞）上的减函数，

则，故为（1，＋∞）的减函数，

由于，所以，即a≤0时满足题意． 

②当a＞0时，由于，对其讨论如下：

(A)若，即a≤1，则由（1）知，为（1，＋∞）上的减函数，

则，所以为（1，＋∞）的减函数，

由于，所以，即0＜a≤1时满足题意． 

(B)若，即a＞1，则由（1）知，

当时，为（1，＋∞）上的减函数，又，

所以存在，使得在时，，于是为的增函数，

因为，

所以，即1＜a≤时不满足题意． 

当时，由于，所以对与1的大小关系讨论如下，

1)如果，即，那么由（1）知，为（1，＋∞）上的减函数，

又，

则存在，使得在时，，于是为的增函数，

又，则，即时不满足题意．

2)如果，即，那么由（1）知，为（1，）上的增函数，

则当时，，于是为的增函数，

又，则，即时不满足题意．

综上所述，a的取值范围为．

【点睛】

本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.